一種可實現的仿射組合自適應濾波算法*

郭業才，張冰龍，吳彬彬

(1.南京信息工程大學 江蘇省氣象探測與信息處理重點實驗室,江蘇 南京210044;2.南京信息工程大學 電子與信息工程學院,江蘇 南京 210044)

在自適應算法的設計中，收斂速度和穩態誤差是兩個重要的指標，然而在一般的自適應算法設計中，這兩個指標往往不能同時達到最佳值，即收斂速度快、穩態誤差大，而收斂速度慢、穩態誤差小[1]。為了獲得收斂速度快、穩態誤差小的自適應算法，研究人員提出了自適應濾波算法的凸組合方案[2-5]，它的優點在于組成結構相對簡單，并且在穩態和非穩態情況下均有良好的性能[6]。

最近，自適應仿射組合算法被提出[7]，它是凸組合算法的推廣。在凸組合算法中，采用sigmoid函數作為組合參數 λ(n)，因此 λ(n)的取值范圍是[0,1]；而對于仿射組合算法，組合參數 λ(n)的取值不受區間[0,1]的限制，它的取值在穩態下為負值[8]。組合參數λ(n)是仿射組合算法中重要的控制因子，通過對組合參數的調整，可以實現對每個子濾波器的切換。從理論上說，該仿射組合算法可以獲得每個子自適應濾波算法的優點，即同時具有快的收斂速度和小的穩態誤差。

本文分析了仿射組合自適應濾波算法的瞬態過程和穩態過程，并提出了一種可實現的更新組合參數的方法。仿真結果表明，該組合參數的性能曲線同時具有快的收斂速度和低的穩態誤差，與最佳性能曲線一致。

1 仿射組合自適應濾波算法

仿射組合自適應濾波算法原理框圖如圖1所示。

圖1 仿射組合自適應濾波算法框圖

圖1中，每個濾波器均采用 LMS算法，濾波器 1采用的 LMS算法，步長為 μ1；濾波器 2采用的 LMS算法，步長為 μ2；假設 μ2=δμ1,0＜δ＜1。

LMS自適應算法濾波器權向量Wi(n)更新公式為:

其中，W1(n)是濾波器 1的 N階權向量，W2(n)是濾波器 2的 N階權向量。假設 eo(n)是均值為 0、方差為 σo2的噪聲信號，并且和其他信號統計獨立。U(n)為輸入信號，U(n)=[u(n),…,u(n-N+1)]T。

組合后的輸出信號為：

式中，yi(n)=WiT(n)U(n)，i=1,2,λ(n)為組合 參數。 系統誤差為:

將 yi(n)代入式(4)中，可得:

式中，W12(n)=W1(n)-W2(n)

下面求出組合參數λ(n)的最佳表達式λo(n)。由式(3)、(5)、(6)可得:

式中，Wo2(n)=Wo(n)-W2(n)

令Ru=E[U(n)UT(n)|W2(n),W12(n)]

由式(7)，對 U(n)取期望，可得:

解方程式(8)可得λ(n)的最佳表達式:

經過適當運算，可得組合參數λ(n)的穩態表達式為:

式(10)表明，當系統處于穩態時，λo(n)＜0。

由于兩個子濾波器對最佳權向量的估計有一定的相關性，因此在穩態時，λ(n)＜0表明采用子濾波器 1估計系統最優權向量值應當減去用子濾波器2估計系統最優權向量的值，從而避免噪聲信號及兩個子濾波器對最佳權向量估計的相關性所帶來的誤差干擾[9]。

2 歸一化組合參數λ(n)的更新公式

由于式(9)是在理想情況下得出的，在實際應用中難以實現，因此本文提出一種可實現的歸一化組合參數λ(n)的更新公式。

對E[e2(n)|W2(n),W12(n)]求偏導并使它等于0，可得:

由式(7)及式(11)，可得用隨機梯度搜索算法估計最佳組合參數λo(n)的迭代表達式為:

