航空發動機葉片修復機床傳動系動態建模及仿真

龔淼，張濤

(1.中國民航大學航空自動化學院，天津300300;2.中國民航大學特種設備研究基地，天津300300)

航空發動機葉片工作在溫度和壓力聯合作用下的復雜環境下，葉片經常發生損傷。航空發動機葉片橫截面積不規則，在橫向距離相對較寬的地方，修復焊接過程中一般采用Z 型或S 型曲線焊接，由于葉片的橫向距離較小，在焊接過程中往復運動頻繁，為了保證焊接精度，對機床靈敏性和動態穩定性的要求較高。現在國內民航發動機葉片受損后，全部是送往國外進行修復焊接，造成這種現象的原因是多方面的，機床精度不夠是其中一個原因。機床傳動系統是將電機的旋轉運動，通過絲杠、絲杠副轉變成工作臺的直線運動。電機及傳動系的機械零件本身以及它們相互間的匹配對整體機床的動態性能有著重大關系。在機床的動態建模方面，國內外研究人員進行了大量的研究與實驗。舒志兵等［1］搭建了機床伺服系統的數學模型，但在電機模型的搭建中沒有考慮加載后的變化。董玉紅等［2］為機床的機械傳動部分建立了簡單數學模型。張會端等［3］利用振型疊加原理對傳動系統動力學方程進行了解析，研究了系統的瞬態響應情況。李為民等［4］在軸承剛度計算上提出了較為嚴密的公式。李圣怡等［5］在螺旋副接觸剛度計算上提出了可借鑒公式。楊曉君等［［6］］為絲杠進給系統建立了振動模態模型。針對焊接機床往復運動的特點，文中綜合考慮了傳動系統的影響因素，建立了一個較為精確的動態模型。該模型在絲杠實際輸出扭矩的計算上考慮較為全面，不僅將軸向剛度因素和扭轉剛度因素考慮進去，而且將剛度隨著工作臺的運動的變動也考慮了進去，這樣就使模型更接近真實。為了方便利用matlab 軟件對模型進行仿真，在工作臺加速度計算上進行了近似計算，使模型運行更加流暢。為機床傳動系的仿真提供了更加真實的模型，同時使電機與機械部分匹配有更大的選型空間。

1 傳動系總體模型構建

如圖1所示，扭矩由電機輸出，經聯軸器傳給絲杠，然后經循環球傳動副轉化為工作臺的水平運動。這里假設聯軸器是剛體連接。絲杠左端采用角接觸軸承相背式固定，右端采用向心軸承支承的形式。絲杠副采用單螺母預緊式結構。

圖1 傳動系結構圖

在圖2所示的動力學模型中:T0為從電機輸入的轉矩;θe為輸入角速度;kz、Xz分別為軸承1 的軸向剛度和受軸向力時因剛度因素引起的軸向位移;ks1、ks2、Xs1、Xs2分別為絲杠的軸向剛度、扭轉剛度、軸向剛度引起的軸向位移、扭轉剛度引起的位移;kf、Xf分別為螺旋副的軸向剛度和因剛度引起的軸向位移;C 為軸承和絲杠副的整體轉動黏性阻尼系數;F 為工作臺與絲杠副之間的作用力;X 為工作臺位移。工作臺的理想位移等于實際位移與傳動系軸向位移的矢量和，即:式中:l 代表絲杠螺距;θ 代表電機輸入轉角;ΔX 代表傳動系在外力作用下的軸向位移。

圖2 傳動系動力學模型

2 傳動系機械部分動力學模型構建

根據傳動系的動力學建立如下方程:

式中:θ 代表電機輸出角度;θe代表絲杠有效旋轉角度;J、C 分別代表絲杠軸的綜合轉動慣量和轉動阻尼系數;m 代表工作臺質量;CM代表工作臺與導軌之間的滑動黏性阻尼系數。

角接觸軸承軸向剛度kz計算［4］:

式中:Z 代表滾珠個數，D 代表滾珠直徑，Fz代表軸承預緊力，α 代表接觸角。

絲杠軸向剛度ks1計算:

式中:A 為絲杠有效橫截面積;E =210 000 N/mm2;20 為絲杠兩端余量，防止了Simulink 仿真過程中分母出現零。

絲杠扭轉剛度ks2計算:

式中:G 是材料的切變模量，Ip是材料的極慣性矩。

絲杠副軸向剛度kf計算［6－7］:

