雙曲拋物面薄殼屋蓋的制作與設計

劉平安，廖小東，程雯玉，王 銓

（華東交通大學機電工程學院，江西 南昌 330013）

雙曲拋物面薄殼屋蓋的制作與設計

劉平安，廖小東，程雯玉，王 銓

（華東交通大學機電工程學院，江西 南昌 330013）

為了方便雙曲拋物面薄殼屋蓋的制作，采用數學建模的方法對雙曲拋物面薄殼屋蓋進行理論計算，得到了直母線鋼筋數以及直母線鋼筋在空間的位置、錨固面方程以及與直母線交點、直母線之間的交點和直母線與錨固面的法線之間夾角的數學表達式。利用Matlab軟件經過實例計算驗證了其有效性，為今后雙曲薄殼屋蓋的制作提供了理論依據。

雙曲薄殼屋蓋；數學建模；預應力鋼筋；錨固面

隨著建筑結構設計理論、設計手段及施工水平的不斷提高，新的建筑型式不斷出現。用鋼筋混凝土澆筑的雙曲拋物面薄殼屋蓋具有利于排水、不易滲漏、節約材料、剛度較大、造型優美等優點，可以用于廠房、商場、影劇院等民用建筑［1］。許多學者對雙曲拋物薄殼屋蓋的設計、施工和風壓的分布等進行了研究［2-5］。但薄殼結構的設計計算難度較大，施工復雜，對設計及施工技術要求較高。若能在制作前能為配筋、錨固面位置的確定等進行相關理論計算，將為雙曲薄殼屋蓋的制作帶來切實的方便。

如圖1為雙曲拋物面薄殼屋蓋示意圖。

1 直母線鋼筋數與空間位置直線方程

如圖2所示的雙曲拋物面又稱馬鞍面，其數學方程為

圖1 雙曲拋物面薄殼屋蓋Fig.1 Hyperbolic paraboloid shell roof

圖2 雙曲拋物面Fig.2 Hyperbolic paraboloid

式中：x，y，z是直角坐標系3個坐標軸方向上的變量；a，b是常數。

作為屋蓋的雙曲拋物面其長度方向必須是上凸的，而在寬度方向有相對小的凹曲。在雙曲拋物面薄殼上建立適當的坐標系，如圖3所示。

0,0 ,0 往兩邊沿馬鞍面的兩族直母線配筋后再澆注混凝土或樹脂。配筋布置如圖4所示，圖中a為板寬之半；b為屋蓋長度之半；fx為橫向下撓高度；fy為縱向上拱高度。

圖3 雙曲拋物面薄殼坐標系的建立Fig.3 The coordinate system of hyperbolic paraboloid shell

圖4 馬鞍面薄殼配筋在x-y平面投影Fig.4 Projection of saddle shell reinforcement in the x-y plane

k為從W1中間向x增大方向開始對直母線鋼筋的編號數。根據對稱性可知最多可安排2(2k+1)根過點所要求直母線鋼筋。

圖5 直母線投影到x-o-y平面Fig.5 Projected straight generatrix in the x-o-y plane

2 錨固面方程以及與直母線交點的求解

根據錨固面的定義可知兩條主直母線共有4個錨固面，其中兩兩相交在直母線兩端分別形成一個折線型面。如圖6所示，n1，n2為兩條錨固面直線。

直線方程：y=±b±l1與方程（6）的其中一個交點為

圖6 錨固面與錨固面直線示意Fig.6 Schematic diagram of anchorage and anchoring line

則通過M點在第1，2，3，4象限的錨固面方程分別為

聯立（1）（2）（7）共3個方程可求第1象限的錨固面與直母線的交點為

3 直母線之間的交點求解

首先證明異族的任何二直母線共面但不重合（即必相交），根據兩簇直母線方程可以用變量表示交點坐標x，y和z[8]。

根據兩族直母線方程可求得x，y坐標表達式

4 直母線和錨固面的法線之間夾角求解

因為直母線具有對稱性，其與錨固面的夾角相同，同理可知其余夾角參數。

5 計算實例

5.1 相關參數

這里選用文獻［1］中的相關參數如下：

5.2 具體計算

1）將相關數據代入（5）式中得0≤k≤4.681 6，取正整數得Max(k)=4，2(2k+1)=18。

2）在W1寬度中9條直母線公式中的所對應的v的值為

[v]=[-0.159 9-0.119 9-0.080 0-0.040 0-0.040 0 0.080 0 0.119 0.159 9]，另外一族9條直母線的v值與上面的值對應。利用MATLAB［9］計算9條直母線與錨固面的交點坐標值如表1所示。

