關于有限域上多項式周期的性質

郭臏化， 常星星

(山東理工大學 理學院， 山東 淄博 255091)

1 預備知識

引理1[4]設c為正整數，多項式f(x)∈Fq[x]，且f(0)≠0，則f(x)|xc-1當且僅當per(f(x))|c．

引理2[4]g∈Fq[x]是Fq上不可約多項式，且g(0)≠0，per(g)=e，令f=gb，b為滿足pt≥b的最小的正整數，那么per(f)=ept．

引理3[4]設g1,g2,…，gk是Fq上兩兩互素的非零多項式，且設f=g1g2…gk，那么per(f)=lcm(per(g1),per(g2),…，per(gk))．

2 主要結果

對一般多項式f進行分解，f=g1g2…gk，其中每個gi是一個不可約多項式的方冪，且g1,g2，…，gk是兩兩互素的多項式，根據引理3得

e=per(f)=tpn=

lcm(per(g1),per(g2),…，per(gk)).

重新排列gi使得

當1≤i≤m時，per(gi)=tipn，其中gcd(p,ti)=1，由(3)知

Ei=per(gi(ax))=

ti,pti,…,pn-1ti=pj1ti,0≤j1≤n-1．

當m+1≤i≤l時，per(gi)=pαti，其中1≤α≤n-1，gcd(p,ti)=1，由于gi(x)|xe-1，即gi(x)|xpαti-1，gi(ax)|(ax)pαti-1|(ax)pnti-1=xe-1，即E|pnti．故

Ei=per(gi(ax))=

ti,pti,…，pn-1ti=pj2ti,0≤j2≤n-1.

當l+1≤i≤k時，per(gi)=ti，gcd(ti,p)=1,t=lcm(t1,t2,…,tk)，由(2)知

Ei=per(gi(ax))=

pti,p2ti,…，pnti=pj3ti,1≤j3≤n

由引理3得

E=lcm(per(g1),per(g2),…，

per(gm),per(gm+1),…，per(gl),

per(gl+1),…，per(gk))=

lcm(pj1t1,pj1t2,…，

pj1tm,pj2tm+1,…，

pj2tl,pj3tl+1,…，pj3tk)

3 算例

表1中，F25為25元有限域，F25=F5[w]/(w2+w+1)．

f1(x)=x4+2x2+2x+1，

g1(x)=x4+3x2+4x+1；

f2(x)=x6+x4+3x3+4x2+x+1，

g2(x)=4x6+x4+4x3+x2+2x+1；

f3(x)=x5+x4+3x3+3x2+4，

g3(x)=2x5+x4+4x3+2x2+4；

表1 有限域Fq上f(x)與f(ax)的周期之間的關系

f4(x)=x2+3x+1，

g4(x)=12x2+2x+1；

f5(x)=11x4+x2+3x+11，

g5(x)=11x4+12x2+2x+11；

f6(x)=3x4+12x2+4x+1，

g6(x)=9x4+9x2+8x+1；

f7(x)=(1+w)x2+(2+4w)x+(1+w)，

g7(x)=(2+2w)x2+4x+(1+w)；

f8(x)=4x2+(2+w)x+4w，

g8(x)=3x2+3wx+4w；

f9(x)=(4+4w)x2+(2+w)x+w，

g9(x)=(3+3w)x2+3wx+w．

綜上所述，若要尋找有限域Fq上周期較大的多項式，則

第一步：確定Fq[x]中的一個正次數多項式，并計算e=per(f(x))；

第三步：則f(ax)就是要尋找的正次數多項式，其中E=per(f(ax))=pne．

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