利用邊界元法計算陰極保護電位分布

黃魯星 勝利油田油氣集輸總廠

利用邊界元法計算陰極保護電位分布

黃魯星 勝利油田油氣集輸總廠

隨著計算機以及數值計算方法的發展，利用數值模擬來獲得陰極保護電位的分布逐步受到人們的重視。埋地管道陰極保護電位的邊界元計算過程為：物理模型建立→數學模型的推導→邊界條件的確定→邊界元算法離散→編程求解。對于埋地管道陰極保護電位分布的求解，通過建立物理模型，利用相應邊界條件及邊界元算法推導出了數學模型；采用管單元對邊界進行離散，從而實現了計算機編程求解。當遇到管道沿線土壤介質不均勻以及管道出現拐點的地方，可利用本文提出的方法作相應的處理。

陰極保護；電位分布；邊界元；模型

在陰極保護工程中，電位是監視和控制陰極保護效果的一項重要指標，掌握被保護體表面的陰極保護電位分布對于防腐控制很有意義。在傳統陰極保護工程中，陰極保護電位大都是采用實際測量或經驗估算的方法來獲得。但對于海底管道、海洋平臺、大罐罐底等保護結構，實地測量的難度很大，而經驗估算的方法所得結果的誤差很大，因此傳統的方法已經難以滿足現代陰極保護安全性的要求。隨著計算機以及數值計算方法的發展，利用數值模擬來獲得陰極保護電位的分布逐步受到人們的重視。

埋地管道陰極保護電位的邊界元計算過程為：物理模型建立→數學模型的推導→邊界條件的確定→邊界元算法離散→編程求解。

1 物理模型的建立

外加電流陰極保護系統的物理模型如圖1所示。由于時間、試驗條件等因素的限制，對所研究的問題作了一些簡化[1]：①管道沿線土壤介質為均一介質；②被保護金屬表面極化行為不瞬時改變；③電位場為穩態場；④電流通過土壤時，遵循歐姆定律；⑤輔助陽極可以看成是集中點源，輸出電流恒定。

以上的簡化假設條件，對于無限大土壤區域以及長時間的陰極保護情況，②、③、④、⑤的假設是基本滿足的。對于①的假設，當埋地管道是在區域站場內的時候，可以認為土壤介質均一；但是對于長輸管道沿線經過的地理環境差異很大的情況，土壤介質則不能看作是均一的介質，此時應采用分塊處理，即將管道沿線經過的土壤區域分割成若干塊，認為每一塊的土壤介質是均一的，并且在相鄰兩塊土壤介質的交界面上增加相應的連續性條件。

圖1 陰極保護電位分布的物理模型

認為在交界面處通過的法向電流密度相等，即

2 數學模型的推導及邊界條件的確定

經分析推導，得出含點源的土壤中的電位滿足Poission方程[2]為

對于式（2）所對應的邊值問題的設置如圖2所示，其中Γb為管道表面，Γd為土壤與大氣的交界面，?！逓樘摴谇蜻吔纭?/p>

圖2所示的邊界條件可以做如下設置：

在邊界?！奚?，由于所示區域為半無限大區域，故邊界?！奚系碾娢粸榱悖ㄏ嚯娏髅芏纫矠榱?。

圖2 邊值問題示意

在邊界Γd上，由于空氣的電阻率趨于無限大，外加陽極電流不能通過土壤介質流入空氣介質，只能沿著地表流動，故可以把這個面當做絕緣面來處理，通過該表面的法相電流密度為零[3]。

在陰極邊界Γb上，一般選用實際測量的陰極極化曲線。

綜上可得埋地管道陰極保護電位分布數學模型為

3 邊界元算法離散

邊界單元的選取有三角形、四邊形以及柱面單元等。若選擇三角形或四邊形單元，那么形成的節點會很多，離散成方程的時候，方程的個數會很多，給求解帶來很大的不便。而柱面單元的選取則會大大降低節點和方程的個數，因此下面選擇柱面單元加以介紹。

采用管單元法的前提條件是[4]：①被保護體的幾何形狀適宜進行柱面單元剖分；②同一柱面單元截口線上的電位可視為基本相同。

用上述的管單元離散邊界，應用標準的BEM公式，通過積分變化得到各單元的系數矩陣如下

以上兩式中，i≠j。K(k)是第一類完全橢圓積分，E(k)是第二類完全橢圓積分，在Matlab中直接調用即可；J、B是坐標變換的結果；t為局部坐標；Zrn為管的最后節點的第三坐標。

最后對式（7）、（8）進行數值積分，對上述問題所得的標準BEM系統結果是

4 拐點的處理

對于常單元，由于單元內u和q為常數，沒有角點的問題，但是對于線性單元、二次單元和高次單元來說，角點問題必須處理，否則在拐點處會產生很大的誤差，下面討論幾種具體的處理方法。

（1）雙角節點法。當角點為兩個邊界單元節點時，可以在該角點的兩側，離角點非常近的位置取兩點作為節點。由于這兩個節點分別屬于不同的單元，因此節點上的邊界可以認為是光滑的，這種方法簡單實用，經常被采用。

（2）非協調單元法。非協調單元法即單元邊界的兩個端點和節點不一致，這種方法實際是在單元上進行線性插值，取邊界單元的1/4處和3/4處為節點，這樣節點必定在光滑邊界上，在節點處的導數不會出現不連續的現象。

（3）二重節點法。二重節點法即是在角點上配置兩個節點，兩個節點有相同的坐標，但它們分別屬于兩個不同的單元，函數值相同但是導數值不同。在兩個節點上建立邊界積分方程時，要附加兩節點函數值相同的邊界條件。

5 結論

對于埋地管道陰極保護電位分布的求解，通過建立物理模型，利用相應邊界條件及邊界元算法推導出了數學模型；采用管單元對邊界進行離散，從而實現了計算機編程求解。當遇到管道沿線土壤介質不均勻以及管道出現拐點的地方，可利用本文提出的方法作相應的處理。

[1]梁成浩，袁傳軍，黃乃寶．邊界元法計算凍土層管道陰極保護時的電位分布[J]．大連海事大學學報，2011，11（4）：109-112.

[2]吳洪潭．邊界元法在傳熱學中的應用[M]．北京：國防工業出版社，2008.

[3]郝紅娜，李自力，王太源，等．陰極保護數值模擬計算邊界條件的確定[J]．油氣儲運，2011，30（7）：504-507.

[4]孟憲級，吳中元，梁旭巍，等．區域性陰極保護數學模型算法的改進[J]．中國腐蝕與防護學報，1998（9）：221-226.

（欄目主持楊軍）

10.3969/j.issn.1006-6896.2014.5.015