車輪踏面外形測量的數(shù)值處理

（同濟大學(xué)鐵道與城市軌道交通研究院，201804，上海∥第一作者，碩士研究生）

車輪踏面外形測量的數(shù)值處理

陳國鋒 王 捷 鐘曉波 沈 鋼

（同濟大學(xué)鐵道與城市軌道交通研究院，201804，上海∥第一作者，碩士研究生）

針對軌道交通車輪踏面外形設(shè)計的需要，在給定的誤差范圍內(nèi)，提出了將離散數(shù)據(jù)擬合成圓弧與直線的算法，并研制了相應(yīng)的計算機程序。通過實例驗證了該擬合方法的簡便性、可行性與實用性。擬合后的圓弧直線能方便工程應(yīng)用，適用于數(shù)控機床的數(shù)據(jù)輸入和規(guī)范化管理。

踏面；外形測量；數(shù)值處理

First-author's address Urban Mass Transit Railway Research Institute，Tongji University，201804，Shanghai，China

踏面外形的離散化設(shè)計已成為一種趨勢［1］。這樣可以最大限度地獲得最優(yōu)化的外形，也與現(xiàn)有的算法兼容。但輪軌外形的表達通常要求是圓曲線和直線段的組合，并且圓曲線在交點處一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)。這種要求的合理性不僅出于傳統(tǒng)的習(xí)慣，也與不落輪數(shù)控機床的應(yīng)用有關(guān)。對于成百上千的離散數(shù)據(jù)，如在加工過程中將一個個數(shù)據(jù)輸入到機床中，不僅效率低、不易檢查錯誤，而且極易導(dǎo)致輸入錯誤數(shù)據(jù)。若能符合傳統(tǒng)的習(xí)慣，又能在給定的精度范圍內(nèi)擬合出與離散點曲線接近的圓弧和直線組合曲線，則可以使新的設(shè)計方法工程化。

將離散數(shù)據(jù)擬合成曲線是數(shù)值計算中的通常問題，已有很多算法［2-9］，如基于最小二乘法數(shù)據(jù)擬合、小波函數(shù)的數(shù)據(jù)擬合、多項式數(shù)據(jù)擬合和整體最優(yōu)雙圓弧最優(yōu)方法擬合等。用最小二乘法和多項式擬合而成的高次分段函數(shù)雖然能保證較高精度，但由于得出曲線較復(fù)雜，與實際要求不符。應(yīng)用小波函數(shù)的數(shù)據(jù)擬合同樣有擬合得到函數(shù)較復(fù)雜的問題，也不適合于工程應(yīng)用。最優(yōu)雙圓弧最優(yōu)法擬合的目標也是將離散數(shù)據(jù)擬合成圓弧，雖然精度較高，但該方法較復(fù)雜，擬合段數(shù)很多，應(yīng)用效果不好。針對軌道交通輪軌型面曲線的特殊要求，目前仍沒有合適的算法，本文提出一種簡單的將離散數(shù)據(jù)擬合成直線或圓弧的新算法，能保證精度，且擬合段數(shù)少。