式(12)是組合參數λ(n)的一階隨機時變遞歸表達式。若 μλ＜1時，式(12)較穩定，但是跟蹤子濾波器的性能較差；若 μλ＞1時，系統的跟蹤性能較好，但是容易導致式(12)的初始階段調整的不穩定。因此這里采用類似于NLMS算法形式的功率歸一化方案調整參數 μλ，使 μλ在初始階段小于1，以保持系統的穩定性；在過渡階段及穩態階段使μλ大于1，以保證系統對子濾波器具有較好的跟蹤性能。令:

式中，φ為參數，ε是很小的正常數，p(n)是信號y1(n)-y2(n)的低通濾波功率估計值，且:

式中，α 和 β為遺忘因子，0＜α,β＜1，通常選取 α 為接近1的值，以便 μλ(n)與組合參數 λ(n)有很小的相關性。 因此式(12)可寫為:

3 仿真分析

假設未知系統為7階FIR濾波器模型，自適應濾波器的階次與未知模型階次相同,并且每次仿真均采用100次蒙特卡洛循環,假設Wo(n)=[0.01，0.03，0.12,0.17,0.11,0.08,0.02],δ=0.2,W1(0)=0,W2(0)=0,α=0.99,β=0.01,φ=3×10-3,ε=0.8×10-3。 系統輸入信號為均值為 0，方差為1的高斯白噪聲信號。這里采用均方偏差MSD(Mean Square Deviation)表征仿射組合算法的性能。

圖2給出了迭代函數μ(n)曲線。圖3給出了仿射組合濾波算法組合參數λ(n)曲線。圖3中虛線表示由式(9)得出的最佳組合參數λo(n)的曲線，實線表示采用式(15)得到的曲線。圖3表明，本文所提出的組合參數λ(n)的曲線和最優組合參數λ(n)的曲線幾乎一致，在穩態時，組合參數的值小于零。

圖 2迭代函數μλ曲線

圖 3采用式(15)得出的組合參數 λ(n)曲線

圖4展示了在理想情況下仿射組合自適應濾波算法的均方偏差性能曲線。圖4中收斂較快的曲線是濾波器1的收斂曲線，收斂較慢的曲線是濾波器2的收斂曲線，由于 μ1＞μ2，濾波器 1的收斂速度比濾波器 2的收斂速度快。虛線表示根據理論推導所得出的理想組合算法的均方誤差曲線。

圖5和圖6展示了采用式(15)作為組合參數得出的仿射組合濾波算法穩態偏差性能曲線。兩個組成濾波器的步長是固定的，圖5中的濾波器1的步長 μ1=0.1，濾波器 2的步長 μ2=0.02。圖 6中的 μ1=0.1,μ2=0.03。從圖5和圖6可以看出，組合后的均方偏差MSDc隨著濾波器1和濾波器2的均方偏差變化而變化。在初始階段，組合濾波器的性能曲線跟隨濾波器1的性能曲線；在過渡階段，組合濾波器的性能曲線逐漸由濾波器1過渡到濾波器2；穩態階段，組合濾波器的性能曲線跟隨濾波器2的性能曲線，改變組成濾波算法的步長值，組合后的算法性能曲線仍然具有良好的跟蹤性能。

圖5 仿射組合自適應濾波算法的MSD性能曲線(a)

圖6 仿射組合自適應濾波算法的MSD性能曲線(b)

仿射組合自適應濾波算法是凸組合算法的推廣，仿射組合自適應濾波算法的組合參數λ(n)不受區間[0,1]的限制。在仿射組合算法中，每個子濾波器對未知信道產生獨立的估計，因此存在一個最佳仿射組合系數使穩態偏差最小。本文對兩個自適應濾波器組成的仿射組合自適應濾波算法的性能進行了分析研究，提出了一個可實現的組合參數λ(n)的更新公式，并得出了相應的仿真結果。仿真結果表明，本文提出的組合參數更新公式與最佳組合參數更新公式一致，采用該組合參數的仿射組合算法可以實現自適應算法快的收斂速度和低的穩態偏差，對信號處理領域研究具有一定的參考價值。

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