ABAQUS混凝土塑性損傷模型概述

孫慶昭

（中機中聯工程有限公司，重慶400039）

ABAQUS混凝土塑性損傷模型概述

孫慶昭

（中機中聯工程有限公司，重慶400039）

該文對大型非線性有限元分析軟件ABAQUS中的混凝土塑性損傷模型進行了詳細的介紹。著重討論了混凝土塑性損傷模型的基本理論和損傷因子基于《混凝土結構設計規范》（GB50010-2010）[4]附錄C應力-應變曲線的計算方法。同時也對ABAQUS中塑性損傷材料模型的滯回規則、屈服準則和流動法則作了簡要介紹。

塑性損傷；ABAQUS；損傷因子；滯回規則；屈服準則；流動法則；混凝土

0 引言

鋼筋混凝土結構在土木工程中的應用非常廣泛。對于常規的建筑結構，多止步于彈性階段的結構設計，并沒有過多地考察其非線性特性。但是隨著建筑結構設計要求的提高、經濟投資的加大，越來越多的超限結構需要進行彈性設計以外的彈塑性時程分析驗算，以獲得結構體系在地震往復作用下的反應。近年來，隨著有限元理論和電子計算機的飛速發展，大大促進了鋼筋混凝土結構的非線性分析。ABAQUS作為具有強大非線性計算能力的通用有限元分析軟件在土木工程結構計算中得到了廣泛應用。

在ABAQUS中，為混凝土材料定義了一種材料模型——塑性損傷模型，它可以模擬混凝土材料的拉裂和壓碎等力學現象。ABAQUS中的塑性損傷模型是在Lubliner[1]和Lee and Fenves[2]模型的基礎上建立的。該模型使用各向同性損傷彈性結合各向同性拉伸和壓縮塑性的模式來表示混凝土的非彈性行為，是一個基于塑性的連續介質損傷模型。同時，它基于各向相同破壞的假設，可用于單向加載、循環加載及動態加載等情況，同時考慮了由于拉壓塑性應變導致的彈性剛度的退化以及循環荷載作用下的剛度恢復，具有較好的收斂性[3]。

1 ABAQUS塑性損傷模型理論

ABAQUS要求用戶填入的是混凝土單軸的拉伸和壓縮應力-應變曲線上的一些特征點數據，它可以直接被調用而用于ABAQUS中的一維梁單元，對于二維殼單元和三維實體單元，程序會自動運用廣義胡克定律（彈性）和塑性位勢理論（彈塑性）確定二維和三維應力狀態下的空間應力-應變關系。

混凝土材料單軸拉伸和壓縮應力-應變曲線（如圖1）顯示：應力-應變曲線存在下降段，應力超過彈性范圍以后卸載時存在剛度退化現象，這與混凝土材料內部存在微小裂縫（損傷）有關。

圖1 混凝土單軸拉伸和壓縮應力-應變曲線（上圖：拉伸；下圖：壓縮）

混凝土塑性損傷模型的受拉應力-應變數據在ABAQUS中以的形式輸入。其中稱為開裂應變，其被定義為總應變減去材料無損傷的彈性應變，

當拉應力超過彈性極限σt0后，將按(1-dt)E0的退化剛度卸載，dt稱為受拉損傷因子，它是受拉等效塑性應變的非減函數，其取值范圍在0（無損傷）到1（完全損傷）之間。受拉損傷數據以的形式輸入到程序中，程序自動按下式將開裂應變轉化為等效塑性應變

混凝土塑性損傷模型的受壓應力-應變數據在ABAQUS中以的形式輸入。其中稱為受壓非彈性應變，其被定義為總應變減去材料無損傷的彈性應變

當壓應力超過彈性極限σco后，將按(1-dc)E0的退化剛度卸載，dc稱為受壓損傷因子，它是受壓等效塑性應變的非減函數，其取值范圍在0（無損傷）到1（完全損傷）之間。受壓損傷數據以的形式輸入到程序中，程序自動按下式將開裂應變轉化為等效塑性應變

2 損傷因子的取值

ABAQUS需要用戶輸入的材料信息包括混凝土材料的單軸的受壓、受拉應力-應變關系曲線以及受壓、受拉時的損傷因子-非彈性應變曲線（僅輸入曲線上的一組離散點，程序會自動根據所輸入的離散點進行擬合，因此離散點的選擇至關重要）。材料本構曲線和損傷因子曲線一般通過實驗得到，當缺少實驗數據時，可以結合《混凝土結構設計規范》（GB50010-2010）[4]附錄C提供的混凝土應力-應變曲線利用能量等價原理計算得到所需參數。

規范[4]給出的混凝土單軸應力-應變曲線如圖2所示，其中ft,r、fc,r分別為混凝土單軸抗拉、抗壓強度代表值；εt,r、εc,r分別為與單軸抗拉強度代表值和單軸抗壓強度代表值對應的混凝土峰值應變。

圖2 混凝土單軸應力-應變曲線

混凝土單軸受拉的應力應變曲線公式如下：

當x≤1時，

當x＞1時，

αt為混凝土單軸受拉應力-應變曲線下降段的參數值，按規范[4]表C.2.3取用。

當x≤1時，

當x＞1時，

Sidiroff的能量等價原理認為，應力作用在受損材料產生的彈性余能與作用在無損材料產生的彈性余能在形式上是相同的[5]，只要將應力改為等效應力，或將彈性模量改為損傷時的等效彈性模量即可。

