如何求解變力作用下物體運動的最大速度

張松林

物體如果在一個（或幾個）恒力和一個變力共同作用下運動時，在什么條件下物體將具有最大速度？最大速度怎樣計算？這一類習題對學生而言是困難的，

下面結合例題進行分析和計算。

【例1】 一質量為m的小球，從高為h處，由靜止開始落向一勁度系數為k的豎直放置的輕質彈簧，并將它壓縮，如圖1所示，小球在整個運動過程中，經過哪一點時，速度最大？最大速度是多少？

分析與解：小球接觸彈簧，同時受到彈力（變力）和重力（恒力）共同作用，開始一段時間彈簧形變，產生的彈力小于小球所受重力，合外力方向仍向下，小球仍向下做加速運動。隨著彈簧壓縮量的增加，向下的合外力愈來愈小，小球的加速度也愈來愈小，而小球向下的速度卻是愈來愈大。直至彈力等于重力的瞬間，小球所受的合外力為零，加速度為零，這時向下的速度達到最大值。接著，小球繼續壓縮彈簧，彈力大于重力，小球所受的合外力的方向向上，這時小球做減速運動，隨著彈簧的壓縮量愈來愈大，做減速運動的加速度愈來愈大，直到小球向下運動的速度減小到零。緊接著，小球又將從靜止開始向上做加速運動。小球運動的速度最大時，應滿足：kx0=mg （1）

取彈簧的壓縮量為x0的B點所在水平面為零勢面，則小球在彈簧上方h高處的A點所具有的總機械能為：EA=mg（h+x0） （2）

分析與解：子彈與A球發生完全非彈性碰撞后，一起向右運動，彈簧因被壓縮而產生彈力，A球開始減速運動，B球開始加速運動；當兩球速度相等時，彈簧壓縮量達到最大值；接著，彈簧開始伸長，彈力繼續使B加速而使A減速；當彈簧恢復到原長時，B球速度達到最大值，A球速度達到最小值；然后，彈簧又開始伸長，使A球加速，B球減速。如此反復進行……所以，兩球速度達到極值的條件是彈簧的形變量為零，這時，子彈和A球跟B球的彈性碰撞結束。

【例3】 勁度系數為k的輕質彈簧，一端固定在豎直墻上，另一端系一質量為m的物體A，將A放在粗糙的水平面上，已知物體A與水平面間的滑動摩擦因數為μ，如圖3所示。用外力壓縮彈簧（在彈性限度內）使物體從彈簧自由伸長位置向左壓縮L，撤去外力，物體向右運動，試計算當物體向右運動到什么位置時有最大速度？最大速度是多少？

分析與解：同樣分析得出：并不是彈簧恢復到自由伸長時速度最大，而是當物體所受彈力和摩擦阻力相等的瞬間達到向右的最大速度。即kx=μmg （1）

因為物體運動時，受摩擦阻力作用，故只能用“動能定理”計算最大速度。endprint

物體如果在一個（或幾個）恒力和一個變力共同作用下運動時，在什么條件下物體將具有最大速度？最大速度怎樣計算？這一類習題對學生而言是困難的，

下面結合例題進行分析和計算。

【例1】 一質量為m的小球，從高為h處，由靜止開始落向一勁度系數為k的豎直放置的輕質彈簧，并將它壓縮，如圖1所示，小球在整個運動過程中，經過哪一點時，速度最大？最大速度是多少？

分析與解：小球接觸彈簧，同時受到彈力（變力）和重力（恒力）共同作用，開始一段時間彈簧形變，產生的彈力小于小球所受重力，合外力方向仍向下，小球仍向下做加速運動。隨著彈簧壓縮量的增加，向下的合外力愈來愈小，小球的加速度也愈來愈小，而小球向下的速度卻是愈來愈大。直至彈力等于重力的瞬間，小球所受的合外力為零，加速度為零，這時向下的速度達到最大值。接著，小球繼續壓縮彈簧，彈力大于重力，小球所受的合外力的方向向上，這時小球做減速運動，隨著彈簧的壓縮量愈來愈大，做減速運動的加速度愈來愈大，直到小球向下運動的速度減小到零。緊接著，小球又將從靜止開始向上做加速運動。小球運動的速度最大時，應滿足：kx0=mg （1）

