高考中的函數零點問題

陳雯鈺

函數的零點是溝通函數、方程、圖像的一個重要媒介，滲透著等價轉化、化歸、數形結合、函數與方程等思想方法，是一個考察學生綜合素質的很好知識點.近幾年的數學高考中頻頻出現零點問題，其形式逐漸多樣化，但都離不開這幾種常用的等價關系：函數y=f（x）有零點？圳方程f（x）=0有實數根？圳函數y=f（x）的圖像與x軸有交點.也可拓展為：函數y=F（x）=f（x）-g（x）有零點？圳方程組y■=f（x）y■=g（x）有實數根？圳函數y1=f（x）與函數y2=g（x）的圖像有交點.

圍繞它們之間的關系，就高考中的一些典型題型加以剖析：

類型一：函數零點的分布

解決零點的分布問題，主要依據零點的存在性定理：如果函數y=f（x）在區間[a，b]上的圖像是連續不斷的一條曲線，并且有f（a）·f（b）<0，那么函數y=f（x）在區間（a，b）內有零點.而零點的個數還需結合函數的圖像和性質，尤其是函數的單調性才能確定.

例1：（2013高考數學重慶卷）若a

A.（a，b）和（b，c）內

B.（-∞，a）和（a，b）內

C.（b，c）和（c，+∞）內

D.（-∞，a）和（c，+∞）內

解析：由題意a0，f（b）=（b-c）（b-a）<0，f（c）=（c-a）（c-b）>0.顯然f（a）·f（b）<0，f（b）·f（c）<0，所以該函數在（a，b）和（b，c）上均有零點，故選A.

變式：（高考廣東卷、高考山東卷）若函數為f（x）為奇函數，當x<0時，f（x）=-lg（-x）+x+3，已知f（x）=0有一個根為x0，且x0∈（n，n+1），n∈N*，則n的值為________.

解析：由題意，設x>0，則-x<0，f（-x）=-lgx-x+3=-f（x），所以當x>0時，f（x）=lgx+x-3在（0，+∞）上是增函數，f（2）<0，f（3）>0，所以x0∈（2，3），則n=2.

類型二：函數零點的個數

判斷函數零點個數可利用定義法，即令f（x）=0，則該方程的解即為函數的零點，方程解的個數就是函數零點的個數；也可根據幾何法，將函數的零點問題轉化為兩個函數圖像的交點問題來解決.

例2：（2012高考數學湖北卷）函數f（x）=xcosx2在區間[0，4]上的零點個數為（ ）

A. 4 B. 5 C. 6 D. 7

解析：定義法，令f（x）=0，可得x=0或cosx2=0，所以得x=0或x2=kπ+■，k∈Z，又注意到x∈[0，4]可得k=0，1，2，3，4，所以方程共有6個解，因此函數f（x）=xcosx2在區間[0，4]上有6個零點，故選C.

類型三：利用函數零點求參數

在高考中，除了要我們求函數的零點個數外，還常出現一種題型就是：先給出函數的零點個數，再來解決其他問題（如求參數）.要解決此類問題常根據函數y=F（x）=f（x）-g（x）有零點？圳方程組y■=f（x）y■=g（x）有實數根？圳函數y1=f（x）與y2=g（x）函數的圖像有交點.

例3：（2009高考數學山東卷）若函數 f（x）=ax-x-a（a>0且a≠1）有兩個零點，則實數a的取值范圍是 .

解析：我們可將上述函數的零點轉換成兩個函數的圖像的交點個數問題，根據例3的幾何法：

1.構造函數.設函數y=ax（a>0，且a≠1）和函數y=x+a，則函數f（x）=ax-x-a（a>0且a≠1）有兩個零點， 就是函數y=ax（a>0且a≠1）與函數y=x+a有兩個交點.

2.通過圖像描繪題意——將數轉化成形.

3.由圖像得出結論——將形轉化成數.

當時0

當時a>1（如圖2），因為函數y=ax（a>1）的圖像過點（0，1），而直線y=x+a所過的點（0，a）在點（0，1）的上方，此時兩函數有兩個交點.所以實數a的取值范圍是{a|a>1}.

上述各例子剖析了近幾年數學高考中函數零點問題的典型題型及解法，值得一提的是，各種類型各種方法并不是完全孤立的，利用數學的轉化與化歸、數形結合等思想，函數F（x）=f（x）-g（x）的零點問題看成方程根的個數或者函數圖像y=f（x）、y=g（x）的交點個數問題，使得復雜的問題通過變換轉化為簡單的問題，難解的問題轉化為易解的問題，未解決的問題轉化為已解決的問題.

