關于Diophantine方程x3±43＝3py2*

普粉麗，尹愛軍

關于Diophantine方程x3±43＝3py2*

普粉麗，尹愛軍

（普洱學院數學與統計學院，云南普洱665000）

設p為奇素數，運用初等方法得出了Diophantine方程x3±43＝3py2無正整數解的兩個充分條件.

丟番圖方程；奇素數；同余；正整數解

方程x3±a3＝Dy2（D是無平方因子的正整數）是一類重要的Diophantine方程，其整數解越來越受到人們的關注.杜先存等［1－4］、樂茂華［5，6］對a＝1的情況進行了系列研究，得到了一系列結果；但a＝4時的研究結果還不多見，目前只有很少人進行過研究，且一般集中在研究D無平方因子，且不含6k＋1型素數時整數解的情況.其結論主要為：1994年，李復中［7］給出D只含一個6k＋1型素數因子時，Diophantine方程x3±64＝3Dy2在一些條件下無非平凡解的充分條件；1994年，張海燕、李復中［8］給出D不能被3或6k＋1型的素數整除且D≠k＋2時，Diophantine方程x3±64＝Dy2無非平凡解的充分性條件.本文主要研究D能被3整除，同時還能被6k＋1型素數整除時，方程x3±43＝Dy2無非平凡解的情況.

引理1［5］設奇素數p適合p＝12r2＋1，則方程x3－1＝3py2，x，y∈N無解（x，y）.

引理2［6］設p為奇素數，如果p＝12r2＋1，其中r∈N＋時，則方程x3＋1＝3py2，x，y∈N＋無正整數解.

引理3 設為奇素數，則Diophantine方程x3±8＝2Py2，gcd（x，y）＝1無 2x的正整數解.

證明：當2x時，有8 x3，由x3－8＝2Py2知，4 y2，即2y，可得gcd（x，y）＝2，與gcd（x，y）＝1矛盾，所以Diophantine方程x3±8＝2Py2，gcd（x，y）＝1無2x的正整數解.

定理1 設奇素數p＝12r2＋1，其中2r，則Diophantine方程x3－43＝3py2無正整數解.

定理2 設奇素數p＝12r2＋1，其中2r，則Diophantine方程x3＋43＝3py2無正整數解.

定理1證明：當x≡0（mod 4）時，有y≡0（mod 8），令x＝4x1，y＝8y1，則Diophantine方程x3－43＝3py2可以化為x31－1＝3py22，由引理1知，Diophantine方程x3－43＝3py2無 x≡0（mod 4）的正整數解.

當2x時，有4y，則gcd（x，y）＝2，從而x3－43＝3py2可以化為1，由引理3知，Diophantine方程x3－43＝3py2無2x的正整數解.

當x?0（mod 2）時，由x3－43＝3py2知，y?0（mod 2），因為x3－43＝（x－4）·（x2＋4x＋16），而gcd（x－4，x2＋4x＋16）＝1或3，從而得出下列八種可能的情形：

情形Ⅰ：x－4＝u2，x2＋4x＋16＝3pv2，y＝uv，gcd（u，v）＝1

情形Ⅱ：x－4＝3u2，x2＋4x＋16＝pv2，y＝uv，gcd（u，v）＝1

情形Ⅲ：x－4＝pu2，x2＋4x＋16＝3v2，y＝uv，gcd（u，v）＝1

情形Ⅳ：x－4＝3pu2，x2＋4x＋16＝v2，y＝uv，gcd（u，v）＝1

情形Ⅴ：x－4＝3u2，x2＋4x＋16＝9pv2，y＝3uv，gcd（u，v）＝1

情形Ⅵ：x－4＝9u2，x2＋4x＋16＝3pv2，y＝3uv，gcd（u，v）＝1

情形Ⅶ：x－4＝3pu2，x2＋4x＋16＝9v2，y＝3uv，gcd（u，v）＝1

情形Ⅷ：x－4＝3pu2，x2＋4x＋16＝3v2，y＝3uv，gcd（u，v）＝1

情形Ⅰ，因為x≡1（mod 2），則u≡1（mod 2），故u2≡1（mod 8），由第一式得x≡u2＋4≡5（mod 8），代入第二式得5≡3pv2（mod 8），而奇素數p＝12r2＋1，且2r，知p≡1（mod 8），又因3pv2≡pv2≡1（mod 2），知v2≡1（mod 2），則v2≡1（mod 8），所以3pv2≡3（

mod 8），因此5≡3（mod 8），矛盾.所以該情形方程x3－43＝3py2無x?0（mod 2）的正整數解.

情形Ⅱ，由第一式有x＝3u2＋4≡u2≡1（mod 2），所以x≡7（mod 8），則5≡pv2（mod 8），又因為pv2≡1（mod 2），故p≡1（mod 8），所以v2≡1（mod 2），即v2≡1（mod 8），因此pv2≡1（mod 8），所以5≡1（mod 8），矛盾，所以該情形方程x3－43＝3py2無x?0（mod 2）的正整數解.

