利用旋轉變換巧解中考題
2014-03-10 13:34:21謝子丹
中學教學參考·理科版 2014年2期
謝子丹
數學中的旋轉變換方面的知識（對應點到旋轉中心的距離相等、對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角、旋轉前后的圖形全等）在解題中具有廣泛應用.下面就幾道中考題談談如何利用旋轉變換解中考題.
【例1】 （2010，黑龍江齊齊哈爾）如圖1，已知
△ABC和△CDE均是等邊三角形，點B、C、E
在同一條直線上，AE與BD相交于點O，AE與CD相
交于點G，AC與BD交于點F，連接OC、FG，則下
列結論：①AE=BD；②AG=BF；③FG∥BE；④∠BOC=∠COE
，其中正確的結論個數為（ ）.
A.1個 B.2個 C.3個 D.4個
分析與解：結合題意并仔細觀察圖形可知，把△BCD按逆時針方向旋轉60°可得△ACE.
故△BCD與△ACE全等，
所以AE=BD.
把△BCF按逆時針方向旋轉60°可得△ACG.
故△BCF與△ACG全等，所以AG=BF，CF=CG.
又∵∠FCG=60°.
∴△FCG為等邊三角形
∴∠CFG=∠ACB=60°.∴FG∥BE.
∵△BCD與△ACE全等.
∴C到BD的距離與C到AE的距離相等，
即∠BOC=∠COE.
綜上所述，應選D.
【例2】 （2011，福建寧德）如圖2，△ABC中，∠ACB=90°，
∠A=30°，將△ABC繞C點按逆時針方向旋轉α
角（0°<α<90°）得到△DEC，設CD交AB于F，連接AD，
【例3】 （2010，山西）如圖3-1，正方形ABCD的邊CD在正方形DEFG的邊DE上，連接AE，CG.
（1）試猜想AE與GC有怎樣的位置關系，并證明你的結論；
（2）將正方形DEFG繞著點D按順時針方向旋轉，使E落在BC上，如圖3-2，
連接AE和CG.你認為（1）中的結論是否成立？若成立，給出證明；若不成立，請說明理由.
分析：（1）結合題意并仔細觀察圖形，把△ADE繞點D按逆時針旋轉90°后可得到△CDG，而CD⊥AD，DG⊥DE，故可猜想到CG⊥AE.
（2）結合題意并仔細觀察圖形，把△ADE繞點D按逆時針旋轉90°后可得到△CDG，而CD⊥AD，DG⊥DE，故可猜想到CG⊥AE.
解：（1）如圖3-1，CG⊥AE.
∵把△ADE繞點D按逆時針旋轉90度后可得到△CDG，
∴△ADE≌△CDG，
∴∠DAE=∠DCG，
又∵∠EDG=90°，
∴∠DCG+∠DGC=90°.
∴∠DAE+∠DGC=90°，
即CG⊥AE.
（2）如圖3-2，CG⊥AE，
∵把△ADE繞點D按逆時針旋轉90度后可得到△CDG，
∴△ADE≌△CDG，
∴∠DAE=∠DCG，
又∵AD∥BC，
∴AD和AE所夾銳角和BC和AE所夾銳角均與∠DAE相等，
而CG和BC所夾銳角的與∠DCG的余角相等.
∴CG⊥AE.
【例4】 （2012，遼寧鐵嶺）已知△ABC是等邊三角形.
以上五道例題的分析與解都有一個共同特點：結合題意并仔細觀察圖形，看一看某個三角形（或某個點）經過怎樣的旋轉變換到另一個三角形（或另一個點），而后根據變換前后兩圖形的關系來尋找等量關系或位置關系以使問題得到解決，都使用了旋轉變換及“數形結合的思想”.endprint
數學中的旋轉變換方面的知識（對應點到旋轉中心的距離相等、對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角、旋轉前后的圖形全等）在解題中具有廣泛應用.下面就幾道中考題談談如何利用旋轉變換解中考題.
【例1】 （2010，黑龍江齊齊哈爾）如圖1，已知
△ABC和△CDE均是等邊三角形，點B、C、E
在同一條直線上，AE與BD相交于點O，AE與CD相
交于點G，AC與BD交于點F，連接OC、FG，則下
列結論：①AE=BD；②AG=BF；③FG∥BE；④∠BOC=∠COE
，其中正確的結論個數為（ ）.
A.1個 B.2個 C.3個 D.4個
分析與解：結合題意并仔細觀察圖形可知，把△BCD按逆時針方向旋轉60°可得△ACE.
故△BCD與△ACE全等，
所以AE=BD.
把△BCF按逆時針方向旋轉60°可得△ACG.
故△BCF與△ACG全等，所以AG=BF，CF=CG.
又∵∠FCG=60°.
∴△FCG為等邊三角形
∴∠CFG=∠ACB=60°.∴FG∥BE.
∵△BCD與△ACE全等.
∴C到BD的距離與C到AE的距離相等，
即∠BOC=∠COE.
綜上所述，應選D.
【例2】 （2011，福建寧德）如圖2，△ABC中，∠ACB=90°，
∠A=30°，將△ABC繞C點按逆時針方向旋轉α
角（0°<α<90°）得到△DEC，設CD交AB于F，連接AD，
【例3】 （2010，山西）如圖3-1，正方形ABCD的邊CD在正方形DEFG的邊DE上，連接AE，CG.