1 數(shù)據(jù)擬合計算方法

數(shù)據(jù)擬合的重點，在于如何獲得明確的曲線擬合數(shù)據(jù)，且能保證擬合精度。本文提出的數(shù)據(jù)擬合計算方法步驟如下：

（1）確定第一次擬合的切線斜率。可通過最小二乘法獲得，其公式為：

式中：

（xi，yi）---待擬合的離散數(shù)據(jù)的坐標；

m0---確定切線的離散數(shù)據(jù)的點數(shù)，m0不宜取太多和太少，可根據(jù)離散數(shù)據(jù)的間隔大小來選取；

ωi---點xi處的權(quán)，一般取1。

（2）確定第一次擬合初始點。將離散數(shù)據(jù)第一點投影到由步驟（1）得到的切線上，根據(jù)式（2）、（3）得到第一次擬合初始點（x0，y0）。

（3）確定圓心所在位置。如圖1所示，取一定點數(shù)（m）的離散數(shù)據(jù)進行擬合，由第一點與最后一點確定直線：

求這m點數(shù)據(jù)到該直線的距離和：

根據(jù)以下原則判斷圓心的位置：

S＞0且k1＞0或S＜0且k1＜0，圓心在直線靠近x軸的正無窮大方向的那一側(cè)；

S＜0且k1＞0或S＞0且k1＜0，圓心在直線靠近x軸的負無窮大方向的那一側(cè)。

（4）進行半徑搜索，取初始值。該值為步驟（3）已選擇進行擬合離散數(shù)據(jù)的最后一點到圓心所在直線的距離。

圓心（xc，yc）可由r0、圓心所在的直線和圓心方位確定。

求各離散數(shù)據(jù)與擬合圓弧的法向誤差和：

增大半徑r1=r0+Δr（Δr為搜索步長，初始值可取一個較大的數(shù)），重新計算新半徑下的法向誤差和Δ′，若Δ′與Δ異號，則半徑變?yōu)閞2=r1-Δr/2；若同號，則半徑繼續(xù)增加，變?yōu)閞2=r1+Δr。按該方法不斷進行搜索，直到法向誤差和的異號次數(shù)達到n次或法向誤差和為0，則終止循環(huán)，得到該點數(shù)下擬合的最優(yōu)半徑r。

（5）根據(jù)步驟（4）得到的半徑r，計算此時的法向誤差的標準差。若該值小于或等于由外部輸入的標準差值，則增加離散數(shù)據(jù)的點數(shù)，m′=m+p，按步驟（4）重新搜索最優(yōu)半徑；反之，則減少離散數(shù)據(jù)的點數(shù)，m′=m-p，重新搜索最優(yōu)半徑。不斷進行該循環(huán)，p步長由大逐漸減少到1進行計算，直到找到符合輸入標準差值的最佳離散點數(shù)。

（6）確定用圓弧或直線擬合。判斷圓弧半徑r是否大于2 000 mm（也可選其他較大值），若r大于2 000 mm，則選擇用直線擬合。直線擬合思路與圓弧類似，這里不再贅述。

（7）為保證下段待擬合離散數(shù)據(jù)能擬合成功，應(yīng)控制擬合后曲線的切線與待擬合數(shù)據(jù)的夾角大小。可根據(jù)夾角公式獲得。

m′為由步驟（5）得到的最佳離散點數(shù)。k3的計算方法與步驟（1）中的k相同。若Δθ大于角度差，則減少擬合的離散點數(shù)m′重新計算k2、k3和Δθ，直到滿足角度差要求。第一次擬合結(jié)束。

（8）進行第二次擬合。第二次擬合應(yīng)保證與前一段曲線相切（如圖2），故應(yīng)保證第二次擬合初始點與前一段最后一點相同（A點）及切線斜率相等。此后的計算方法同步驟（3）～（7），不再贅述。

圖1 圓心位置判斷示意圖

圖2 相鄰曲線相切

2 計算方法的程序編制

基于以上算法，用Matlab編制了擬合離散數(shù)據(jù)程序。其中，當(dāng)擬合圓弧半徑大于2 000 mm時，改用直線擬合，擬合結(jié)束后生成一個result.txt曲線信息和normal_err.txt法向誤差文件，以便進行下一步。程序流程如圖3所示。程序擬合界面和擬合圖形如圖4所示。

3 擬合實例

3.1 任意曲線的擬合

為驗證算法的通用性，對圖5所示的正弦離散數(shù)據(jù)曲線進行擬合計算分析。正弦函數(shù)含有10 001個離散點，設(shè)定控制標準偏差在0.01 mm，角度偏差為0.04 rad。擬合結(jié)果見圖5（截取原始數(shù)據(jù)第一個周期），擬合后的段數(shù)為128段。

將含有401個離散數(shù)據(jù)的2段相切圓弧導(dǎo)入該軟件，設(shè)定控制標準偏差為0.01 mm，角度差為0.04 rad。擬合情況如圖6所示，擬合后段數(shù)只有4段。

3.2 踏面外形的擬合

將含有2 094個離散點的踏面外形x，y坐標導(dǎo)入該軟件，設(shè)定控制標準偏差為0.1 mm，角度偏差為0.04 rad。踏面擬合情況見圖7，擬合后的段數(shù)只有12段。

