異步牽引電機(jī)逆解耦中的零動(dòng)態(tài)分析

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(蘭州交通大學(xué)自動(dòng)化與電氣工程學(xué)院1，甘肅 蘭州 730070；蘭州交通大學(xué)光電技術(shù)與智能控制教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室2，甘肅 蘭州 730070)

0 引言

目前，交流異步牽引電機(jī)已經(jīng)廣泛應(yīng)用于CRH系列的高速動(dòng)車組。異步牽引電機(jī)是一個(gè)十分復(fù)雜的非線性控制對(duì)象[1]。由于變量之間存在交叉耦合，要提高交流牽引電機(jī)的控制性能[2]，必須使感應(yīng)電機(jī)的轉(zhuǎn)速和轉(zhuǎn)子磁鏈實(shí)現(xiàn)動(dòng)態(tài)解耦。逆系統(tǒng)解耦控制方法[3]是一種非線性反饋線性化方法，具有直觀、簡(jiǎn)便和易于理解的特點(diǎn)。已經(jīng)有學(xué)者將逆系統(tǒng)控制方法引入交流調(diào)速領(lǐng)域，實(shí)現(xiàn)了定子磁鏈和電磁轉(zhuǎn)矩的動(dòng)態(tài)解耦控制[4-6]。

在采用逆系統(tǒng)方法對(duì)異步牽引電機(jī)進(jìn)行線性化解耦的過(guò)程中，當(dāng)系統(tǒng)相對(duì)次數(shù)γ小于系統(tǒng)階數(shù)n時(shí)，通過(guò)坐標(biāo)變換，從原動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)中分隔出零動(dòng)態(tài)子系統(tǒng)。零動(dòng)態(tài)是系統(tǒng)的內(nèi)部動(dòng)態(tài)行為，其與系統(tǒng)的穩(wěn)定性存在密切聯(lián)系，如果零動(dòng)態(tài)方程不穩(wěn)定，則線性化后的對(duì)象也是不穩(wěn)定的，所以對(duì)γ

文獻(xiàn)[7]和[8]在異步電機(jī)直接反饋線性化中討論了零動(dòng)態(tài)問(wèn)題；文獻(xiàn)[9]分析了非線性系統(tǒng)的一階零動(dòng)態(tài)的穩(wěn)定性；文獻(xiàn)[10] 研究了直流電動(dòng)機(jī)非線性控制中的零動(dòng)態(tài)特性。本文闡述了當(dāng)γ

1 多輸入多輸出非線性系統(tǒng)的零動(dòng)態(tài)

考慮如下非線性系統(tǒng):

(1)

(2)

式中:x為n維狀態(tài)向量；f(x)和g(x)均為n維光滑向量場(chǎng)；ui為第i個(gè)控制量；yi為第i個(gè)輸出量；hi(x) 為x的標(biāo)量函數(shù)。

對(duì)于每一個(gè)輸出yi=hi(x)都有一個(gè)對(duì)應(yīng)的相對(duì)次數(shù)γi，而系統(tǒng)相對(duì)次數(shù)γ=γ1+γ2+…+γm。現(xiàn)假設(shè)系統(tǒng)相對(duì)次數(shù)γ=γ1+γ2+…+γm

(3)

在上述變換作用下，系統(tǒng)(1)和(2)可以變換為：

由于系統(tǒng)相對(duì)次數(shù)γ小于系統(tǒng)階數(shù)n，那么在采用式(3)的坐標(biāo)變換后，可以得到剩下的(n-γ)個(gè)映射關(guān)系，用η可表示為：

η=[zγ+1,zγ+2,…,zn]T=[η1,η2,…,ηn-γ]T

(4)

使得向量函數(shù)φ(x)在x=x0處的Jacobian矩陣是非奇異的。

一般來(lái)說(shuō)，可以適當(dāng)選擇系統(tǒng)輸出函數(shù)hi(x)，使其在平衡點(diǎn)x0處的值為零，即hi(x)=0；而輸出yi=hi(x)實(shí)質(zhì)上是系統(tǒng)的實(shí)際輸出動(dòng)態(tài)響應(yīng)相對(duì)于平衡點(diǎn)輸出函數(shù)的動(dòng)態(tài)偏差。如果采用控制方法強(qiáng)迫使系統(tǒng)輸出量的動(dòng)態(tài)偏差任何時(shí)候都為零，這意味著在任何干擾作用下系統(tǒng)的輸出都保持不變，從外部動(dòng)態(tài)角度來(lái)看，這時(shí)系統(tǒng)是高度穩(wěn)定的。所以令系統(tǒng)(1)和(2)輸出表達(dá)式為：

y1=y2=…=ym=0

(5)

h1(x)=h2(x)=…=hm(x)=0

(6)

進(jìn)而有：

(7)

將式(7)代入式(3)，經(jīng)過(guò)變換后，前γ個(gè)方程將消失，只剩下動(dòng)態(tài)方程：

(8)

式(8)這組微分方程描述的正是系統(tǒng)的內(nèi)部動(dòng)態(tài)行為，所以稱這組決定系統(tǒng)內(nèi)部動(dòng)態(tài)行為的方程組為原系統(tǒng)(1)和(2)的零動(dòng)態(tài)方程組，簡(jiǎn)稱為零動(dòng)態(tài)。