無損傷材料彈性余能：

等效有損傷材料彈性余能：

將式（12）歸一化得：

將式（8）、式（9）分別與式（13）對應，即可解出：

當x≤1時，

當x＞1時，

同理，可得單軸受壓損傷因子計算公式如下：當x≤1時，

當x＞1時，

3 滯回規則

ABAQUS中混凝土塑性損傷模型的滯回準則由損傷因子d和剛度恢復系數ω共同決定。剛度恢復系數ω分為受拉剛度恢復系數ωt和受壓剛度恢復系數ωc，分別表示混凝土應力-應變曲線從受壓區過渡到受拉區和從受拉區過渡到受壓區時，彈性模量的變化程度。ωc=1表示混凝土從受拉區進入受壓區時彈性模量可完全恢復至上一次受壓卸載時的彈性模量，ωc=0表示混凝土彈性模量不能恢復，如圖3所示。ωt=1表示混凝土從受壓區進入受拉區時彈性模量可完全恢復至上一次受拉卸載時的彈性模量，ωt=0表示混凝土彈性模量不能恢復[6]。

圖3 受壓剛度恢復因子ωc影響示意圖

很多準脆性材料（混凝土）的試驗表明，當從拉應力變到壓應力時，由于裂紋閉合，受壓剛度將會恢復。但是另一方面，當受壓的微裂紋壓碎時，由受壓變為受拉時的受拉剛度將不會恢復。鑒于此，ABAQUS默認條件下，假定ωt=0及ωc=1，即只有受壓剛度恢復而沒有受拉剛度恢復[3]。圖4為默認條件下的一個應力循環的曲線圖。

圖4 默認條件下（ωt=0及ωc=1）單軸應力循環曲線圖（拉-壓-拉）

4 屈服準則

在復雜應力狀態下，物體內某一點開始產生塑性變形時，應力必須滿足一定的條件，它就是復雜應力狀態下的屈服準則。一般來說，它應是6個應力分量的函數，可表示為：式中，C為與材料有關的常數，F為屈服函數[7]。

ABAQUS中混凝土塑性損傷模型采用的屈服準則是基于Lubliner等人（1989）[1]建議的屈服函數，它綜合了Lee and Fenves（1998）[2]的修正以考慮拉壓不同時強度的不同演化規律。用有效應力表達時的屈服函數為：

5 流動法則

材料在初始彈性范圍內，應力與應變之間存在著一一對應的關系，即廣義胡克定律。進入塑性狀態以后，一般來說，不再存在著應力與應變之間的一一對應關系，只能建立應力增量與應變增量之間的關系。這種用增量形式表示的材料本構關系，稱為增量理論或流動法則[7]。流動法則是關于塑性應變增量方向的假定準則，經典塑性位勢理論假定塑性應變增量方向滿足正交流動規則，即塑性應變增量ε&pl的方向與塑性勢函數的梯度方向或塑性勢面的外法線方向一致。其數學表達式為：

式中λ&是一個非負的標量因子，表示塑性應變增量的大小；Q為塑性勢函數。

如果假定塑性勢函數等于加載函數或屈服函數，即Q=F，這樣塑性勢函數與加載函數或屈服函數相關聯，稱為相關聯的流動法則；如果Q≠F，則ε&pl的方向與加載面或屈服面不正交，但仍與塑性勢面正交，這時稱為不相關聯的流動法則，這樣塑性勢函數的選取就非唯一。

ABAQUS中混凝土塑性損傷模型采用的是非關聯流動法則，其塑性勢的數學表達式取為Drucker-Prager雙曲面函數的形式：

式中ψ為膨脹角，σt0是單軸抗拉強度，∈是勢函數偏心率。

6 結語

本文詳細介紹了ABAQUS混凝土塑性損傷模型的基本理論，基于能量等效原理推導了與現行《混凝土結構設計規范》（GB50010-2010）[4]附錄C提供的混凝土受壓和受拉應力-應變關系曲線對應的損傷因子計算公式。并對復雜應力狀態下的彈塑性有限元分析中較難理解的滯回規則、屈服準則以及流動法則進行了簡單闡述，有助于工程界對ABAQUS軟件和彈塑性有限元分析理論的理解與掌握。

[1]Lubliner J，Oliver J，Oller S，et al.A Plastic-damage model for concrete[J].International Journal of Solids and Structures，1989，25（3）:299-326.

[2]Lee J，Fenves G L.Plastic-damage model for cyclic loading of concrete structures[J].Journal of Engineering Mechanics，1998，124（8）:892-900.

[3]ABAQUS analysis user’s manual v6.10[M].ABAQUS Inc，2010.

[4]中華人民共和國國家標準.GB50010-2010?混凝土結構設計規范[S].北京:中國建筑工業出版社,2010.

[5]李兆霞.損傷力學及其應用[M].北京:科學出版社，2002.

[6]聶建國，王宇航.ABAQUS中混凝土本構模型用于模擬結構靜力行為的比較研究[J].工程力學，2013，30（4）:59-67，82.

[7]朱伯芳.有限單元法原理與應用[M].北京:中國水利水電出版社，2009.

責任編輯：孫蘇

An Overview of Plastic Damage Model of ABAQUS Concrete

Concrete plastic damage model in nonlinear finite element analysis software ABAQUS is introduced in detail.The basic theories of concrete plastic damage model and the calculation methods of the damage factors based on stress-strain curve in appendix C of Code for Concrete Structures Design（GB50010-2010）[4]are discussed in particular.Also,the hysteresis rules，yield criterion and flow rule for plastic damage material model in ABAQUS are introduced for reference.

plastic damage;ABAQUS;damage factor;hysteresis rules;yield criterion;flow rule;concrete

TU313

A

1671-9107（2014）11-0070-03

10.3969／j.issn.1671-9107.2014.11.070

2014-10-23

孫慶昭（1989-），男，河南虞城人，本科，主要從事建筑設計工作。