非線性耦合薛定諤方程組的整體吸引子

趙 強(qiáng),程秀華,霍葉珂

(云南民族大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院,云南 昆明 650031)

非線性耦合Schr?dinger方程組在數(shù)學(xué)和物理學(xué)研究中應(yīng)用非常廣泛. 在光纖通信系統(tǒng)中, 這樣的方程通常用來(lái)描述非線性情況下光脈沖沿著正交極化軸傳播. Menyuk[1]利用該類方程對(duì)雙折射光纖傳播進(jìn)行了研究.Ismail[2]用Galerkin 方法對(duì)該類方程數(shù)值解進(jìn)行了分析. 含有弱阻尼和外力項(xiàng)的非線性Schr?dinger方程在文獻(xiàn)[3-4]中也有介紹. 吸引子是無(wú)窮維動(dòng)力系統(tǒng)主要研究對(duì)象之一, 尤其在20世紀(jì)90年代之后，國(guó)內(nèi)郭柏靈、戴正德等[5-9]極大地豐富了關(guān)于無(wú)窮維動(dòng)力系統(tǒng)吸引子的研究. 本文討論的非線性耦合Schr?dinger方程組是對(duì)文獻(xiàn)[2]的改進(jìn)：

iut-(β+iα)Δu+(|u|2+|v|2)u+iru=f，

(1)

ivt-(β+iα)Δv+(|u|2+|v|2)v+iσv=g.

(2)

其中阻尼系數(shù)r,σ>0,常數(shù)α,β>0,f(x)和g(x)是與時(shí)間無(wú)關(guān)的外力項(xiàng), 且f,g∈L2(Ω)×L2(Ω),Ω是R2中的有界開(kāi)集. 現(xiàn)將方程(1)和(2)改寫(xiě)成

iUt-(β+iα)ΔU+GU+iQU=F,

(3)

U0=U(x,0);U(x,t)=0,x∈?Ω.

本文討論的非線性耦合Schr?dinger方程組在空間L2(Ω)×L2(Ω)中整體吸引子的存在性, 并對(duì)它的動(dòng)力行為進(jìn)行描述.

1 解的先驗(yàn)估計(jì)

引理1 設(shè)U0∈H,F∈H, 問(wèn)題(3)的解U滿足

(4)

(5)

設(shè)λ=min{r,σ},r,σ>0, 從(5)得

(6)

(7)

引理2 設(shè)U0∈V,F∈V, 問(wèn)題(3)的解U滿足

(8)

(9)

利用Sobolev嵌入定理和插值定理, 且Ω∈R2, 根據(jù)Gagliardo-Nirenberg不等式, 存在常數(shù)c, 使得

(10)

(11)

(12)

(13)

定理1 設(shè)U0∈V∩H,F∈H∩V, 則存在唯一的解U(x,t)=U滿足(3), 并且

U∈L∞(0,T;V∩H).

i(Umt,wj)-(β+iα)(ΔUm,wj)+(GUm,wj)+i(QUm,wj)=(F,wj),

(14)

Um(x,0)=U0m(x).

(15)

2)唯一性證明. 設(shè)U1,U2分別為滿足定理1的條件的2個(gè)解, 令W=U1-U2, 則

iWt-(β+iα)ΔW+GW+iQW=0.

(16)

2 整體吸引子

由定理1證明了問(wèn)題(3)解的存在唯一性可知解對(duì)初值是連續(xù)依賴的, 若在空間H中定義一個(gè)非線性半群S(t):H→H,并滿足S(μ+η)=S(μ)+S(η),?μ,η≥0,S(0)=I;令S(t)U0=U(t), 則S(t)：U0→U(t)定義了空間H上的一個(gè)動(dòng)力系統(tǒng).

當(dāng)t≥t0=t0(B,B0), 成立S(t)B?B0. 從t到t+τ(τ>0)積分(6)得

又由引理2證明中得到式子(13), 利用一致Gronwall引理, 設(shè)

參考文獻(xiàn):

[1] MENYUK C R. Nonlinear pulse propagation in birefringence optical fiber[J].IEEE J Quantum Electron, 1987, 23:174-176.

[2] ISMAIL M S. Numerical solution of coupled nonlinear Schr?dinger equation by Galerkin method[J]. Mathematics and Computers in Simulation, 2008, 78(4): 532-547.

[3] TEMAM R. Infinite dimensonal dynamical systems in mechanics and physics[M]. Springer,1997.

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