電子回旋波在非圓截面托卡馬克等離子體中的傳播與功率沉積

李景春，龔學(xué)余，路興強(qiáng)，黃千紅

（南華大學(xué) 核科學(xué)技術(shù)學(xué)院，湖南 衡陽 421001）

電子回旋共振加熱（ECRH）是磁約束聚變裝置中等離子體加熱的重要方式。EC波不僅可很好地被等離子體吸收，且在ECRH 期間還可觀察到許多新的物理現(xiàn)象，如在ECRH 作用下m／n＝2／1 的撕裂模以及逃逸電子被有效抑制［1-2］，ECRH 作 用 后 湍 流 功 率 譜 明 顯 降 低［3］。另外，EC波能以很窄的波束傳播，因此發(fā)射器不必很靠近等離子體；近年來，隨著長(zhǎng)脈沖、高功率的回旋管源的顯著發(fā)展［4-5］，ECRH 在等離子體加熱中越發(fā)得到重視。在ECRH 的研究中，第1步都是進(jìn)行波跡計(jì)算，然后計(jì)算沿波跡方向波的衰減（等離子體對(duì)波功率的吸收），并確定功率沉積剖面［6］。起初為了計(jì)算的方便，人們?cè)趫A截面下計(jì)算等離子體的EC 波的傳播和吸收［7-8］，然而幾乎所有的現(xiàn)代托卡馬克都采用拉長(zhǎng)的非圓截面位形，非圓截面下的磁場(chǎng)、溫度和密度分布與圓截面不同，它們影響著EC波在等離子體中的傳播和功率沉積，另外由于工程上的限制，人們無法得到任意平衡位形，非圓截面下的ECRH、ECCD研究有助于尋找最佳的平衡位形，以實(shí)現(xiàn)最優(yōu)的EC波功率吸收。因此，數(shù)值計(jì)算EC波在非圓截面等離子體中的波跡和功率沉積，并探究特定位形下等離子體參數(shù)對(duì)EC波功率吸收的影響顯得十分必要。

非圓截面等離子體的平衡位形一般通過數(shù)值求解平衡方程獲得，數(shù)值求解Grad-Shafranov方程可直接求解（R，Z）坐標(biāo)下的兩維差分方程，也可利用變分方法，通過求矩方程給出近似解［9-10］。本文采用一種直接變分法求解平衡方程，得到托卡馬克的磁場(chǎng)，繼而得到溫度和密度分布，再將其插值到ray-tracing程序中，研究非圓截面下的磁場(chǎng)、發(fā)射角、等離子體密度對(duì)EC波在等離子體中的傳播軌跡和功率沉積的影響。

1 物理模型

射頻波在托卡馬克中的傳播由射線軌跡（波跡）方程描述。在滿足幾何光學(xué)近似下，波跡方程在環(huán)坐標(biāo)（r，θ，φ）下可寫成如下形式：

式中：（r，θ，φ）中相應(yīng)的正則波矢k＝（kr，kθ，kφ）；kr是徑向波數(shù)；極向和環(huán)向波數(shù)分別表示為kθ＝m／r，kφ＝n／R，m 和n 分別為極向和環(huán)向模數(shù)，R＝R0＋rcosθ，R0為托卡馬克環(huán)的大半徑，D0（ω，k）為電子回旋波色散關(guān)系的實(shí)部。

對(duì)于電子回旋波，由于波相速度遠(yuǎn)大于電子熱速度，應(yīng)用冷等離子體色散關(guān)系，電子回旋波的色散方程可表示為：

式中：平方根項(xiàng)前面的正號(hào)對(duì)應(yīng)于尋常波（O-波）的情況，波的電場(chǎng)矢量平行于磁場(chǎng)，尋常波滿足折射定律；負(fù)號(hào)對(duì)應(yīng)于非尋常波（X-波）的情況，波的電場(chǎng)矢量位于垂直于磁場(chǎng)的平面上，由縱向分量和橫向分量所組成，非尋常波不滿足折射定律。N＝kc／ω，X＝ω2p／ω2，Y＝ωce／ω，ωp＝（nee2／meε0）1／2為等離子體頻率，ωce＝eB／me為電子回旋頻率。可看出，空間磁場(chǎng)的分布能改變色散方程，以致改變波跡。

對(duì)于波功率沉積的求解，由于托卡馬克磁場(chǎng)中捕獲粒子在香蕉軌道中來回運(yùn)動(dòng)，對(duì)粒子分布產(chǎn)生一定影響，于是采用反彈平均的Fokker-Planck方程來描述粒子運(yùn)動(dòng)［11］：

其中，μ0＝cosθ，其他各量的具體表示參見文獻(xiàn)［11］。該方程是一個(gè)積分微分方程，求解得出電子分布函數(shù)后，波功率沉積可由下式計(jì)算：

