基于C環境下的Schim idt正交化方法實現

董曉萌,李 樂

（渭南師范學院 數學與信息科學學院，陜西 渭南714000）

用正交基的好處在于數值計算上，不用正交基計算不穩定，會隨著計算過程逐步積累誤差，可能會使得誤差過大計算結果根本不可用，而正交基不會發生這種問題。由于標準正交基在歐氏空間中占有特殊的地位，所以有必要來討論正交化過程。化便可得到V的一組標準正交基要得到這個結果很麻煩,如果有很多個向量計算量相當大，所以想得到一組單位正交的向量組花費時間多，計算容易出錯，所以編寫了正交化過程的C程序，該程序對矩陣進一步進行Schimidt正交化節省了時間，減少了工作量，且提高了效率。

1 Schim idt正交化原理

把一組線性無關的向量變成一單位正交向量組的方法稱為 Schimidt（施密特）正交化過程[1]。

歐氏空間V中任一組線性無關的元素α1,α2,…,αs都可以通過施密特正交化過程化為兩兩正交的元素 β1,β2,…,βs，且 α1,α2,…,αs與 β1,β2,…,βs等價，施密特正交化過程如下[2]：

令 β1=α1

βs=進而單位

2 向量正交化的C語言實現

C語言實現如下[3]。

printf("請輸入需正交化的向量組個數相當于矩陣的行數： ");

scanf("%d",&n);

3 實例分析

例：把 α1=（0,1，-1,1,1）α2=（-1,2，-1,1,2），α3=（-1,1,1,0，-1）,α4=（-1,1,0,1,2）,α5=（1,2,0,0,3）,α6=（-2,1,0,0,0），α7=（-1,0,1,2,0），α8=（0，-1，2,1,1），α9=（2，-1,1，-1,-1），α10=（2,2，-1，-1,1)化為標準正交向量組[4]。

在 C 程序中，輸入向量 α1，α2,α3,α4，α5，α6，α7，α8，α9，α10原始數據值，再運行相關程序，就可直接得到施密特Schimidt正交化的向量 γ1,γ2,γ3,γ4,γ5,γ6,γ7,γ8,γ9,γ10，并且和筆算進行檢驗通過計算機計算可得到相關結果如圖1所示。

圖1 標準化正交向量組結果Fig.1 The result of standardized orthogonal vectors

4 結論

文中通過比較兩種正交化的計算方法人工計算和語言執行[5-6]。很明顯,使用語言編寫其函數包，便于應用工作者使用，豐富了語言的知識和擴充了語言中的函數包，計算簡單，簡化了計算量，提高了工作效率。計算不容易出錯，并且計算精度調至計算穩定，隨著計算過程逐步積累,誤差[7-8]較小，是可用的計算結果。

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