關(guān)于奇解的若干探討

高珊

摘 要：對于一階常微分方程奇解的有關(guān)問題，本文針對有關(guān)一階常微分方程奇解的定義和求法進(jìn)行了系統(tǒng)的歸納和總結(jié)，列舉了求奇解的兩類方法；并根據(jù)p-判別曲線求奇解的方法，討論了克萊羅（Clairaut）微分方程和兩類特殊類型的一階常微分方程的奇解以及奇解存在的充分條件。

關(guān)鍵詞：一階常微分方程；奇解；包絡(luò)；C-判別曲線；P-判別曲線

1.引言

求通解在歷史上曾作為微分方程的主要目標(biāo)，一旦求出通解的表達(dá)式，就容易從中得到問題所需要的特解，也可以由通解的表達(dá)式了解對某些參數(shù)的依賴情況，便于參數(shù)取值適宜，使它對應(yīng)的解具有所需要的性能，還有助于進(jìn)行關(guān)于解的其他研究。后來的發(fā)展表明，能夠求出通解的情況不多，在實(shí)際應(yīng)用中所需要的多是求滿足某種指定條件的特解。當(dāng)然，通解是有助于研究解的屬性的，但是人們已把研究重點(diǎn)轉(zhuǎn)移到定解問題上來。一個(gè)常微分方程是不是有特解呢？如果有，又有幾個(gè)呢？這是微分方程論中一個(gè)基本的問題，數(shù)學(xué)家把它歸納成基本定理，叫做存在和唯一性定理。因?yàn)槿绻麤]有解，而我們要去求解，那是沒有意義的；如果有解而又不是唯一的，那又不好確定。因此，存在唯一性定理對于微分方程的求解是十分重要的。

而奇解是微分方程的一種特殊的解，類似微分幾何中的包絡(luò)，奇解對應(yīng)的積分曲線上每一點(diǎn)還有方程的另一個(gè)解存在，則存在唯一性定理被破壞。但是，并不是任何微分方程都有奇解，奇解存在的條件還有待進(jìn)行更深入的探討和研究。……