責任編輯 羅 峰

函數的零點是溝通函數、方程、圖像的一個重要媒介，滲透著等價轉化、化歸、數形結合、函數與方程等思想方法，是一個考察學生綜合素質的很好知識點.近幾年的數學高考中頻頻出現零點問題，其形式逐漸多樣化，但都離不開這幾種常用的等價關系：函數y=f（x）有零點？圳方程f（x）=0有實數根？圳函數y=f（x）的圖像與x軸有交點.也可拓展為：函數y=F（x）=f（x）-g（x）有零點？圳方程組y■=f（x）y■=g（x）有實數根？圳函數y1=f（x）與函數y2=g（x）的圖像有交點.

圍繞它們之間的關系，就高考中的一些典型題型加以剖析：

類型一：函數零點的分布

解決零點的分布問題，主要依據零點的存在性定理：如果函數y=f（x）在區間[a，b]上的圖像是連續不斷的一條曲線，并且有f（a）·f（b）<0，那么函數y=f（x）在區間（a，b）內有零點.而零點的個數還需結合函數的圖像和性質，尤其是函數的單調性才能確定.

例1：（2013高考數學重慶卷）若a

A.（a，b）和（b，c）內

B.（-∞，a）和（a，b）內

C.（b，c）和（c，+∞）內

D.（-∞，a）和（c，+∞）內

解析：由題意a0，f（b）=（b-c）（b-a）<0，f（c）=（c-a）（c-b）>0.顯然f（a）·f（b）<0，f（b）·f（c）<0，所以該函數在（a，b）和（b，c）上均有零點，故選A.

變式：（高考廣東卷、高考山東卷）若函數為f（x）為奇函數，當x<0時，f（x）=-lg（-x）+x+3，已知f（x）=0有一個根為x0，且x0∈（n，n+1），n∈N*，則n的值為________.

解析：由題意，設x>0，則-x<0，f（-x）=-lgx-x+3=-f（x），所以當x>0時，f（x）=lgx+x-3在（0，+∞）上是增函數，f（2）<0，f（3）>0，所以x0∈（2，3），則n=2.

類型二：函數零點的個數

判斷函數零點個數可利用定義法，即令f（x）=0，則該方程的解即為函數的零點，方程解的個數就是函數零點的個數；也可根據幾何法，將函數的零點問題轉化為兩個函數圖像的交點問題來解決.

例2：（2012高考數學湖北卷）函數f（x）=xcosx2在區間[0，4]上的零點個數為（ ）

A. 4 B. 5 C. 6 D. 7

解析：定義法，令f（x）=0，可得x=0或cosx2=0，所以得x=0或x2=kπ+■，k∈Z，又注意到x∈[0，4]可得k=0，1，2，3，4，所以方程共有6個解，因此函數f（x）=xcosx2在區間[0，4]上有6個零點，故選C.

類型三：利用函數零點求參數

在高考中，除了要我們求函數的零點個數外，還常出現一種題型就是：先給出函數的零點個數，再來解決其他問題（如求參數）.要解決此類問題常根據函數y=F（x）=f（x）-g（x）有零點？圳方程組y■=f（x）y■=g（x）有實數根？圳函數y1=f（x）與y2=g（x）函數的圖像有交點.

例3：（2009高考數學山東卷）若函數 f（x）=ax-x-a（a>0且a≠1）有兩個零點，則實數a的取值范圍是 .

解析：我們可將上述函數的零點轉換成兩個函數的圖像的交點個數問題，根據例3的幾何法：

1.構造函數.設函數y=ax（a>0，且a≠1）和函數y=x+a，則函數f（x）=ax-x-a（a>0且a≠1）有兩個零點， 就是函數y=ax（a>0且a≠1）與函數y=x+a有兩個交點.

2.通過圖像描繪題意——將數轉化成形.

3.由圖像得出結論——將形轉化成數.

當時0

當時a>1（如圖2），因為函數y=ax（a>1）的圖像過點（0，1），而直線y=x+a所過的點（0，a）在點（0，1）的上方，此時兩函數有兩個交點.所以實數a的取值范圍是{a|a>1}.

上述各例子剖析了近幾年數學高考中函數零點問題的典型題型及解法，值得一提的是，各種類型各種方法并不是完全孤立的，利用數學的轉化與化歸、數形結合等思想，函數F（x）=f（x）-g（x）的零點問題看成方程根的個數或者函數圖像y=f（x）、y=g（x）的交點個數問題，使得復雜的問題通過變換轉化為簡單的問題，難解的問題轉化為易解的問題，未解決的問題轉化為已解決的問題.

