三次Hermite插值曲線的能量優化

裴 芳，高 屾，韓旭里

PEI Fang1,GAO Shen1,HAN Xuli2

1.山西財經大學 應用數學學院，太原 030006

2.中南大學 數學科學與計算技術學院，長沙 410083

1.College of Applied Mathematics，Shanxi University of Finance&Economics,Taiyuan 030006,China

2.School of Mathematics and Computing Technology,Central-South University,Changsha 410083,China

1 引言

在計算機輔助幾何設計中，構造一條滿足給定端點條件的光順曲線是一個基本問題。幾何Hermite插值（Geometric Hermite Interpolation，GHI），要求插值給定端點及端點處的切方向和曲率等條件，在幾何造型和工程設計中有著廣泛的應用。目前國內外學者在這方面作了大量的研究，文獻[1-11]分別從不同的角度研究了幾何Hermite插值曲線。一般地，幾何連續的條件要弱于參數連續的條件。三次幾何Hermite插值曲線只具有G1連續性。本文要在保持C1連續性的前提下，實現三次Hermite插值曲線的優化問題。

2 插入兩個節點的三次Hermite插值曲線

則曲線 p(u)的表達式為：

其中，hi=ui+1-ui，t=(u-ui)/(ui+1-ui)，u∈[ui，ui+1]，ui為 pi點對應的參數值[12]。

上述分段三次Hermite插值曲線 p(u)在節點處是C1連續的，而幾何Hermite插值在節點處的連續性由C1降為G1，獲得自由度，實現對插值曲線形狀的修改。本文保持曲線在節點處C1連續，通過在每個參數區間插入兩個節點，增加自由度，實現對三次Hermite插值曲線p(u)的幾何優化。

在參數區間[ui，ui+1]插入兩個節點和，且令：

構造C1連續的三分段次Hermite插值函數 p(u)，使之滿足如下條件：

其中，α1、α2、β1和β2是四個自由變量。

通過推導，得到插值曲線 p(u)表達式如下：

3 三次Hermite插值曲線的優化

光順性是一個在CAGD中應用很普遍又很重要的概念，國內外許多學者對此作了大量研究，提出了很多光順方法，如Kjellander法、量法及最小二乘法等[13]。其中，能量法是一種整體優化方法，其光順效果好，為人們普遍采用的一種曲線光順方法。光順法的關鍵是：能量函數的確定，優化問題的求解。

對于曲線 p(u)，一般選用 ∫||p(u)″||2du 和 ∫p?(u)du 作為曲線的能量函數。其中，p″(u)為 p(u)的二階導數，體現了曲線的曲率因素。 p?(u)為 p(u)的三階導數，體現了曲線的撓率因素。由于上述兩個能量函數不依賴曲線的參數化，能取得較好的光順效果，且計算量較小，便于在計算機上實現，故在曲線光順優化中得到了普遍的應用。

3.1 基于曲率的能量函數對曲線進行優化

對于曲線式（2），在區間 [ui，ui+1]上，考慮曲線的曲率因素，定義能量函數為：

其中，u∈[ui，ui+1]，||·||表示向量的范數。

下面討論當自由變量 α1，α2，β1，β2取何值時，曲線p(u)的能量函數 f(α1，α2，β1，β2)最小。

對曲線式（2）求二階導數得：

這里，

為使能量函數值最小，必須滿足：

經化簡得：

進而得：

即當 α1，α2，β1，β2滿足式（3）時得到的曲線 p(u)是能量函數 f(α1，α2，β1，β2)最小的曲線。

此時，對于曲線式（1），

即在區間 [ui，ui+1/3]，曲線式（1）和曲線式（2）的表達式在本質上是一致的。

同理可得，在區間 [ui，ui+2/3]、[ui+2/3，ui+1]，曲線式（1）和曲線式（2）的表達式在本質上也是一致的。

由此可得，未插入節點時所構造的分段三次Hermite插值曲線式（1）與插入兩個節點時所構造的插值曲線式（2）在各區間的表達式是一致的。即以式（3）為能量函數的約束條件下，插入節點與不插入節點的情形是一致的，這體現了三次Hermite插值曲線本身所具體的特性。

3.2 基于撓率的能量函數對曲線進行優化

對于曲線式（2），在區間 [ui，ui+1]上，考慮曲線的撓率因素，定義能量函數為：

其中，u∈[ui，ui+1]，p?(u)表示 p(u)的三階導數。

下面討論當自由變量 α1，α2，β1，β2取何值時，曲線p(u)的能量函數 g(α1，α2，β1，β2)最小。

對式（2）求三階導數得：

這里，

為使能量函數值最小，必須滿足：

其中β2是一個自由度，可用來調整曲線的形狀。即當參數 α1，α2，β1，β2滿足式（5）時得到的曲線 p(u)使能量函數 g(α1，α2，β1，β2)最小。得到了一種新的曲線構造方法，具有新的幾何意義。

（1）參數a作用

下面通過對a取不同值時的插值曲線的分析來討論參數a對曲線的調節作用。取插值區間[u0，u1]為[-1，1]，插值點及對應的切向量分別為：

取b為固定值，例如b=0.66，a取不同的值進行曲線插值。如圖1所示，實線表示未優化的三次Hermite插值曲線，虛線表示a=0.8時的優化后的三次Hermite插值曲線，點虛線表示a=1.2時的優化后的三次Hermite插值曲線[14]。經過觀察可以發現，參數a越小時最值點越向右移動，這表明曲線是可以水平方向上修改的。這體現了較好的實際應用價值。

圖1 能量最小條件下a取不同值的三次Hermite插值曲線

表1 插值點及其切向量

（2）參數b作用

取與圖1一致的插值點與對應切向量進行作圖。這里取a為固定值，例如a=1.0，b取為不同的值進行曲線插值。如圖2所示，實線表示未優化的三次Hermite插值曲線，虛線表示b=0.4時的優化后的能量最小的三次Hermite插值曲線，點虛線表示b=0.6時的優化后的能量最小的三次Hermite插值曲線，星號線表示b=1.0時的優化后的能量最小的三次Hermite插值曲線。經過觀察可以發現，b越大時最值點越向下移動，這表明曲線是可以垂直方向上修改的。這也具有一定的應用價值。

圖2 能量最小條件下b取不同值的三次Hermite插值曲線

4 圖例

取表1所示的插值點及對應的切向量進行作圖。隨著自由參數β2取值的不同，分別得如圖3所示的優化后的三次Hermite曲線。

圖3 β2取不同值的優化后的三次Hermite插值曲線

5 結論

在給定插值點的位置矢量及切矢量的情況下，通過在兩相鄰節點引入兩個新的節點，提出了一類保持C1連續的三次Hermite插值曲線的構造方法。如果以基于曲率的能量函數對曲線進行優化，證明了插入節點與不插入節點的情形是一樣的，體現了三次Hermite插值曲線本身所具有的一種特性。如果以基于撓率的能量函數對曲線進行優化，給出了能量最小化的參數取值公式，含有一個自由度，可實現對曲線形狀的調整。實例表明了方法的有效性。

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