3）異族直母線之間的交點限于文章篇幅，只例舉x的坐標值如表2，y，z坐標值同樣可計算得到。

表1 直母線與錨固面的交點坐標Tab.1 The intersection points of straight generatrix and anchorage

表2 異族直母線之間的交點x的坐標值Tab.2 x coordinates of the intersection between 2 groups of straight generatrix

6 結語

通過研究，得出如下結論：

雙曲拋物面薄殼的直母線鋼筋數除與板寬之半和間距有關外，還與橫向下撓和縱向上拱高度有關；從錨固面的直線方程與相關布置方案（圖6）可知，左、右邊的兩條錨固面的直線方程關于原點對稱，而且它們與直母線的交點也有類似的規律；直母線之間的交點坐標值都與直母線方程中的常數u，v有關，而直母線和錨固面的法線之間的夾角是板寬之半、長度之半、橫向下撓和縱向上拱高度的函數。文中所得到的一系列配筋表達式，對于設計自重輕、耗材少、受力性能好、剛度大的雙曲拋物面薄殼屋蓋具有重要參考價值，且可以縮短設計周期和有效提高設計質量和效率。

[1]江西省人民政府學位辦.2012年江西省研究生數學建模A題[EB/OL].(2012-05-26)[2013-07-01].http://xwyyjs.jxedu.gov.cn.

[2]劉強.健康-綠色-可持續性-當今建筑設計的發展趨勢[J].華東交通大學學報,2002,19(4):25-27.

[3]高尚,李建明,劉鳳奎.清水混凝土雙曲面薄殼模板施工[J].山西建筑,2011,37(28):87-88.

[4]齊志剛,張希黔,周飛.大跨度雙曲混凝土雙曲組合扭殼屋蓋表面風壓系數試驗研究[J].四川建筑科學研究,2011,37(6):52-55.

[5]魏軍揚,王保田,張海霞,等.加筋土筋土界面特性分離式試驗研究[J].華東交通大學學報,2013,30(5):57-58.

[6]RENA DING,YAN ZHANG.Dual space drawing methods for ruled surfaces with particular shapes[J].International Journal of Computer Science and Network Security,2006,6(1A):4-12.

[7]江曉紅,宋彥.基于空間仿射對應點列的雙曲拋物面三維構建及分析[J].圖學學報,2012,33(5):25-27.

[8]姜永艷,錢德亮,張喆.單葉雙曲面中異族直母線之間的關系[J].宜春學院學報,2012,34(4):13-14.

[9]宋葉志,賈東永.MATLAB數值分析與運用[M].北京:機械工業出版社,2009:266-288.

Production and Design of Hyperbolic Paraboloid Shell Roof

Liu Ping’an,Liao Xiaodong,Cheng Wenyu,Wang Quan
(School of Mechatronical Engineering,East China Jiaotong University,Nanchang 330013,China)

Aiming at the production of hyperbolic paraboloid shell roof,this paper adopts the mathematical model?ing of hyperbolic paraboloid shell roof for theoretical calculation.It obtains the straight generatrix steel number,the position of the straight generatrix steel,anchoring surface equation in space,the intersection between rectilin?ear and straight generatrix and the mathematic expression of the angle between the generatrix and anchorage.Through the Matlab software,calculation results verify the effectiveness of the proposed model,which may provide a theoretical basis for the future production of hyperbolic shell roof.

hyperbolic shell roof;mathematical modeling;prestressed reinforcement;anchor surface

TU33+5

A

1005-0523（2014）02-0079-07

2013-07-01

江西省科技支撐計劃項目（20122BBE500041）

劉平安（1962—），男，教授，博士，研究方向為機械設計、機構學、機器人機構學。

book=85,ebook=126