反思在培養數學思維深刻性中的作用

李小華

摘 要 學生中出現“綜合能力差”、“上課聽得懂，自己做不來”等現象，其實質上都是思維缺乏深刻性造成的。反思性學習是培養高中學生數學思維深刻性的良方。

關鍵詞 反思性學習 思維深刻性 數學

中圖分類號：G424 文獻標識碼：A

1 在數學思維能力培養中學會反思很有必要

反思是一種特殊的再概括，它是從個別推廣到一般的思維方法。數學教學中反思性學習包括反思解題思路，數學知識、數學思想方法、題意的理解過程的反思，解題結果反思等。數學的反思性學習具有如下教育價值：一是情感、態度、價值觀方面：諸如①培養實事求是的態度和理性精神；②良好的反饋信息、謹慎，細心等習慣；③激發好奇心和求知欲；④自我反思性評價。二是常規數學思維能力方面：諸如①歸納、猜想和合情推理；②數學聯結與數學洞察；③理性思維與構建體系。三是數學創新能力方面：諸如①提出數學問題和質疑能力；②建立新數學模型并用于實踐的能力；③發現數學規律的能力；④推廣現有數學結論的能力；⑤將不同領域的知識進行數學聯結的能力。

高中數學學習中教師一定要引導學生學會反思，積極反思，要充分調動學生求知、求思的積極性和主動性，養成善于觀察、善于分析、善于思考的學習習慣，提高學生發現問題和解決問題的能力。

2 培養途徑例說

2.1 對定義、概念進行反思性學習

單純地記住一個定義、概念或簡單地直接運用，對學生而言，并非難事，但要真正理解其內涵，達到靈活運用，并非易事。究其原因，學生往往是膚淺、形式地認識定義、概念，而通過反思性數學學習，對定義、概念不斷深入探討，理解就會不斷深入，思維活動也就會不斷深刻。

例1 設都是非零向量，則。這是新教材下冊第五章向量數量積中的一個重要性質，為了深刻理解它，教學中筆者讓學生進行反思性學習。

反思一：設都是非零向量，若，則成立嗎？由公式，學生馬上得出結論：“能”；

反思二：如果去掉條件：“設都是非零向量”，即若，則成立嗎？

生：“分情況討論?！?師“分幾種？”經過激烈爭論，師生共同統一為三種結果：（1）都是非零向量：（2）都是零向量；（3）中只有一個是零向量。

通過討論分析，不但解決了這個問題，而且深化認識了規定：零向量與任一向量的數量積為0。

反思三：反過來，若，則成立嗎？（*）有了反思二的基礎，學生會想到條件，隱含著為的可能性，而我們規定與任一向量平行，所以不一定有。

反思四：那再加上什么條件，（*）式可成立呢？

為了避免反思三的可能性，我們只要加上條件“設都是非零向量，”即設都是非零向量，若，則成立。再結合反思一結論：設都是非零向量，若，則也成立。

綜上反思結果：學生認識到只能在“都是非零向量”的前提條件下才可成立。通過反思，也讓學生深刻理解了這個重要性質及有關其它條件的情況，而且充分熟悉了兩個規定的應用，真可謂“一舉兩得”。

對定義、概念進行反思性數學學習，能促使學生從一個新的角度，多層次地對概念及解決問題的思維過程進行全面的考察、分析和思考，從而深化對概念的理解，揭示問題本質，探索出解題方法的一般規律，溝通知識間的相互聯系，促進知識的同化和遷移，并進而產生新的發現和推廣。

2.2 對定理、公理進行反思性學習

在定理、公理的學習中，就要完整地掌握它們（條件、結論和適用范圍），領會其精神實質，切忌形式主義、表面化和盲目套用公式。

例2 求 = + （）的最小值。

對于這道題，學生常有如下錯誤的解法：

解答一：因為，所以3>0，>0，則 = + ≥2 = 4。當且僅當3 = ，即 = 時，有最小值2。

解答二：因為，所以 = + = + 2 + ≥3· = 6

故有最小值6。

反思一：因為利用基本不等式“ ，， + ≥2（當且僅當 = 時取等號）”求最值的前提條件是不等式的一邊必須為常數（定值）。而解答一只是簡單套用公式，而忽視了 = 2要為定值的條件，導致結論錯誤。

反思二：在解答二中，取得最小值，當且僅當要 = 2 = ，而此時的無解，即沒有相對應的使得取到最小值6。其錯誤的根源在于忽視了公式取到等號成立的條件。

其實，其正確解答如下：因為，所以 = 3 + = + + ≥3·· = 3。

當且僅當 = ，即 = 時，有最小值3。造成以上錯誤原因都是對公式認識膚淺性所致，因而教學中特別要加強類似（1）求方程 + 1 = 0的一切實數解；（2）求 = 1 + + 的值域等題目的反思。引導學生辨別是非，弄清根源，培養學生思維的深刻性。

對數學定理、公理進行反思性學習，是訓練深刻性思維、優化思維品質的極好方法，是促進知識同化和遷移的可靠途徑。通過反思不斷分析、解決問題，層層深入領會問題及解決方法的實質，培養了學生思維的深刻性。

2.3 對解題思路進行反思性學習

在解題教學中，學生做完一道題后，引導他們進行反思性數學學習，搞清問題實質，拓寬解題思路，擇優解法，訓練發散思維，再把問題引向深入，培養學生思維的深刻性。

例3. 已知拋物線 = + + 與軸的兩個交點的橫坐標是3、5，與軸交點的縱坐標是15，求這個二次函數的解析式。

學生分析題意后解題，得如下解答：

方法一：依題意知拋物線經過（3，0），（5，0），（0，15）三點，由此列出關于的方程組，可求出的值。

反思：已知三點用待定系數法確定二次函數解析式，學生較熟悉。但我提問：有沒有較簡便的解法？這激發了學生反思，探究得如下解答：

方法二：拋物線與軸的兩個交點是對稱點，易求得其對稱軸為 = 4，設解析式 = ，將點（3，0），（0，15）的坐標代入上式可求得。

反思：利用對稱性，先求對稱軸，再設頂點式，分散難點，便于計算，思維靈活。

受上述思維啟發，有學生獲得如下解答：

方法三：依據拋物線過點（0，15），可設其解析式為 = + + 15，聯想到拋物線與軸交點的橫坐標3和5，就是方程 + + 15=0的兩根，代入即可求得 = 1， =-8。

反思：巧用數形轉換，將交點橫坐標轉化成一元二次方程的根，計算便利，正是創造性思維所致。

受到啟發，經深入探究，又有學生獲新解答：

方法四：依據拋物線與x軸的兩個交點的橫坐標分別是3、5，可設其解析式為 = ，再將點（0，15）代入得 = 1。

反思：利用交點式求解，思維簡捷，過程簡潔。

習題教學中，通過引導學生對問題的不斷反思，可以深化學生用待定系數法求二次函數解析式常規方法：設一般式、頂點式、交點式。然后引導學生反思上述四種方法的利弊，通過比較，發現后面三種方法的巧妙是在于對知識的感悟，在設解析式時減少了一個待定系數。在比較中學生明確了解題關鍵，理清了解題思路，掌握了解題方法，逐漸優化思維品質，思維更加有序。

參考文獻

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