基于變分偏微分方程的紅外圖像增強算法研究

趙文達，趙 建，韓希珍，續志軍

（1.中國科學院 長春光學精密機械與物理研究所，吉林 長春130033；2.中國科學院大學，北京100049）

1 引 言

隨著紅外成像技術的發展，紅外圖像在遙感探測、醫療衛生、公共安全、交通運輸以及軍事等領域取得了越來越廣泛的應用。但由于紅外探測器件的光敏響應的不均勻性，系統的非線性以及受外界環境的干擾，使得紅外圖像具有噪聲大，目標邊緣模糊和紋理細節不清楚的缺點。因此，需要對紅外圖像進行增強，使圖像適合計算機的識別和系統跟蹤應用［1－3］。

已有的圖像增強算法很多［4－6］，主要分為空域法和頻域法兩類。空域法是直接對圖像像素灰度進行操作，主要包括直接灰度變換、空域濾波和直方圖處理等。該方法運算量小實時性好，缺點是不能從頻率角度反映圖像各部分的區別，圖像分辨力差。頻域法是對圖像進行傅里葉變換后對其頻譜再進行分析操作，然后通過反變換獲得處理后的結果，主要包括傅里葉變換和小波變換等。該方法具有很好的頻率處理能力，但計算量大實時性差。近年來，基于變分偏微分方程的圖像處理技術以其精度高、將圖像轉換為數學模型便于處理等優點倍受青睞。該技術將圖像看作是連續區域進行數學建模，求解時將其轉化為隨時間變化的離散格式。并將圖像離散為間距很小的網格，如梯度、散度等偏微分算子采用差分法進行表述。

本文將變分偏微分方程理論用于紅外圖像的增強，主要是構造一個隨著梯度值增大而減小的函數（≥1）作為原圖像梯度場的系數，增強微弱的有用細節，突出圖像的邊緣。從變換后的梯度場重建出增強的圖像采用變分偏微分方程理論，并對該算法采用有限差分法進行求解。最后通過與現有的直方圖均衡和平臺直方圖均衡算法做主觀和客觀比較，驗證本文算法的優越性。

2 紅外圖像的變分偏微分增強

結合變分偏微分方程思想，本文在圖像的梯度域，通過增強圖像的梯度場來達到增強圖像邊緣和細節的目的。對于

的紅外圖像，圖像中某點p 的梯度定義：

梯度值代表灰度變化的速度，矢量的方向代表灰度朝哪個方向變化。圖像的每個像素點的梯度總和組成了梯度矢量場［7］。

圖像梯度值大的地方，紋理細節看上去就比較清楚。所以，重建圖像的梯度場時，在梯度值小的微弱細節，增加梯度值，增強微弱細節，在梯度值比較大的邊緣區域，適當增加梯度值，使圖像邊緣更加突出。因此，構造一個隨著梯度值增大而減小的函數g（｜I｜）作為原圖像梯度場的系數，得到如下重建的梯度場T：

圖1 梯度場增強系數與梯度值關系Fig.1 Relationship between gradient field enhancement coefficient and gradient value

通過圖1的梯度值與函數的關系可以看出：當梯度值非常小時，梯度場增強系數最大，可以增強圖像的微弱細節；隨著梯度值的增加，梯度場增強系數逐漸減小，最后趨向于1，防止了大的梯度值被過分增大，從而增強的圖像看上去比較柔和。選擇不同的梯度門限r1、r2、r3和r4的值，可以控制梯度場增強的大小即圖像對比度的大小。

從變換之后的梯度場中重建出增強圖像，即是尋找增強的圖像u（x，y），使如下的泛函最小：

其中：T 為重建的梯度場。

3 泛函的求解

常見的求解泛函極值的方法主要有：變分法，遺傳算法，最大值原理等，但在圖像處理應用中，變分法最為常用。記F（x，y，u，ux，uy）為被積函數，則

式中：T＝（T1，T2）， 為梯 度 算 子，u＝（ux，uy），x，y 表示偏微分的變量。根據變分法原理［8］可知，泛函E（u）取極值時有

上式中存在許多微分算子，在數字圖像處理中須對其離散化求解。有限差分法是對待此類問題的常用方法，首先對圖像進行等間隔采樣［10］，本文取采樣步長Δx，Δy 為1。拉普拉斯算子應用向前差分，散度應用向后差分。