對(duì)于磁場(chǎng)位形的求解，本文利用能量原理，采用直接的變分方法，對(duì)平衡方程進(jìn)行求解［12-13］。給定等離子體壓強(qiáng)和電流分布后，便可求解得到極向磁通ψp，以得到非圓截面下的磁場(chǎng)位形。

得到磁場(chǎng)后，通過下列各式可進(jìn)一步求出等離子體中的密度和溫度分布［14］：

其中：ψpa為邊界處的極向磁通；αte、αti、αdn均可取0.5、1.0、1.5，分別對(duì)應(yīng)不同的溫度、電子密度剖面分布。

2 數(shù)值計(jì)算與結(jié)果討論

對(duì)平衡方程進(jìn)行數(shù)值求解，采用與文獻(xiàn)［12］相同的參數(shù)，得到磁場(chǎng)分布如圖1所示。結(jié)果與文獻(xiàn)［12］一致。

計(jì)算HL-2A 上的環(huán)向、極向磁場(chǎng)分布，結(jié)果如圖2所示。HL-2A的參數(shù)取為：R0＝1.65m，a＝0.4m，Ip＝450kA，Bφ0＝2.42T，κ＝1.3，δ＝0.3。

為了使程序能計(jì)算托卡馬克不同磁場(chǎng)位形下的EC 波波跡，將等離子體每點(diǎn)的磁場(chǎng)、溫度、密度作為輸入變量，映射到（r，θ）網(wǎng)格點(diǎn)上，然后在計(jì)算時(shí)根據(jù)需要進(jìn)行數(shù)值插值。

圖1 Z＝0時(shí)，環(huán)向、極向感應(yīng)磁場(chǎng)隨R 的剖面分布Fig.1 Profile of poloidal and toroidal induction components against Rfor Z＝0

圖2 Z＝0時(shí)，HL-2A 上環(huán)向、極向感應(yīng)磁場(chǎng)隨R 的剖面分布Fig.2 Profile of poloidal and toroidal induction components against Rfor Z＝0on HL-2A

為了保證在邊界條件μ＝-1和μ＝1上的對(duì)稱性，加入點(diǎn)j＝1和j＝N2，且有離散化分布函數(shù)用fi，j＝f（pi，μj）代替，方程最終的離散化形式為：

此方程實(shí)際為一個(gè)大型九對(duì)角帶狀方程組，本文采用矩陣三角分解法中的追趕法的一種改進(jìn)方法——近似因子分解法加以求解。

采用HL-2A 裝置的參數(shù)，其中電子回旋波波功率和頻率分別取：P ＝0.5 MW，ω＝68GHz；等離子體密度取：ne0＝2.5×1019m-3，nea＝0.5×1019m-3；等離子體溫度取：Teo＝1.1keV，Ti0＝0.65keV，Ti（e）a＝50eV。圖3為相同中心磁場(chǎng)、等離子體溫度和密度下，EC波O 模分別從非圓截面、圓截面托卡馬克等離子體頂部發(fā)射時(shí)的波跡，其中對(duì)應(yīng)極向發(fā)射角θ＝185°，環(huán)向發(fā)射角與平行折射率相關(guān)，φ＝arcsin N‖，分別取N‖＝0、0.574、0.643。由圖3可看出，相比圓截面，非圓截面下EC 波波跡會(huì)明顯地向弱場(chǎng)側(cè)偏移。說明磁場(chǎng)、溫度和電子密度分布的共同改變對(duì)波跡產(chǎn)生了影響。為研究單個(gè)變量分布對(duì)波跡產(chǎn)生的影響，固定磁場(chǎng)分布，改變?chǔ)羣e、αti、αdn以給定不同溫度、密度分布，且每次計(jì)算只改變單個(gè)變量分布，發(fā)現(xiàn)溫度、電子密度分布的改變并未對(duì)波跡產(chǎn)生明顯影響，可見非圓截面等離子體中主要是磁場(chǎng)分布影響EC波波跡。

本文也研究了非圓截面下，等離子體中心溫度和電子密度對(duì)EC波O 模波跡和功率沉積的影響，計(jì)算發(fā)現(xiàn)：中心溫度對(duì)EC 波波跡影響不大，而中心電子密度對(duì)波跡影響明顯。圖4a、b分別為θ＝185°、φ＝15°時(shí)，EC 波在等離子體中心的電子密度ne0＝2.0×1019、2.5×1019、3.0×1019m-3時(shí)的波跡和功率沉積。由圖可知，隨著中心電子密度的增大，波跡穿過等離子體中心后，會(huì)向等離子體弱場(chǎng)側(cè)偏移。這是因?yàn)橹行拿芏仍龃髸?huì)導(dǎo)致等離子體折射率變化率增大，如圖4c所示。在中心密度大的等離子體中，EC波穿過等離子體中心后，因?yàn)榍昂髢牲c(diǎn)的相對(duì)折射率大，波跡會(huì)發(fā)生更大角度偏折，從而偏向弱場(chǎng)側(cè)。從頂部發(fā)射時(shí)，波的功率沉積較低，且隨中心密度增大而降低，這一結(jié)果與通常的理論分析有所區(qū)別，對(duì)于O1模，等離子體密度的增大使其左旋極化逐漸轉(zhuǎn)變?yōu)槠叫袠O化，而O1的吸收主要來自平行極化，波的吸收應(yīng)隨等離子體密度增大而增大。這里的反常數(shù)值結(jié)果可能是由于中心電子密度增大，折射損失率增大，從而導(dǎo)致波的功率沉積隨中心密度增大而降低。