（1）試猜想AE與GC有怎樣的位置關系，并證明你的結論；
（2）將正方形DEFG繞著點D按順時針方向旋轉，使E落在BC上，如圖3-2，
連接AE和CG.你認為（1）中的結論是否成立？若成立，給出證明；若不成立，請說明理由.
分析：（1）結合題意并仔細觀察圖形，把△ADE繞點D按逆時針旋轉90°后可得到△CDG，而CD⊥AD，DG⊥DE，故可猜想到CG⊥AE.
（2）結合題意并仔細觀察圖形，把△ADE繞點D按逆時針旋轉90°后可得到△CDG，而CD⊥AD，DG⊥DE，故可猜想到CG⊥AE.
解：（1）如圖3-1，CG⊥AE.
∵把△ADE繞點D按逆時針旋轉90度后可得到△CDG，
∴△ADE≌△CDG，
∴∠DAE=∠DCG，
又∵∠EDG=90°，
∴∠DCG+∠DGC=90°.
∴∠DAE+∠DGC=90°，
即CG⊥AE.
（2）如圖3-2，CG⊥AE，
∵把△ADE繞點D按逆時針旋轉90度后可得到△CDG，
∴△ADE≌△CDG，
∴∠DAE=∠DCG，
又∵AD∥BC，
∴AD和AE所夾銳角和BC和AE所夾銳角均與∠DAE相等，
而CG和BC所夾銳角的與∠DCG的余角相等.
∴CG⊥AE.
【例4】 （2012，遼寧鐵嶺）已知△ABC是等邊三角形.
以上五道例題的分析與解都有一個共同特點：結合題意并仔細觀察圖形，看一看某個三角形（或某個點）經過怎樣的旋轉變換到另一個三角形（或另一個點），而后根據變換前后兩圖形的關系來尋找等量關系或位置關系以使問題得到解決，都使用了旋轉變換及“數形結合的思想”.endprint
數學中的旋轉變換方面的知識（對應點到旋轉中心的距離相等、對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角、旋轉前后的圖形全等）在解題中具有廣泛應用.下面就幾道中考題談談如何利用旋轉變換解中考題.
【例1】 （2010，黑龍江齊齊哈爾）如圖1，已知
△ABC和△CDE均是等邊三角形，點B、C、E
在同一條直線上，AE與BD相交于點O，AE與CD相
交于點G，AC與BD交于點F，連接OC、FG，則下
列結論：①AE=BD；②AG=BF；③FG∥BE；④∠BOC=∠COE
，其中正確的結論個數為（ ）.
A.1個 B.2個 C.3個 D.4個
分析與解：結合題意并仔細觀察圖形可知，把△BCD按逆時針方向旋轉60°可得△ACE.
故△BCD與△ACE全等，
所以AE=BD.
把△BCF按逆時針方向旋轉60°可得△ACG.
故△BCF與△ACG全等，所以AG=BF，CF=CG.
又∵∠FCG=60°.
∴△FCG為等邊三角形
∴∠CFG=∠ACB=60°.∴FG∥BE.
∵△BCD與△ACE全等.
∴C到BD的距離與C到AE的距離相等，
即∠BOC=∠COE.
綜上所述，應選D.
【例2】 （2011，福建寧德）如圖2，△ABC中，∠ACB=90°，
∠A=30°，將△ABC繞C點按逆時針方向旋轉α
角（0°<α<90°）得到△DEC，設CD交AB于F，連接AD，
【例3】 （2010，山西）如圖3-1，正方形ABCD的邊CD在正方形DEFG的邊DE上，連接AE，CG.
（1）試猜想AE與GC有怎樣的位置關系，并證明你的結論；
（2）將正方形DEFG繞著點D按順時針方向旋轉，使E落在BC上，如圖3-2，
連接AE和CG.你認為（1）中的結論是否成立？若成立，給出證明；若不成立，請說明理由.
分析：（1）結合題意并仔細觀察圖形，把△ADE繞點D按逆時針旋轉90°后可得到△CDG，而CD⊥AD，DG⊥DE，故可猜想到CG⊥AE.
（2）結合題意并仔細觀察圖形，把△ADE繞點D按逆時針旋轉90°后可得到△CDG，而CD⊥AD，DG⊥DE，故可猜想到CG⊥AE.
解：（1）如圖3-1，CG⊥AE.
∵把△ADE繞點D按逆時針旋轉90度后可得到△CDG，
∴△ADE≌△CDG，
∴∠DAE=∠DCG，
又∵∠EDG=90°，
∴∠DCG+∠DGC=90°.
∴∠DAE+∠DGC=90°，
即CG⊥AE.
（2）如圖3-2，CG⊥AE，
∵把△ADE繞點D按逆時針旋轉90度后可得到△CDG，
∴△ADE≌△CDG，
∴∠DAE=∠DCG，
又∵AD∥BC，
∴AD和AE所夾銳角和BC和AE所夾銳角均與∠DAE相等，
而CG和BC所夾銳角的與∠DCG的余角相等.
∴CG⊥AE.
【例4】 （2012，遼寧鐵嶺）已知△ABC是等邊三角形.
以上五道例題的分析與解都有一個共同特點：結合題意并仔細觀察圖形，看一看某個三角形（或某個點）經過怎樣的旋轉變換到另一個三角形（或另一個點），而后根據變換前后兩圖形的關系來尋找等量關系或位置關系以使問題得到解決，都使用了旋轉變換及“數形結合的思想”.endprint