時間偏微分：

空間偏微分：

拉普拉斯算子應用：

散度采用向后差分近似：

結合公式（8）～（12）可得公式（7）的迭代過程如下

在以上數值計算過程中，采用時域有限差分法，通過對圖像的迭代來找到最優效果的增強圖像。有限差分法高效簡單，通常通過有限次數的迭代就可找到視覺效果好的圖像。

4 實驗結果與分析

對比于直方圖均衡、平臺直方圖均衡［11］算法，本文做了大量的實驗來證明本文算法的優越性，選擇其中兩組有代表性的圖像進行說明。在算法中，取ε＝4，r1＝0.005，r2＝100，r3＝20，r4＝15，Δt＝1，迭代次數n＝15。處理結果如圖2、圖3所示。

通過圖2可以看出：直方圖均衡化可以有效地調節圖像的亮度，但會使圖像“過亮”，而且會使一些灰度相近、分布較少的灰度值的細節信息被抹去，如圖2的車輪；平臺直方圖均衡化給圖像細節的提升留出了空間，使圖像的亮度比較均勻，但平臺值很難確定，實驗中的平臺值使圖2（c）中遠處的樹林比較清晰，但車仍然模糊；經過本文算法增強后，圖像的微弱細節得以增強，如圖2中的車輪、遠處的樹林。圖3為含有較大噪聲的圖片，通過對比可以看出，圖片（b）和（c）噪聲明顯，而本文算法對原圖像的噪聲并沒有過分放大，如圖片（d）左上角的天空。

圖2 紅外原圖及其經過各種增強算法后的對比.（a）原圖；（b）直方圖均衡化；（c）平臺直方圖均衡化；（d）本文算法.Fig.2 Contrast between Infrared original image and various enhancement algorithms.（a）Original image；（b）Histogram equalization；（c）Platform histogram equalization；（d）The algorithm.

圖3 紅外原圖及其經過各種增強算法后的對比.（a）原圖；（b）直方圖均衡化；（c）平臺直方圖均衡化；（d）本文算法.Fig.3 Contrast between infrared original image and various enhancement algorithms.（a）Original image；（b）Histogram equalization；（c）Platform histogram equalization；（d）The algorithm.

本文采用灰度平均梯度值（GMG）作為客觀評價標準。表達式為：

GMG 是將一幅圖像長M 和寬N 方向上的相鄰像素的灰度值分別做差，然后求平方和，最后求均方根。它能反應圖像的紋理特征變化和圖像的對比度，其值越大就說明圖像越清晰。現計算上面2組圖的GMG，結果如表1所示。

表1 4幅紅外圖像的GMGTab.1 GMG of four infrared images

5 結 論

提出一種基于變分偏微分方程理論的紅外圖像增強方法。該方法首先將原圖像變換到梯度域，然后構造一個隨著梯度值增大而減小的函數（≥1）作為原圖像梯度場的系數，增強圖像微弱的有用細節，突出圖像的邊緣，最后通過變分偏微分方程理論從變換后的梯度場重建出增強的圖像。考慮到噪聲可能會被同時放大，在梯度場的變換中對噪聲進行了限幅。實驗結果中，本文算法將原圖像的灰度平均梯度3.885和2.385分別增加到9.693和7.618，提高了2～3 倍，對增強紅外圖像的邊緣和微弱有用信息效果明顯，避免了直方圖均衡類算法丟失一些灰度相近且分布較少的微弱細節信息的缺點，為圖像識別和跟蹤應用提供了高質量的圖像信息。

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