責任編輯 羅 峰

函數的零點是溝通函數、方程、圖像的一個重要媒介，滲透著等價轉化、化歸、數形結合、函數與方程等思想方法，是一個考察學生綜合素質的很好知識點.近幾年的數學高考中頻頻出現零點問題，其形式逐漸多樣化，但都離不開這幾種常用的等價關系：函數y=f（x）有零點？圳方程f（x）=0有實數根？圳函數y=f（x）的圖像與x軸有交點.也可拓展為：函數y=F（x）=f（x）-g（x）有零點？圳方程組y■=f（x）y■=g（x）有實數根？圳函數y1=f（x）與函數y2=g（x）的圖像有交點.

圍繞它們之間的關系，就高考中的一些典型題型加以剖析：

類型一：函數零點的分布

解決零點的分布問題，主要依據零點的存在性定理：如果函數y=f（x）在區間[a，b]上的圖像是連續不斷的一條曲線，并且有f（a）·f（b）<0，那么函數y=f（x）在區間（a，b）內有零點.而零點的個數還需結合函數的圖像和性質，尤其是函數的單調性才能確定.

例1：（2013高考數學重慶卷）若a

A.（a，b）和（b，c）內

B.（-∞，a）和（a，b）內

C.（b，c）和（c，+∞）內

D.（-∞，a）和（c，+∞）內

解析：由題意a0，f（b）=（b-c）（b-a）<0，f（c）=（c-a）（c-b）>0.顯然f（a）·f（b）<0，f（b）·f（c）<0，所以該函數在（a，b）和（b，c）上均有零點，故選A.

變式：（高考廣東卷、高考山東卷）若函數為f（x）為奇函數，當x<0時，f（x）=-lg（-x）+x+3，已知f（x）=0有一個根為x0，且x0∈（n，n+1），n∈N*，則n的值為________.

解析：由題意，設x>0，則-x<0，f（-x）=-lgx-x+3=-f（x），所以當x>0時，f（x）=lgx+x-3在（0，+∞）上是增函數，f（2）<0，f（3）>0，所以x0∈（2，3），則n=2.

類型二：函數零點的個數

判斷函數零點個數可利用定義法，即令f（x）=0，則該方程的解即為函數的零點，方程解的個數就是函數零點的個數；也可根據幾何法，將函數的零點問題轉化為兩個函數圖像的交點問題來解決.

例2：（2012高考數學湖北卷）函數f（x）=xcosx2在區間[0，4]上的零點個數為（ ）

A. 4 B. 5 C. 6 D. 7

解析：定義法，令f（x）=0，可得x=0或cosx2=0，所以得x=0或x2=kπ+■，k∈Z，又注意到x∈[0，4]可得k=0，1，2，3，4，所以方程共有6個解，因此函數f（x）=xcosx2在區間[0，4]上有6個零點，故選C.

類型三：利用函數零點求參數

在高考中，除了要我們求函數的零點個數外，還常出現一種題型就是：先給出函數的零點個數，再來解決其他問題（如求參數）.要解決此類問題常根據函數y=F（x）=f（x）-g（x）有零點？圳方程組y■=f（x）y■=g（x）有實數根？圳函數y1=f（x）與y2=g（x）函數的圖像有交點.

例3：（2009高考數學山東卷）若函數 f（x）=ax-x-a（a>0且a≠1）有兩個零點，則實數a的取值范圍是 .

解析：我們可將上述函數的零點轉換成兩個函數的圖像的交點個數問題，根據例3的幾何法：

1.構造函數.設函數y=ax（a>0，且a≠1）和函數y=x+a，則函數f（x）=ax-x-a（a>0且a≠1）有兩個零點， 就是函數y=ax（a>0且a≠1）與函數y=x+a有兩個交點.

2.通過圖像描繪題意——將數轉化成形.

3.由圖像得出結論——將形轉化成數.

當時0

當時a>1（如圖2），因為函數y=ax（a>1）的圖像過點（0，1），而直線y=x+a所過的點（0，a）在點（0，1）的上方，此時兩函數有兩個交點.所以實數a的取值范圍是{a|a>1}.

上述各例子剖析了近幾年數學高考中函數零點問題的典型題型及解法，值得一提的是，各種類型各種方法并不是完全孤立的，利用數學的轉化與化歸、數形結合等思想，函數F（x）=f（x）-g（x）的零點問題看成方程根的個數或者函數圖像y=f（x）、y=g（x）的交點個數問題，使得復雜的問題通過變換轉化為簡單的問題，難解的問題轉化為易解的問題，未解決的問題轉化為已解決的問題.

責任編輯 羅 峰