“幾何直觀”架構(gòu)視覺思維與有序思維的“橋梁”

吳緒益

摘 要：“幾何直觀”在日常教學中經(jīng)常用到，但很少去提煉它，它是推進數(shù)學語言進步、促進學生數(shù)學思維發(fā)展的手段，是實現(xiàn)數(shù)學抽象、推理、建模的載體。

關(guān)鍵詞：幾何直觀；數(shù)學本質(zhì)；思維發(fā)展

《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》提出“幾何直觀”這一核心概念。它可以幫助我們梳理信息、分析數(shù)量關(guān)系，這種直觀的圖形語言也是學生進入積極思維狀態(tài)的引子。幾何直觀是認識的基礎，是學生認識的源泉，可以引發(fā)學生的創(chuàng)造性思維，有利于學生對數(shù)學理解，借助于幾何直觀能啟迪思路，可以幫助我們理解抽象的內(nèi)容。如何在教學中運用這一核心理念指導我們的教學？下面將以本人在教學中關(guān)于分數(shù)乘、除法為例談一談對這個問題的個人看法。

案例一：在教學分數(shù)除法■÷3時。

我讓學生動手經(jīng)歷這樣的實踐活動過程：

1.首先把一張長方形的紙平均分成7份。

2.畫出長方形紙的七分之四。

3.把七分之四再平均分成三份。

4.畫出■被平均分成■的部分。

從而形成下面視覺直觀。

■

5.與此同時，讓學生積極反思這個動手實踐的過程，用自己的數(shù)學語言來解讀分數(shù)除法的計算方法。

案例二：在教學北師大版數(shù)學五下分數(shù)除法（3）時，文本呈現(xiàn)這樣的情景：

跳繩的小朋友有6人，是操場上參加活動總?cè)藬?shù)的■，操場上有多少人參加活動？

我班的多數(shù)學生采用方程的方法，只有吳××采用算術(shù)的方法來解決的，而且她的板演勾起了更多學生的數(shù)學思考。

■

她首先在黑板上畫出上面的線段圖并口述到：把活動總?cè)藬?shù)平均分成9份，跳繩占了其中的2份，而且從線段圖可以直接看出這2份正好是6人，所以推斷1份是3人，那么9份是27人。所以操場上共有27人參加活動。課到此沒有停住，而是引發(fā)學生思考：同學們觀察剛才吳××同學所畫的線段圖思考，請你們用簡潔的數(shù)學方式來表達他的思考過程好嗎？給出了較長的時間，仍然是吳宗娜同學呈現(xiàn)了上面的除法算式：6÷■=6×■。

鑒于上述兩個案例，幾何直觀在教學中可以發(fā)揮作用有：

一、實現(xiàn)了由圖形直觀到數(shù)學本質(zhì)的抽象

案例一中，整個教學過程我把豐富學生的直觀經(jīng)驗作為理解算理的基礎，讓他們動手操作，分層進行、層層推進。當然數(shù)學活動不僅來自于指端，更主要的是學生的數(shù)學思維，因而學生不斷反思自己的操作行為的結(jié)果——上面的直觀圖形，實現(xiàn)了由圖形直觀到數(shù)學本質(zhì)的抽象，即一個數(shù)除法一個不為0的數(shù)等于乘這個數(shù)的倒數(shù)。這正是利用了圖形直觀到算法的抽象，從而也更好地理解了算理，實現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合。同時，在此過程中也積累了學生的直接經(jīng)驗，讓他們在動手實踐活動中豐富感性認知，提高解決問題的能力。正如笛卡兒說得那樣：沒有任何東西比幾何圖形更容易印入腦際了，因此用這種方式來表達事物是有益的。

二、實現(xiàn)了視覺思維到有序思維的有效過渡

在教學中，我利用除法這種數(shù)學符號形式實現(xiàn)這種思考的過程。從這個孩子表述中可以清晰地看出，她利用了線段圖這一載體實現(xiàn)了視覺思維到有序思維有效過渡。其實質(zhì)是將相對抽象對象“圖形化”使得過程變得直觀，直觀了就容易展開形象思維了。著名的教育家夸美紐斯稱，知識的開端永遠從感官得到的。直觀是為了更好地抽象，直觀不是目的，目的是認識的起點。