取彈簧的壓縮量為x0的B點所在水平面為零勢面，則小球在彈簧上方h高處的A點所具有的總機械能為：EA=mg（h+x0） （2）

分析與解：子彈與A球發生完全非彈性碰撞后，一起向右運動，彈簧因被壓縮而產生彈力，A球開始減速運動，B球開始加速運動；當兩球速度相等時，彈簧壓縮量達到最大值；接著，彈簧開始伸長，彈力繼續使B加速而使A減速；當彈簧恢復到原長時，B球速度達到最大值，A球速度達到最小值；然后，彈簧又開始伸長，使A球加速，B球減速。如此反復進行……所以，兩球速度達到極值的條件是彈簧的形變量為零，這時，子彈和A球跟B球的彈性碰撞結束。

【例3】 勁度系數為k的輕質彈簧，一端固定在豎直墻上，另一端系一質量為m的物體A，將A放在粗糙的水平面上，已知物體A與水平面間的滑動摩擦因數為μ，如圖3所示。用外力壓縮彈簧（在彈性限度內）使物體從彈簧自由伸長位置向左壓縮L，撤去外力，物體向右運動，試計算當物體向右運動到什么位置時有最大速度？最大速度是多少？

分析與解：同樣分析得出：并不是彈簧恢復到自由伸長時速度最大，而是當物體所受彈力和摩擦阻力相等的瞬間達到向右的最大速度。即kx=μmg （1）

因為物體運動時，受摩擦阻力作用，故只能用“動能定理”計算最大速度。endprint

物體如果在一個（或幾個）恒力和一個變力共同作用下運動時，在什么條件下物體將具有最大速度？最大速度怎樣計算？這一類習題對學生而言是困難的，

下面結合例題進行分析和計算。

【例1】 一質量為m的小球，從高為h處，由靜止開始落向一勁度系數為k的豎直放置的輕質彈簧，并將它壓縮，如圖1所示，小球在整個運動過程中，經過哪一點時，速度最大？最大速度是多少？

分析與解：小球接觸彈簧，同時受到彈力（變力）和重力（恒力）共同作用，開始一段時間彈簧形變，產生的彈力小于小球所受重力，合外力方向仍向下，小球仍向下做加速運動。隨著彈簧壓縮量的增加，向下的合外力愈來愈小，小球的加速度也愈來愈小，而小球向下的速度卻是愈來愈大。直至彈力等于重力的瞬間，小球所受的合外力為零，加速度為零，這時向下的速度達到最大值。接著，小球繼續壓縮彈簧，彈力大于重力，小球所受的合外力的方向向上，這時小球做減速運動，隨著彈簧的壓縮量愈來愈大，做減速運動的加速度愈來愈大，直到小球向下運動的速度減小到零。緊接著，小球又將從靜止開始向上做加速運動。小球運動的速度最大時，應滿足：kx0=mg （1）

取彈簧的壓縮量為x0的B點所在水平面為零勢面，則小球在彈簧上方h高處的A點所具有的總機械能為：EA=mg（h+x0） （2）

分析與解：子彈與A球發生完全非彈性碰撞后，一起向右運動，彈簧因被壓縮而產生彈力，A球開始減速運動，B球開始加速運動；當兩球速度相等時，彈簧壓縮量達到最大值；接著，彈簧開始伸長，彈力繼續使B加速而使A減速；當彈簧恢復到原長時，B球速度達到最大值，A球速度達到最小值；然后，彈簧又開始伸長，使A球加速，B球減速。如此反復進行……所以，兩球速度達到極值的條件是彈簧的形變量為零，這時，子彈和A球跟B球的彈性碰撞結束。

【例3】 勁度系數為k的輕質彈簧，一端固定在豎直墻上，另一端系一質量為m的物體A，將A放在粗糙的水平面上，已知物體A與水平面間的滑動摩擦因數為μ，如圖3所示。用外力壓縮彈簧（在彈性限度內）使物體從彈簧自由伸長位置向左壓縮L，撤去外力，物體向右運動，試計算當物體向右運動到什么位置時有最大速度？最大速度是多少？

分析與解：同樣分析得出：并不是彈簧恢復到自由伸長時速度最大，而是當物體所受彈力和摩擦阻力相等的瞬間達到向右的最大速度。即kx=μmg （1）

因為物體運動時，受摩擦阻力作用，故只能用“動能定理”計算最大速度。endprint