反例教學法在概率論與數理統計教學中的應用與研究——以隨機事件和概率為例

梅 芳 曾春華 王巧玲

（江西農業大學 理學院，江西 南昌330045）

對于分析、解答處理問題的思維方法，逆向思維方法與順向思維方法相對而言的。順向思維是按照已知條件出現的先后順序進行思考的；而逆向思維是是從反方向（或從問題的結果）出發，不依照問題出現的先后順序，從而逆轉推理的一種思維方法。

1 概率論與數理統計和反例教學法

在概率論與數理統計的教學中會碰到許多用逆向思維求解的內容，例如，顯著性假設檢驗的原理是小概率事件實際不可能原理，在一次實驗中小概率事件是不會發生的，但是在一次顯著性假設檢驗過程中小概率事件居然發生了，說明原命題是假的。統計中大量的反例教學是教學中的難點，也是學生理解概率統計問題的難點。我們知道，要斷定一個命題正確，必須經過嚴密的推理論證，而要否定一個命題，只要能舉出一個與結論矛盾的例子就可以了，這種與命題相矛盾的例子稱為反例。反例教學法是從原問題的相反方向著手的一種思維教學法，對于某些特定的問題，從結論倒過來思考，會使得問題清晰簡單。它是數學思維的一個重要方面，是創造性思維的一個組成部分，也是進行思維訓練的載體。在概率論與數理統計教學中始終貫穿反例教學法，是培養學生逆向思維的過程也是培養學生思維敏捷性的過程。

本文以大學數學公共課概率論與數理統計課程教學中的事件與概率一章為例，歸納總結反例教學法在此章節的應用與研究。

2 三個典型性結論及其反例

在教學過程中，隨機事件及其概率這一章節中的可以歸納出很多個理論公式和結論，本文中只是舉三個典型性結論，然后舉出反例加以推理驗證，刺激學生的好奇心和興趣，從而使得學生更加透徹的理解數理統計概念，更加好學，更加具有專研精神，更有助于學生數學思維的培養。

符號：

A，B，C：隨機事件

Ω：必然事件；樣本空b間；

?：不可能事件

定理1 用事件的運算關系表示事件的方法不一定唯一

例如，用A，B，C的運算關系表示事件D={A，B，C中不多于一個事件發生}，根據事件的和、差、積及其逆事件的概念，可以寫出下面四種不同的表示法：

定理2 樣本點不一定是事件

按照概率的公理化體系可知，樣本點是樣本空間Ω的元素，而事件是事件域中F中的元素，它是樣本點的某些子集.在古典概型中，樣本空間Ω只含有窮個點，所以Ω也是有窮的.此時常常把Ω的一切子集都視為事件.但卻不能由此認為樣本點一定是事件.實際上，并不把Ω的一切子集都當作事件來研究。

例如，現從標有數字1~10的十個球，任取一球，樣本空間

Ω={1,2，…，10}

令

A={所取球的號碼為偶數}={2,4,6,8,10}

A={所取球的號碼為偶數}={1,3,5,7,9}

我們只考慮事件?，A，A，Ω時，容易驗證F={?，A，A，Ω}為一事件域，于是Ω中的樣本點B={所取球的號碼為4}就不是事件域F中的元素，即B={4}不是F中的事件。

定理3 對“等可能性”的理解不同，得到的概率不一定相同

在概率論發展的早期，大部分的人都相信，只要找到適當的等可能性描述，就可以給概率問題唯一的解答，但事實上確并非如此，這是個經典的著名反例，貝特朗（Bertrand）奇論（貝特朗在1887年出版的《概率論教程》一書中構造了這個例子）：

在半徑為1的園內隨意畫一條弦，問它的長度超過其內接正三角形的邊長的概率等于多少？

從不同的方向的理解，貝特朗對這個問題給出了三種不同的解法。

圖1

圖2

圖3

解法一：

如圖1，我們在圓中任意畫一條弦AB，又以A為定點作圓的內接正ΔACD，要AB比AC（容易計算出）長，由已知，必須端點B落在弧CD上，點B落在圓周上任何一點是等可能的，于是，AB超過的概率為

解法二：如圖2，在圓中任意畫出一條弦AB，再作與AB垂直的直徑CF，并以C為頂點作圓的內接正ΔCDE，由圖可見，要AB＞DF，必須AB和直徑CF的交點M落在GH內，這里G是CF與DE的交點，H是G關于圓心O的對稱點，由平面幾何可以求出M點落在CF上各點是等可能的，故AB超過的概率為：

解法三：如圖3，在圓中任意畫出一條弦AB，再作圓內接正ΔCDE，使得DE//AB。接著作出ΔCDE的內切圓，計算出內切圓的半徑設AB的中點為Q，很明顯Q點必須落在這個內切圓（陰影部分）內，AB的長才不會超過落在大圓內任何一點都是等可能的，故所求的概率為：

三種解法推理看起來都無懈可擊，不同的理解得到了三種完全不同的答案，從而使得問題得到了奇論的美稱，也就是數學上的貝特朗悖論。同一個問題得到不同的結論的原因是什么呢？原因在于每種解法對于“等可能性”作出了不同的理解和假設：解法一假定了弦的端點落在圓周上各點是等可能的；解法二假定了弦的中點落在直徑上各點是等可能的；解法三假定了弦的中點落在圓內各點上是等可能的。對于各自不同的假設，上面三種解法和結果都是正確的，這個例子提醒學生，在解答概率問題時，一定要弄清楚等可能性的條件，以免發生混淆。

3 結束語

在概率論與數理統計的教學過程中的引人各種反例教學，會使得上課更加生動有趣，不同于常規的思維推理一定會引起學生的好奇心和好勝心，從而激發學生對概率統計的極大興趣，然后可以引導學生專研問題，思考結論。在教學中插入恰當的反例，即是簡明有力的否定方法，又是加深學生對概念和定理的理解的重要手段，它有助于發現問題，活躍思維、避免常犯易犯的錯誤。從而達到教學上的最高水平，取得令人滿意的教學效果。

［1］盛驟，謝式千，潘承毅.概率論與數理統計[M].4版.高等教育出版社，2008：1-14.

［2］沈恒范.概率論與數理統計[M].5版.高等教育出版社，2011：1-7.

［3］袁蔭棠.概率論與數理統計[M].2版.人民大學出版社，1990：1-14.