綜上所述，面對這美妙的圖形，不得不深深地贊嘆其偉大，正如課標中闡釋的那樣：幾何直觀可以把復雜的數(shù)學問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預測結(jié)果。幾何直觀可以幫助學生直觀地理解數(shù)學，在整個數(shù)學學習中都發(fā)揮著重要作用。幾何直觀是具體的，不是虛無的。他不僅可以讓我們看到了什么，而且可以讓我們通過看到的圖形思考到了什么，想到了什么。幾何直觀會把看到的與以前學到的結(jié)合起來，通過思考、想象，猜測出一些可能的結(jié)論，這不就是合情推理嗎？因此文章到此是否可以形成下面的邏輯結(jié)構(gòu)圖呢？所以我認為：“幾何直觀”架構(gòu)視覺思維與有序思維的“橋梁”，更是實現(xiàn)了由圖形語言到符號語言的轉(zhuǎn)變。

圖形語言→符號語言

↓幾何直觀↓

視覺思維→有序思維

（作者單位 安徽省霍山縣下符橋鎮(zhèn)地稅希望小學）

編輯 韓 曉endprint

摘 要：“幾何直觀”在日常教學中經(jīng)常用到，但很少去提煉它，它是推進數(shù)學語言進步、促進學生數(shù)學思維發(fā)展的手段，是實現(xiàn)數(shù)學抽象、推理、建模的載體。

關(guān)鍵詞：幾何直觀；數(shù)學本質(zhì)；思維發(fā)展

《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》提出“幾何直觀”這一核心概念。它可以幫助我們梳理信息、分析數(shù)量關(guān)系，這種直觀的圖形語言也是學生進入積極思維狀態(tài)的引子。幾何直觀是認識的基礎，是學生認識的源泉，可以引發(fā)學生的創(chuàng)造性思維，有利于學生對數(shù)學理解，借助于幾何直觀能啟迪思路，可以幫助我們理解抽象的內(nèi)容。如何在教學中運用這一核心理念指導我們的教學？下面將以本人在教學中關(guān)于分數(shù)乘、除法為例談一談對這個問題的個人看法。

案例一：在教學分數(shù)除法■÷3時。

我讓學生動手經(jīng)歷這樣的實踐活動過程：

1.首先把一張長方形的紙平均分成7份。

2.畫出長方形紙的七分之四。

3.把七分之四再平均分成三份。

4.畫出■被平均分成■的部分。

從而形成下面視覺直觀。

■

5.與此同時，讓學生積極反思這個動手實踐的過程，用自己的數(shù)學語言來解讀分數(shù)除法的計算方法。

案例二：在教學北師大版數(shù)學五下分數(shù)除法（3）時，文本呈現(xiàn)這樣的情景：

跳繩的小朋友有6人，是操場上參加活動總?cè)藬?shù)的■，操場上有多少人參加活動？

我班的多數(shù)學生采用方程的方法，只有吳××采用算術(shù)的方法來解決的，而且她的板演勾起了更多學生的數(shù)學思考。

■

她首先在黑板上畫出上面的線段圖并口述到：把活動總?cè)藬?shù)平均分成9份，跳繩占了其中的2份，而且從線段圖可以直接看出這2份正好是6人，所以推斷1份是3人，那么9份是27人。所以操場上共有27人參加活動。課到此沒有停住，而是引發(fā)學生思考：同學們觀察剛才吳××同學所畫的線段圖思考，請你們用簡潔的數(shù)學方式來表達他的思考過程好嗎？給出了較長的時間，仍然是吳宗娜同學呈現(xiàn)了上面的除法算式：6÷■=6×■。