式中:R1、R11、R2、R22是兩個接觸體的主曲率半徑;α 為接觸角;θ1為螺紋升角;P 為預緊力，一般取絲杠額定動載荷的十分之一;n 為滾珠個數;ν 為泊松比;E 為彈性模量。

3 電機傳動建模

文中電機采用他勵直流電機，其轉速調節采用輸入電壓控制。根據基爾霍夫電學原理，建立電機運動學方程:

式中:U 代表控制電壓;I 代表電機繞組電流;Le代表電機繞組電感;Re代表電機繞組電阻;Ke代表反電勢比例系數;Km代表電機力矩系數;Jm代表電機轉動慣量;Cm代表電機轉動阻尼系數;θ 代表電機轉動角度。

4 仿真

絲杠公稱直徑d =36 mm，A =3 366 mm2，E =2.1 ×105N/mm2，l =6 mm，Z =7，軸承接觸角α =15°，Db= 10.32 mm，Fz采用中預緊500 N，R1=R11=1.98 mm，R2=18.25 mm，R22=－2.25 mm，絲杠接觸角α =45°，利用絲杠螺紋升角θ =9.5，γ =1.668，P =2 700 N，n =75，ν =0.3，G =40 GPa，L=0.652 mH，R =0.07 Ω，Ke=0.017 V/(rad·s)，Km=1.58 N·m/A，Jm=0.005 kg·m2，Cm=0.003 5 N·m·s/rad，J=0.001 4 kg·m2，C=0.05 N·m·s/rad，m=1 000 kg，f=0.002。

根據上述公式和參數，搭建Simulink 框圖，在仿真過程中，由于工作臺加速度計算量在直接計算過程中步驟較為繁瑣，仿真速度較慢，采用通過絲杠角加速度間接測量然后進行誤差補償。具體方法為:將絲杠、絲杠副、工作臺的質量轉化為絲杠的轉動慣量，根據電機輸出扭矩求出總體加速度，然后推導出工作臺的近似加速度，如下式:

式中:T0為絲杠所受的扭轉力矩;C 為工作臺阻尼系數;v 為工作臺近似速度;m 為工作臺質量;F 為工作臺所受外力;J 為絲杠轉動慣量;p 為螺距。

仿真框圖結構如圖3所示。

圖3 Simulink 仿真框架圖

5 結果分析

圖4(a)為該模型在輸入階躍信號后，20 s 內電機輸出速度變化的曲線。圖4(b)是同狀態下工作臺的位移變化曲線。圖4(c)為在將電機轉動慣量減小到0.000 5 kg·m2時，5 s 時間內的電機輸出速度變化曲線。圖4(d)為按照文獻［8］所論述的建模方案，參照文中參數設定后，電機輸出速度的變化曲線。從上圖的對比可以得出如下結論:

(1)從圖4(a)、4(c)中可以得出:文中搭建的模型對電機與機械的匹配要求較為寬松，能適量減少對電機要求的苛刻性。

(2)從圖4(a)、4(d)中可以看出:文中的模型在動態穩定性上表現較為突出，在都沒有PID 控制的情況下，該模型能較快實現從加速度到穩態的過渡。

(3)從圖4(b)中可以看出:文中搭建的模型在工作臺位移表現上較為理想。

圖4 仿真結果及對比圖

【1】舒志兵，劉峻泉，林錦國，等.閉環伺服系統的數學模型研究［J］.系統仿真學報，2002，14(12):1612－1613.

【2】董玉紅，張立勛.基于MATLAB/ Simulink 的機床進給傳動系統的動力學分析［J］.機床與液壓，2008，36(9):68－71.

【3】張會端，譚慶昌，裴永臣.機床工作臺建模仿真［J］.機床與液壓，2005(3):74－75.

【4】李為民，王海濤.軸向定位預緊軸承剛度計算［J］.河北工業大學學報，2001，30(2):15－19.

【5】李圣怡，戴一帆.精密和超精密機床精度建模技術［M］.長沙:國防科技大學出版社，2007:138－177.

【6】楊曉君，趙萬華，劉輝.絲杠進給系統的振動模態耦合分析［J］.機械設計與制造，2012(10):259－261.

【7】MARTIN D L，TABENKIN A N，PARSONS F G.Precision Spindle and Bearing Error Analysis［J］.Int J Mach Tools Manufact，1995，35(2):187－ 192.

【8】劉麗蘭，劉宏昭，吳子英，等.大型數控車床進給伺服系統建模與分析［J］.振動與沖擊，2012，31(6):32－36.