對高考試題中兩個平面向量小題的再思考

于彬

平面向量的知識靈活多變，可以與高中的很多知識相結合，同時很多題目的條件也可以通過平面向量的形式告訴我們，因而我們在平常的復習備考中應引起足夠的重視.下面就對高考試題中出現的兩個與平面向量的知識有關的兩個小題進行簡單的探討.

（1）2011年大綱全國卷（理科）第12題：

設向量■，■，■滿足■=■=1，■·■=-■，<■-■，■-■>=60°，則■的最大值等于（ ）

A.2 B.■

C.■ D.1

分析：本題以平面向量為依托，考查四點共圓的知識，由于此知識在初中學習過，從而在老教材中沒有出現，而在新課標教材選修4-1中重新提出，對于大綱全國卷的考生比較生疏.同時本題還考查了平面向量的基本知識和數形結合這一重要的數學思想.

解：設向量■=■，■=■，■=■，則■=■-■，■=■-■

由題意容易得到∠AOB=120°，而<■-■，■-■>=60°，又60°+120°=180°，所以O，A，B，C四點共圓.也就是說，當OC為圓的直徑時（如圖1），■最大，此時∠OAC=∠OBC=90°，進而Rt△AOC≌Rt△BOC，從而解得■的最大值等于2，故正確答案為A.

進一步思考：■的最小值為多少？

此時還要考慮圓的知識，我們知道同一條弧所對的圓周角是圓心角的一半.

分析：設向量■=■，■=■，■=■，則■=■-■，■=■-■.

顯然當點C位于以O為圓心，半徑R=1的圓的以A，B為端點（不含A，B）的優弧上時（如圖2），此時■取到最小值1（此時 ∠AOB=120°，是∠ACB=60°的圓心角）.

綜上所述，■的最大值和最小值分別為2和1.

■

（2）2003年新課標全國卷（理科）第4題：

O是平面上一定點，A，B，C是平面上不共線的三個點，動點P滿足■=■+λ（■+■）·λ∈[0，+∞）。則P的軌跡一定通過△ABC的（ ）

A.外心 B.內心

C.重心 D.垂心

分析：本題與解析幾何相結合，這種形式在高考中出現的非常多.對于本題的解法在很多資料中主要是通過向量運算法則中的平行四邊形法則來給出的，在這里我們考慮另一種方法，給人以更明顯的感覺。■顯然是與■同向的單位向量，對于單位向量我們一般有兩種表示方法：一個是坐標軸上的單位向量，一般表示為（1，0）（0，1）（0，-1）（-1，0）；另一個是坐標間的單位向量，一般表示為（cosθ，sinθ），其中θ為單位向量與x軸正方向的夾角。下面我們給出本題的解析法.

解：以點A為坐標原點，向量■所在的直線為x軸，正方向與■同向，過點A且與向量■垂直的直線為y軸，建立平面直角坐標系：設點P的坐標為（x，y），∠CAB=θ，則■可表示為（1，0），■可表示為（cosθ，sinθ），于是代入■=■+λ（■+■），計算得：（x，y）=λ[（1，0）+（cosθ，sinθ）]，λ∈[0，+∞），即x=λ（1+cosθ）（1）y=λsinθ（2），λ≥0為參數，用（2）式除以（1）式得：■=1+■=■=tan■，而tan■就是過∠CAB的角平分線的直線的斜率，于是直線y=tan■x必經過△ABC的內心，故正確答案為B.

（作者單位 山東省東營市勝利第六中學）

編輯 韓 曉

平面向量的知識靈活多變，可以與高中的很多知識相結合，同時很多題目的條件也可以通過平面向量的形式告訴我們，因而我們在平常的復習備考中應引起足夠的重視.下面就對高考試題中出現的兩個與平面向量的知識有關的兩個小題進行簡單的探討.

（1）2011年大綱全國卷（理科）第12題：

設向量■，■，■滿足■=■=1，■·■=-■，<■-■，■-■>=60°，則■的最大值等于（ ）

A.2 B.■

C.■ D.1

分析：本題以平面向量為依托，考查四點共圓的知識，由于此知識在初中學習過，從而在老教材中沒有出現，而在新課標教材選修4-1中重新提出，對于大綱全國卷的考生比較生疏.同時本題還考查了平面向量的基本知識和數形結合這一重要的數學思想.

解：設向量■=■，■=■，■=■，則■=■-■，■=■-■

由題意容易得到∠AOB=120°，而<■-■，■-■>=60°，又60°+120°=180°，所以O，A，B，C四點共圓.也就是說，當OC為圓的直徑時（如圖1），■最大，此時∠OAC=∠OBC=90°，進而Rt△AOC≌Rt△BOC，從而解得■的最大值等于2，故正確答案為A.

進一步思考：■的最小值為多少？

此時還要考慮圓的知識，我們知道同一條弧所對的圓周角是圓心角的一半.

分析：設向量■=■，■=■，■=■，則■=■-■，■=■-■.

顯然當點C位于以O為圓心，半徑R=1的圓的以A，B為端點（不含A，B）的優弧上時（如圖2），此時■取到最小值1（此時 ∠AOB=120°，是∠ACB=60°的圓心角）.