最后需要通過(guò)數(shù)值分析方法檢驗(yàn)系統(tǒng)零動(dòng)態(tài)方程的穩(wěn)定性，如果零動(dòng)態(tài)方程在x0處是穩(wěn)定的，則整個(gè)系統(tǒng)在x0的領(lǐng)域內(nèi)是穩(wěn)定的。

2 異步牽引電機(jī)逆解耦的零動(dòng)態(tài)分析

采用逆系統(tǒng)方法對(duì)建立在靜止(α-β)坐標(biāo)系下的異步牽引電機(jī)5階非線性模型進(jìn)行線性化，可實(shí)現(xiàn)異步牽引電機(jī)的轉(zhuǎn)速和轉(zhuǎn)子磁鏈的動(dòng)態(tài)解耦。

2.1 基于逆系統(tǒng)方法的異步牽引電機(jī)線性化解耦

(9)

系統(tǒng)輸出方程為：

(10)

式中：ω為電機(jī)轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速；ψa和ψb為轉(zhuǎn)子磁鏈。

采用逆系統(tǒng)方法對(duì)牽引電機(jī)系統(tǒng)進(jìn)行解耦，需要確定系統(tǒng)的相對(duì)階來(lái)判別系統(tǒng)是否可逆，根據(jù)式(10)進(jìn)行如下計(jì)算：

根據(jù)文獻(xiàn)[11]中給出的系統(tǒng)可逆的充要條件可知：

(11)

(12)

(13)

2.2 零動(dòng)態(tài)方程的求取

由于異步牽引電機(jī)系統(tǒng)相對(duì)次數(shù)的代數(shù)和滿足：

(14)

γ小于系統(tǒng)的階數(shù)，必然會(huì)出現(xiàn)(n-γ)個(gè)零動(dòng)態(tài)方程，采用坐標(biāo)變換z=φ(x)=[z1，z2，z3，z4，z5]T，可得：

(15)

其中第5個(gè)狀態(tài)變量選取為轉(zhuǎn)子磁鏈?zhǔn)噶康姆恰?/p>

根據(jù)式(8)可求取系統(tǒng)的零動(dòng)態(tài)方程為：

(16)

對(duì)式(16)進(jìn)行如下計(jì)算：

(17)

根據(jù)坐標(biāo)變換z=φ(x)，將式(17)的狀態(tài)變量x進(jìn)行z轉(zhuǎn)換，可得：

(18)

2.3 零動(dòng)態(tài)方程的穩(wěn)定性檢驗(yàn)

為了驗(yàn)證逆解耦后系統(tǒng)的穩(wěn)定性，需要驗(yàn)證式(18)零動(dòng)態(tài)方程的穩(wěn)定性，只有確保零動(dòng)態(tài)方程的穩(wěn)定性，異步牽引電機(jī)逆解耦線性化才是有效的。一般情況下，應(yīng)先求取系統(tǒng)的平衡狀態(tài)，再根據(jù)零動(dòng)態(tài)的定義將變換后零動(dòng)態(tài)方程的前γ個(gè)變量值取為零后代入式(18)，最后求取零動(dòng)態(tài)方程的特征根。根據(jù)特征根是否都具有負(fù)實(shí)部，判別系統(tǒng)在平衡狀態(tài)是否漸近穩(wěn)定。

本文考慮異步牽引電機(jī)控制目標(biāo)是使電機(jī)轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速和轉(zhuǎn)子磁鏈幅值滿足期望值，所以取電機(jī)轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速的給定值ωref和轉(zhuǎn)子磁鏈幅值的給定值ψref作為平衡點(diǎn)，強(qiáng)制系統(tǒng)達(dá)到工作平衡點(diǎn)，則零動(dòng)態(tài)方程變?yōu)椋?/p>

(19)

從式(19)可以看出，狀態(tài)變量z5是隨時(shí)間不斷增長(zhǎng)的，在Lyapunov穩(wěn)定意義下是發(fā)散的，但其狀態(tài)的實(shí)際物理意義是轉(zhuǎn)子磁鏈?zhǔn)噶康姆牵牟粩嘣鲩L(zhǎng)不影響實(shí)際系統(tǒng)的穩(wěn)定性。在實(shí)際控制系統(tǒng)中對(duì)于與儲(chǔ)能環(huán)節(jié)沒有直接關(guān)系的狀態(tài)變量，例如角度和位移隨時(shí)間的不斷增長(zhǎng)不會(huì)破壞系統(tǒng)的穩(wěn)定性。由文獻(xiàn)[7]可知，系統(tǒng)的零動(dòng)態(tài)是漸近穩(wěn)定的，此時(shí)如果系統(tǒng)外部動(dòng)態(tài)也是漸近穩(wěn)定的，那么整個(gè)系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的。

3 結(jié)束語(yǔ)

本文分析了當(dāng)γ

從實(shí)際應(yīng)用的角度來(lái)看，用戶主要關(guān)心的是系統(tǒng)的外部動(dòng)態(tài)，要求外部動(dòng)態(tài)不僅穩(wěn)定而且要有優(yōu)良的品質(zhì)，而內(nèi)部動(dòng)態(tài)只需要穩(wěn)定即可。因此，只需要在設(shè)計(jì)控制規(guī)律時(shí)保證零動(dòng)態(tài)的穩(wěn)定性，而對(duì)于原非線性系統(tǒng)就沒有必要將其全部線性化，只需要線性化其影響外部動(dòng)態(tài)的一部分即可。這種方法將有效簡(jiǎn)化基于逆系統(tǒng)方法的異步牽引電機(jī)線性化解耦過(guò)程。

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