圓系方程的一個證明

袁亮

圓的標準方程告訴我們要確定一個圓需要兩個條件——圓心和半徑，但是經常在確定圓心的時候就非常困難，特別是遇到兩個相交圓問題時更是困難.而當兩個圓一旦相交其實經過這兩個相交圓的圓方程就應該與已知兩圓的方程有關，經過推導可以得到如下結論：

設⊙A：x2+y2+D1x+E1y+F1=0，

⊙B：x2+y2+D2x+E2y+F2=0，

那么過兩圓交點的圓系方程可表示為

結論1：

m（x2+y2+D1x+E1y+F1）+n（x2+y2+D2x+E2y+F2）=0且m+n=1，

當系數m≠0時，式子可變形為

實際從兩個結論的式子形式可以看出，結論1不僅能夠表示包括過兩交點的所有圓的方程，而且根據m+n=1可知式子也只有一個系數，而結論2不能表示已知圓B.比較之下結論1的效果更好一些，下面筆者給出結論1的一個證明.

證明：由條件可知既然是過兩圓的交點，則兩已知圓必相交，因而可通過兩圓方程相減的方式得到兩圓公共弦所在直線方程

l：（D1-D2）x+（E1-E2）y+（F1-F2）=0. ①

那么以后經過此兩點的所有圓都必須要具有此條公共弦，即若設⊙C：x2+y2+D3x+E3y+F3=0為圓系中的任何一個圓，那么圓C與圓A所確定的公共弦所在直線也為l，故利用圓C與圓A方程相減可得到方程

（D3-D1）x+（E3-E1）y+（F3-F1）=0. ②

則①式和②式應表示同一條直線，則有對應系數成比例，即

若設1-k=m，則結論1得證.

在證明過程中兩直線方程系數成比例涉及有可能分母為零的情況，在這種特殊情況下實際是比較好討論的，在此就不贅述.

有了結論1，我們就可以避開繁瑣的計算去確定圓心和半徑，只需要建立一個關于未知量的方程即可，而且通過對結論1的證明我們也比較方便給出直線與圓相交情況下的圓系方程的證明，在此略去證明過程.endprint

圓的標準方程告訴我們要確定一個圓需要兩個條件——圓心和半徑，但是經常在確定圓心的時候就非常困難，特別是遇到兩個相交圓問題時更是困難.而當兩個圓一旦相交其實經過這兩個相交圓的圓方程就應該與已知兩圓的方程有關，經過推導可以得到如下結論：

設⊙A：x2+y2+D1x+E1y+F1=0，

⊙B：x2+y2+D2x+E2y+F2=0，

那么過兩圓交點的圓系方程可表示為

結論1：

m（x2+y2+D1x+E1y+F1）+n（x2+y2+D2x+E2y+F2）=0且m+n=1，

當系數m≠0時，式子可變形為

實際從兩個結論的式子形式可以看出，結論1不僅能夠表示包括過兩交點的所有圓的方程，而且根據m+n=1可知式子也只有一個系數，而結論2不能表示已知圓B.比較之下結論1的效果更好一些，下面筆者給出結論1的一個證明.

證明：由條件可知既然是過兩圓的交點，則兩已知圓必相交，因而可通過兩圓方程相減的方式得到兩圓公共弦所在直線方程

l：（D1-D2）x+（E1-E2）y+（F1-F2）=0. ①

那么以后經過此兩點的所有圓都必須要具有此條公共弦，即若設⊙C：x2+y2+D3x+E3y+F3=0為圓系中的任何一個圓，那么圓C與圓A所確定的公共弦所在直線也為l，故利用圓C與圓A方程相減可得到方程

（D3-D1）x+（E3-E1）y+（F3-F1）=0. ②

則①式和②式應表示同一條直線，則有對應系數成比例，即

若設1-k=m，則結論1得證.

在證明過程中兩直線方程系數成比例涉及有可能分母為零的情況，在這種特殊情況下實際是比較好討論的，在此就不贅述.

有了結論1，我們就可以避開繁瑣的計算去確定圓心和半徑，只需要建立一個關于未知量的方程即可，而且通過對結論1的證明我們也比較方便給出直線與圓相交情況下的圓系方程的證明，在此略去證明過程.endprint

圓的標準方程告訴我們要確定一個圓需要兩個條件——圓心和半徑，但是經常在確定圓心的時候就非常困難，特別是遇到兩個相交圓問題時更是困難.而當兩個圓一旦相交其實經過這兩個相交圓的圓方程就應該與已知兩圓的方程有關，經過推導可以得到如下結論：

設⊙A：x2+y2+D1x+E1y+F1=0，

⊙B：x2+y2+D2x+E2y+F2=0，

那么過兩圓交點的圓系方程可表示為

結論1：

m（x2+y2+D1x+E1y+F1）+n（x2+y2+D2x+E2y+F2）=0且m+n=1，

當系數m≠0時，式子可變形為

實際從兩個結論的式子形式可以看出，結論1不僅能夠表示包括過兩交點的所有圓的方程，而且根據m+n=1可知式子也只有一個系數，而結論2不能表示已知圓B.比較之下結論1的效果更好一些，下面筆者給出結論1的一個證明.

證明：由條件可知既然是過兩圓的交點，則兩已知圓必相交，因而可通過兩圓方程相減的方式得到兩圓公共弦所在直線方程

l：（D1-D2）x+（E1-E2）y+（F1-F2）=0. ①

那么以后經過此兩點的所有圓都必須要具有此條公共弦，即若設⊙C：x2+y2+D3x+E3y+F3=0為圓系中的任何一個圓，那么圓C與圓A所確定的公共弦所在直線也為l，故利用圓C與圓A方程相減可得到方程

（D3-D1）x+（E3-E1）y+（F3-F1）=0. ②

則①式和②式應表示同一條直線，則有對應系數成比例，即

若設1-k=m，則結論1得證.

在證明過程中兩直線方程系數成比例涉及有可能分母為零的情況，在這種特殊情況下實際是比較好討論的，在此就不贅述.

有了結論1，我們就可以避開繁瑣的計算去確定圓心和半徑，只需要建立一個關于未知量的方程即可，而且通過對結論1的證明我們也比較方便給出直線與圓相交情況下的圓系方程的證明，在此略去證明過程.endprint