綜上所述，■的最大值和最小值分別為2和1.

■

（2）2003年新課標全國卷（理科）第4題：

O是平面上一定點，A，B，C是平面上不共線的三個點，動點P滿足■=■+λ（■+■）·λ∈[0，+∞）。則P的軌跡一定通過△ABC的（ ）

A.外心 B.內心

C.重心 D.垂心

分析：本題與解析幾何相結合，這種形式在高考中出現的非常多.對于本題的解法在很多資料中主要是通過向量運算法則中的平行四邊形法則來給出的，在這里我們考慮另一種方法，給人以更明顯的感覺。■顯然是與■同向的單位向量，對于單位向量我們一般有兩種表示方法：一個是坐標軸上的單位向量，一般表示為（1，0）（0，1）（0，-1）（-1，0）；另一個是坐標間的單位向量，一般表示為（cosθ，sinθ），其中θ為單位向量與x軸正方向的夾角。下面我們給出本題的解析法.

解：以點A為坐標原點，向量■所在的直線為x軸，正方向與■同向，過點A且與向量■垂直的直線為y軸，建立平面直角坐標系：設點P的坐標為（x，y），∠CAB=θ，則■可表示為（1，0），■可表示為（cosθ，sinθ），于是代入■=■+λ（■+■），計算得：（x，y）=λ[（1，0）+（cosθ，sinθ）]，λ∈[0，+∞），即x=λ（1+cosθ）（1）y=λsinθ（2），λ≥0為參數，用（2）式除以（1）式得：■=1+■=■=tan■，而tan■就是過∠CAB的角平分線的直線的斜率，于是直線y=tan■x必經過△ABC的內心，故正確答案為B.

（作者單位 山東省東營市勝利第六中學）

編輯 韓 曉

平面向量的知識靈活多變，可以與高中的很多知識相結合，同時很多題目的條件也可以通過平面向量的形式告訴我們，因而我們在平常的復習備考中應引起足夠的重視.下面就對高考試題中出現的兩個與平面向量的知識有關的兩個小題進行簡單的探討.

（1）2011年大綱全國卷（理科）第12題：

設向量■，■，■滿足■=■=1，■·■=-■，<■-■，■-■>=60°，則■的最大值等于（ ）

A.2 B.■

C.■ D.1

分析：本題以平面向量為依托，考查四點共圓的知識，由于此知識在初中學習過，從而在老教材中沒有出現，而在新課標教材選修4-1中重新提出，對于大綱全國卷的考生比較生疏.同時本題還考查了平面向量的基本知識和數形結合這一重要的數學思想.

解：設向量■=■，■=■，■=■，則■=■-■，■=■-■

由題意容易得到∠AOB=120°，而<■-■，■-■>=60°，又60°+120°=180°，所以O，A，B，C四點共圓.也就是說，當OC為圓的直徑時（如圖1），■最大，此時∠OAC=∠OBC=90°，進而Rt△AOC≌Rt△BOC，從而解得■的最大值等于2，故正確答案為A.

進一步思考：■的最小值為多少？

此時還要考慮圓的知識，我們知道同一條弧所對的圓周角是圓心角的一半.

分析：設向量■=■，■=■，■=■，則■=■-■，■=■-■.

顯然當點C位于以O為圓心，半徑R=1的圓的以A，B為端點（不含A，B）的優弧上時（如圖2），此時■取到最小值1（此時 ∠AOB=120°，是∠ACB=60°的圓心角）.

綜上所述，■的最大值和最小值分別為2和1.

■

（2）2003年新課標全國卷（理科）第4題：

O是平面上一定點，A，B，C是平面上不共線的三個點，動點P滿足■=■+λ（■+■）·λ∈[0，+∞）。則P的軌跡一定通過△ABC的（ ）

A.外心 B.內心

C.重心 D.垂心

分析：本題與解析幾何相結合，這種形式在高考中出現的非常多.對于本題的解法在很多資料中主要是通過向量運算法則中的平行四邊形法則來給出的，在這里我們考慮另一種方法，給人以更明顯的感覺。■顯然是與■同向的單位向量，對于單位向量我們一般有兩種表示方法：一個是坐標軸上的單位向量，一般表示為（1，0）（0，1）（0，-1）（-1，0）；另一個是坐標間的單位向量，一般表示為（cosθ，sinθ），其中θ為單位向量與x軸正方向的夾角。下面我們給出本題的解析法.

解：以點A為坐標原點，向量■所在的直線為x軸，正方向與■同向，過點A且與向量■垂直的直線為y軸，建立平面直角坐標系：設點P的坐標為（x，y），∠CAB=θ，則■可表示為（1，0），■可表示為（cosθ，sinθ），于是代入■=■+λ（■+■），計算得：（x，y）=λ[（1，0）+（cosθ，sinθ）]，λ∈[0，+∞），即x=λ（1+cosθ）（1）y=λsinθ（2），λ≥0為參數，用（2）式除以（1）式得：■=1+■=■=tan■，而tan■就是過∠CAB的角平分線的直線的斜率，于是直線y=tan■x必經過△ABC的內心，故正確答案為B.

（作者單位 山東省東營市勝利第六中學）

編輯 韓 曉