情形Ⅲ，因為x≡1（mod 2），所以3v2≡v2≡1（mod 2），即v2≡1（mod 8），由第一式得x＝pu2＋4，又因為p≡1（mod 8），所以x＝pu2≡1（mod 2），即u2≡1（mod 2），所以x≡5（mod 8），則5≡3v2（mod 8），又因為3v2≡3（mod 8），因此5≡3（mod 8），矛盾，所以該情形方程x3－43＝3py2無x?0（mod 2）的正整數解.

情形Ⅳ，第二式可化為（x＋2）2＋12＝v2，可得x＝0或－4，代入第一式可知x＝0或－4，均不適合此式，所以該情形方程x3－43＝3py2無x?0（mod 2）的正整數解.

情形Ⅴ，由第一式知x＝3u2＋4≡u2≡1（mod 2），所以u2≡1（mod 8），進而可知x≡7（mod 8），則5≡9pv2（mod 8），又p＝12r2＋1≡1（mod 2），9pv2≡pv2≡1（mod 2），所以v2≡1（mod 2），即v2≡1（mod 8），所以9pv2≡1（mod 8），因此5≡1（mod 8），矛盾，所以該情形方程x3－43＝3py2無x?0（mod 2）的正整數解.

情形Ⅵ，由第一式知x＝9u2＋4≡u2≡1（mod 2），又因為，即u2≡1（mod 2），知u2≡1（mod 8），所以x≡5（mod 8），則5≡3pv2（mod 8），而奇素數p＝12r2＋1，且2r，即p＝4r2＋1≡1（mod 8），又因為3pv2≡1（mod 2），所以v2≡1（mod 2），即v2≡1（mod 8），因此3pv2≡3（mod 8），所以5≡3（mod 8），矛盾，所以該情形方程x3－43＝3py2無x?0（mod 2）的正整數解.

情形Ⅶ，由第一式知x＝3pu2＋4≡pu2（mod 2），又因為p＝4r2＋1≡1（mod 2），所以u2≡1（mod 2），即u2≡1（mod 8），得x≡7（mod 8），則5≡9v2（mod 8），又因為9v2≡v2≡ 1（mod 2），即v2≡1（mod 8），因此9v2≡1（mod 8），所以5≡x2＋4x＋16＝9v2≡1（mod 8），矛盾，所以該情形方程x3－43＝3py2無x?0（mod 2）的正整數解.

情形Ⅷ，由第一式得x＝9pu2＋4≡pu2（mod 2），又因為p≡1（mod 2），x≡1（mod 2），所以u2≡1（mod 2），即u2≡1（mod 8），所以x≡5（mod 8），則5≡3v2（mod 8），又因為3v2≡v2≡1（mod 2），即v2≡1（mod 8），所以3v2≡3（mod 8），因此5≡3（mod 8），矛盾，所以該情形方程x3－43＝3py2無x?0（mod 2）的正整數解.

從以上討論得知，Diophantine方程x3－43＝3py2在題設條件下無正整數解.

綜上，定理1得證.

類似可證定理2.

［1］杜先存，吳叢博，趙金娥.關于Diophantine方程x3±1＝3Dy2［J］.沈陽大學學報（自然科學版），2013，（1）：84－86.

［2］杜先存，管訓貴，楊慧章.關于不定方程x3＋1＝91y2［J］.內蒙古師范大學學報（自然科學漢文版），2013，（4）：397－399.

［3］杜先存，萬飛，楊慧章.關于丟番圖方程x3±1＝1267y2的整數解［J］.數學的實踐與認識，2013，（15）：288－292.

［4］杜先存，趙東晉，趙金娥.關于不定方程x3±1＝2py2［J］.曲阜師范大學學報（自然科學版），2013，（1）：42－43.

［5］樂茂華.關于Diophantine方程x3－1＝3py2［J］.廣西師范學院學報（自然科學版），2004，（3）：32－33.

［6］樂茂華.關于Diophantine方程x3＋1＝3py2［J］.保定師范專科學校學報，2004，（2）：12－13.

［7］李復中.關于丟番圖方程x3±64＝3Dy2［J］.東北師范大學學報（自然科學版），1994，（2）：16－17.

［8］張海燕，李復中.關于丟番圖方程x3±64＝3Dy2［J］.哈爾濱科學技術大學學報，1994，（3）：107－109.

On the Diophantine Equation x3±43＝3py2

PU Fenli，YIN Aijun
（School of Mathematics and Statistics，Pu’er College，Pu’er Yunnan 665000，China）

Let p be an odd prime.With the elementarymethod，two sufficient conditions are obtained when the Diophantine equation x3±43＝3py2has no integer solutions.

Diophantine equation；odd prime；congruence；positive integer solution

O156.1

A

1008－4681（2014）02－0009－02

（責任編校：晴川）

2014－03－02

普粉麗（1980－），女，云南江川人，普洱學院數學與統計學院講師，碩士.研究方向：數學教育、初等數論.