鑒于上述兩個案例，幾何直觀在教學中可以發(fā)揮作用有：

一、實現(xiàn)了由圖形直觀到數(shù)學本質(zhì)的抽象

案例一中，整個教學過程我把豐富學生的直觀經(jīng)驗作為理解算理的基礎，讓他們動手操作，分層進行、層層推進。當然數(shù)學活動不僅來自于指端，更主要的是學生的數(shù)學思維，因而學生不斷反思自己的操作行為的結(jié)果——上面的直觀圖形，實現(xiàn)了由圖形直觀到數(shù)學本質(zhì)的抽象，即一個數(shù)除法一個不為0的數(shù)等于乘這個數(shù)的倒數(shù)。這正是利用了圖形直觀到算法的抽象，從而也更好地理解了算理，實現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合。同時，在此過程中也積累了學生的直接經(jīng)驗，讓他們在動手實踐活動中豐富感性認知，提高解決問題的能力。正如笛卡兒說得那樣：沒有任何東西比幾何圖形更容易印入腦際了，因此用這種方式來表達事物是有益的。

二、實現(xiàn)了視覺思維到有序思維的有效過渡

在教學中，我利用除法這種數(shù)學符號形式實現(xiàn)這種思考的過程。從這個孩子表述中可以清晰地看出，她利用了線段圖這一載體實現(xiàn)了視覺思維到有序思維有效過渡。其實質(zhì)是將相對抽象對象“圖形化”使得過程變得直觀，直觀了就容易展開形象思維了。著名的教育家夸美紐斯稱，知識的開端永遠從感官得到的。直觀是為了更好地抽象，直觀不是目的，目的是認識的起點。

綜上所述，面對這美妙的圖形，不得不深深地贊嘆其偉大，正如課標中闡釋的那樣：幾何直觀可以把復雜的數(shù)學問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預測結(jié)果。幾何直觀可以幫助學生直觀地理解數(shù)學，在整個數(shù)學學習中都發(fā)揮著重要作用。幾何直觀是具體的，不是虛無的。他不僅可以讓我們看到了什么，而且可以讓我們通過看到的圖形思考到了什么，想到了什么。幾何直觀會把看到的與以前學到的結(jié)合起來，通過思考、想象，猜測出一些可能的結(jié)論，這不就是合情推理嗎？因此文章到此是否可以形成下面的邏輯結(jié)構(gòu)圖呢？所以我認為：“幾何直觀”架構(gòu)視覺思維與有序思維的“橋梁”，更是實現(xiàn)了由圖形語言到符號語言的轉(zhuǎn)變。

圖形語言→符號語言

↓幾何直觀↓

視覺思維→有序思維

（作者單位 安徽省霍山縣下符橋鎮(zhèn)地稅希望小學）

編輯 韓 曉endprint

摘 要：“幾何直觀”在日常教學中經(jīng)常用到，但很少去提煉它，它是推進數(shù)學語言進步、促進學生數(shù)學思維發(fā)展的手段，是實現(xiàn)數(shù)學抽象、推理、建模的載體。

關(guān)鍵詞：幾何直觀；數(shù)學本質(zhì)；思維發(fā)展

《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》提出“幾何直觀”這一核心概念。它可以幫助我們梳理信息、分析數(shù)量關(guān)系，這種直觀的圖形語言也是學生進入積極思維狀態(tài)的引子。幾何直觀是認識的基礎，是學生認識的源泉，可以引發(fā)學生的創(chuàng)造性思維，有利于學生對數(shù)學理解，借助于幾何直觀能啟迪思路，可以幫助我們理解抽象的內(nèi)容。如何在教學中運用這一核心理念指導我們的教學？下面將以本人在教學中關(guān)于分數(shù)乘、除法為例談一談對這個問題的個人看法。