本文還計(jì)算了EC波O 模從中平面弱場(chǎng)側(cè)發(fā)射時(shí)的波跡和功率沉積，結(jié)果如圖5 所示。圖5a和b分別為EC 波在不同平行折射率下波跡的小截面圖和中平面俯視圖，對(duì)應(yīng)極向發(fā)射角θ＝185°，平行折射率分別取N‖＝0、0.574、0.707、0.766、0.866。由圖可知，當(dāng)N‖＝0時(shí)，電子回旋波在等離子體中為近直線傳播；當(dāng)N‖≠0時(shí)，波跡線向弱場(chǎng)側(cè)彎曲，隨著平行折射率的增大，彎曲幅度變大，甚至折回弱場(chǎng)側(cè)穿出，這種情形下波未到達(dá)共振層便傳出，對(duì)波在等離子體中的能量沉積很不利，因此是實(shí)驗(yàn)上應(yīng)避免的。圖6a為θ＝185°，φ＝14°、18°、22°時(shí)波功率沉積的徑向分布，圖6b為θ＝180°、185°、195°時(shí)，EC波的單次吸收（即波饋入等離子體后第1次經(jīng)過共振層時(shí)所損失的能量與總饋入能量之比）隨環(huán)向發(fā)射角的變化。計(jì)算表明，波功率沉積隨極向發(fā)射角的增大而降低，環(huán)向發(fā)射角取10°左右時(shí)，波功率沉積達(dá)到最大，對(duì)于θ＝180°，環(huán)向發(fā)射角在14°以內(nèi)，單次吸收在90%以上。為獲得較高的加熱效率，應(yīng)盡可能保持低的極向和環(huán)向發(fā)射角。

圖3 EC波O 模從頂部發(fā)射時(shí)，分別在非圓截面、圓截面托卡馬克等離子體的傳播軌跡Fig.3 Ray trajectories for O-mode of ECW launched from top in non-circular and circular Tokamak plasma

圖4 不同中心電子密度下的EC波波跡（a）、波功率沉積（b）和等離子體折射率（c）Fig.4 Ray trajectories（a）for O-mode of ECW，power deposition（b）and plasma refractive index（c）with different central electron densities

圖5 EC波O 模從弱場(chǎng)側(cè)（LFS）發(fā)射時(shí)波跡的小截面圖（a）和中平面俯視圖（b）Fig.5 Ray trajectories for O-mode launched from LFS In poloidal section（a）and equatorial plane（b）

圖6 極向發(fā)射角為185°時(shí)波的功率沉積分布（a）和極向發(fā)射角為180°、185°和190°時(shí)EC波的單次吸收隨環(huán)向發(fā)射角的變化（b）Fig.6 Profile of power deposition of EC wave at poloidal injection angle of 185°（a）and EC wave single absorption versus toroidal injection angle at poloidal injection angle of 180°，185°and 190°（b）

3 結(jié)論

本文采用直接變分方法求解平衡方程，開發(fā)出一種等離子體平衡方程求解程序。并將此程序與求解波跡的程序進(jìn)行耦合，數(shù)值計(jì)算了電子回旋波在非圓截面托卡馬克等離子體中的傳播和功率沉積。數(shù)值計(jì)算結(jié)果表明：當(dāng)EC波從頂部發(fā)射時(shí)，相比于圓截面下的波跡，受磁場(chǎng)分布影響，非圓截面的波跡會(huì)向弱場(chǎng)側(cè)偏移；增大等離子體中心電子密度，波跡也會(huì)偏向弱場(chǎng)側(cè)，相應(yīng)的波功率沉積有所降低；當(dāng)EC 波O模從弱場(chǎng)側(cè)發(fā)射時(shí)，N‖＝0 時(shí)，電子回旋波在等離子體中為近直線傳播；N‖≠0 時(shí)，波跡線向弱場(chǎng)側(cè)彎曲，隨著平行折射率的增大，彎曲幅度變大，甚至折回弱場(chǎng)側(cè)穿出，此時(shí)波功率沉積隨極向發(fā)射角的增大而降低，環(huán)向發(fā)射角約取10°時(shí)，波功率沉積達(dá)到最大。為獲得較高的加熱效率，應(yīng)盡可能保持低的極向和環(huán)向發(fā)射角。

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