4 擬合結(jié)果分析

將輪軌踏面的擬合結(jié)果與擬合之前的數(shù)據(jù)進行輪徑差曲線與接觸關(guān)系對比，如圖8與圖9所示。

圖3 程序流程圖

圖4 軟件外觀（圖中序號代表輸入順序）

圖5 正弦函數(shù)擬合情況

圖6 兩段相切圓弧擬合情況

圖7 踏面數(shù)據(jù)的擬合情況

從圖8及圖9可以看出，由于存在擬合誤差，兩曲線存在一定的區(qū)別，但誤差不是很大。為了進一步提高相似度，保證動力學(xué)性能，可選擇中間的輪軌踏面區(qū)域進行擬合。本軟件含有擬合區(qū)域選擇功能。

選擇擬合區(qū)域，同時減小標準差與角度差的值后進行擬合，結(jié)果如圖10。將圖10與圖7進行對比，可明顯看出此擬合效果更好，與原離散數(shù)據(jù)得到的動力學(xué)效果更加相近。

圖8 輪徑差曲線對比

圖9 輪軌接觸關(guān)系對比

圖10 選擇擬合區(qū)域擬合結(jié)果

圖11為選擇擬合區(qū)域前后誤差對比，可以看到，選擇有特殊精度要求的踏面區(qū)域進行擬合，其法向誤差顯著降低。

圖11 選擇擬合區(qū)域前后曲線的法向偏差

5 結(jié)語

本文提出了用于軌道交通車輛踏面外形的離散點圓弧曲線和直線綜合擬合方法，并基于該方法研制了擬合程序。其能通過給定兩個精度控制參數(shù)，保證擬合精度和擬合后的段數(shù)。該方法的實現(xiàn)對于以離散點表達的設(shè)計方法的實際工程化應(yīng)用具有重要意義，方便了不落輪車床的數(shù)據(jù)輸入，也方便了外形的分析研究和規(guī)格化表達。

本軟件基于MATLAB平臺編寫，能快速得出擬合結(jié)果，給出擬合曲線和曲線參數(shù)，包括圓心坐標及交點等信息，并含輪軌接觸計算功能，即時分析對比擬合前后的輪軌幾何匹配結(jié)果，以便最終控制輪軌的外形設(shè)計。

［1］ 鐘曉波，沈鋼.高速列車車輪踏面外形優(yōu)化設(shè)計［J］.同濟大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版，2011，39（5）：710.

［2］ 張建霞，蘇建輝.多項式數(shù)據(jù)擬合在La b VIEW中的應(yīng)用［J］.大觀周刊，2011（46）：37.

［3］ 李麗丹.基于MATLAB的離散數(shù)據(jù)最小二乘擬合［J］.遼寧工程技術(shù)大學(xué)學(xué)報，2011，30（z1）：202.

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［5］ 梁錫坤.基于小波函數(shù)的數(shù)據(jù)擬合方法［J］.計算機應(yīng)用與軟件，2003，20（4）：3.

［6］ 張曉芳.基于有理函數(shù)的數(shù)據(jù)擬合方法［J］.電腦與信息技術(shù)，2005，13（3）：8.

［7］ 習(xí)勝豐.數(shù)據(jù)擬合程序的研究與應(yīng)用［J］.浙江工業(yè)大學(xué)學(xué)報，2003，31（5）：586.

［8］ 虞銘財，楊勛年，汪國昭.整體最優(yōu)雙圓弧擬合［J］.高校應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報：A輯，2004，19（2）：225.

［9］ 梁立，肖飛，郜松.最佳模型擬合的并行算法［J］.計算機科學(xué)，2007，34（6）：294.

Data Processing for Wheel/Rail Profile Measurement

Chen Guofeng，Wang Jie，Zhong Xiaobo，Shen Gang

For the design of the treadin a given error range，the analgorithm is proposed，which fits the discrete data to arc and line，then a computer programis developed，by which the fitting arc and line can be easily used in practical engineering.Several examples verify the simplicity，feasibility and practicability of the fitting method，it is suitable for data entry and standardized management in CNC machine tools.

vehide tread fitting；profile measurement；data processing

U 260.331+.1

2012-09-04）