案例一：在教學分數(shù)除法■÷3時。

我讓學生動手經(jīng)歷這樣的實踐活動過程：

1.首先把一張長方形的紙平均分成7份。

2.畫出長方形紙的七分之四。

3.把七分之四再平均分成三份。

4.畫出■被平均分成■的部分。

從而形成下面視覺直觀。

■

5.與此同時，讓學生積極反思這個動手實踐的過程，用自己的數(shù)學語言來解讀分數(shù)除法的計算方法。

案例二：在教學北師大版數(shù)學五下分數(shù)除法（3）時，文本呈現(xiàn)這樣的情景：

跳繩的小朋友有6人，是操場上參加活動總?cè)藬?shù)的■，操場上有多少人參加活動？

我班的多數(shù)學生采用方程的方法，只有吳××采用算術(shù)的方法來解決的，而且她的板演勾起了更多學生的數(shù)學思考。

■

她首先在黑板上畫出上面的線段圖并口述到：把活動總?cè)藬?shù)平均分成9份，跳繩占了其中的2份，而且從線段圖可以直接看出這2份正好是6人，所以推斷1份是3人，那么9份是27人。所以操場上共有27人參加活動。課到此沒有停住，而是引發(fā)學生思考：同學們觀察剛才吳××同學所畫的線段圖思考，請你們用簡潔的數(shù)學方式來表達他的思考過程好嗎？給出了較長的時間，仍然是吳宗娜同學呈現(xiàn)了上面的除法算式：6÷■=6×■。

鑒于上述兩個案例，幾何直觀在教學中可以發(fā)揮作用有：

一、實現(xiàn)了由圖形直觀到數(shù)學本質(zhì)的抽象

案例一中，整個教學過程我把豐富學生的直觀經(jīng)驗作為理解算理的基礎，讓他們動手操作，分層進行、層層推進。當然數(shù)學活動不僅來自于指端，更主要的是學生的數(shù)學思維，因而學生不斷反思自己的操作行為的結(jié)果——上面的直觀圖形，實現(xiàn)了由圖形直觀到數(shù)學本質(zhì)的抽象，即一個數(shù)除法一個不為0的數(shù)等于乘這個數(shù)的倒數(shù)。這正是利用了圖形直觀到算法的抽象，從而也更好地理解了算理，實現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合。同時，在此過程中也積累了學生的直接經(jīng)驗，讓他們在動手實踐活動中豐富感性認知，提高解決問題的能力。正如笛卡兒說得那樣：沒有任何東西比幾何圖形更容易印入腦際了，因此用這種方式來表達事物是有益的。

二、實現(xiàn)了視覺思維到有序思維的有效過渡

在教學中，我利用除法這種數(shù)學符號形式實現(xiàn)這種思考的過程。從這個孩子表述中可以清晰地看出，她利用了線段圖這一載體實現(xiàn)了視覺思維到有序思維有效過渡。其實質(zhì)是將相對抽象對象“圖形化”使得過程變得直觀，直觀了就容易展開形象思維了。著名的教育家夸美紐斯稱，知識的開端永遠從感官得到的。直觀是為了更好地抽象，直觀不是目的，目的是認識的起點。

綜上所述，面對這美妙的圖形，不得不深深地贊嘆其偉大，正如課標中闡釋的那樣：幾何直觀可以把復雜的數(shù)學問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預測結(jié)果。幾何直觀可以幫助學生直觀地理解數(shù)學，在整個數(shù)學學習中都發(fā)揮著重要作用。幾何直觀是具體的，不是虛無的。他不僅可以讓我們看到了什么，而且可以讓我們通過看到的圖形思考到了什么，想到了什么。幾何直觀會把看到的與以前學到的結(jié)合起來，通過思考、想象，猜測出一些可能的結(jié)論，這不就是合情推理嗎？因此文章到此是否可以形成下面的邏輯結(jié)構(gòu)圖呢？所以我認為：“幾何直觀”架構(gòu)視覺思維與有序思維的“橋梁”，更是實現(xiàn)了由圖形語言到符號語言的轉(zhuǎn)變。

圖形語言→符號語言

↓幾何直觀↓

視覺思維→有序思維

（作者單位 安徽省霍山縣下符橋鎮(zhèn)地稅希望小學）

編輯 韓 曉endprint