基于時域濾波技術的土壤阻抗模型研究

周穎慧 張 輝 周許申 石立華

（1.南京航空航天大學 機械結構力學及控制國家重點實驗室，江蘇 南京210007；2.解放軍理工大學電磁環境效應與光電工程國家級重點實驗室，江蘇 南京210007；3.中國人民解放軍96657部隊，北京100083）

引 言

在研究電磁脈沖對埋地導體的耦合問題中，由于入射場具有非均勻特性，往往需要在時域內對其進行分析計算［1］.特別是在對電纜進行防護時，常常需要用到電涌抑制器等類型的非線性負載，這種負載的非線性特性也使頻域內的計算變得難以實現［2］.然而，在時域內分析傳輸線方程時涉及到較為復雜的土壤阻抗與傳輸線上感應電流的卷積計算，此項計算對計算機內存的占用很大并且花費的計算時間比較長.為解決這一問題曾提出一種基于S參數的一階線性擬合方法計算該卷積項［4］.這種擬合方法不僅可以避免復雜的卷積計算，也適用于對一些來自于實測實驗數據的土壤阻抗進行擬合.當然，有些情況下這種一階擬合不能滿足計算精度要求，需要二階或更高次項的擬合.為此，提出一種基于數字濾波技術的土壤阻抗模型擬合方法.該方法將土壤阻抗與電流的卷積項進行數字濾波擬合，從而將多點的乘法和累加減小為極少數點的乘法和累加，減小了內存的需求量，提高了計算效率.

1 傳輸線方程中土壤阻抗特性的計算模型

頻域內，考慮了土壤阻抗影響的計算場線耦合的電報方程為［5］：

式中：γg為土壤的傳輸常數；b為絕緣層的外半徑；為場強穿入大地的等效穿透深度.

在研究電磁脈沖對導體耦合問題中，往往要用到較高的頻率分量.而式（3）所采用的近似表達式是式（4）的低頻近似.在頻率較高的情況下（＞10 MHz）兩者的差距是比較明顯的.本文計算中采用的是Vance提出的土壤阻抗Zg精確表達式為

圖1 Vance近似表達式與精確表達式的對比

采用Agarawal模型進行埋地傳輸線耦合分析的方法中，將上述阻抗由傅里葉逆變換（Inverse Fast Fourier Transform，IFFT）轉換到時域進行卷積計算，圖2是將上述Z（jω）做IFFT后的結果.圖2中逆變換后的波形出現尾部的突變，這是不合理的，土壤阻抗項和導納項無法直接參與時域卷積.為此，考慮用數字濾波技術來實現并簡化卷積運算.

圖2 土壤阻抗的時域響應（σg＝10-3S／m）

2 數字濾波技術對土壤阻抗項的處理

如上所述，由IFFT將方程（1）、（2）轉換到時域，形式為

方程（5）、（6）中的卷積計算可以看作是電流或電壓通過一個沖激響應為Zg（t）或Yg（t）的線性時不變（Linear Time-Invariant，LTI）系統得到的輸出信號，可設法建立與之對應的數字濾波器的離散傳遞函數模型.在濾波器模型的選擇上，分有限沖激響應（Finite Impulse Response，FIR）濾波器和無限沖激響應（infinite impulse response，IIR）濾波器兩種形式.對同一個功能的數字濾波器來說，FIR濾波器需要的階數高，時延效應大；因此選用IIR濾波器，它采用很少的參數就能實現一個復雜的功能.

假設待設計的濾波器離散傳遞函數為H（z），設其模型具有如下形式［9］為

進行離散傳遞函數模型估計即確定a1～am、b0～bn這m＋n＋1個參數.

一個LTI離散系統在Z域的傳遞函數可表示為

H（z）以N＋M＋2個參數表述了一個LTI系統的全部特性.事實上，H（z）的形式即為一個典型的IIR濾波器，它對輸入信號的作用可通過數字濾波的算法實現.能完成同樣功能的IIR數字濾波器的形式總體可分為直接形式、級聯形式和并聯形式三種.直接形式和級聯形式濾波器的信號流圖由于數字系統的字長總是有限的，因此其系數精度總是有限的.直接形式的濾波器每一個系數的量化誤差及乘法器的舍入誤差對輸出都將有累計效果，以致輸出誤差偏大，這是一個比較大的缺點.并聯結構的每一個子系統都是獨立的，不受其它子系統系數量化誤差以及乘法舍入誤差的影響，因此是所述三種形式中對誤差最不敏感的結構形式.試用結果也表明，將二階以上數字濾波算法直接引入時域有限差分方法（Finite Difference Time Domain，FDTD）循環中將很快導致發散，分析累計誤差是其中一個重要原因.此外，在式（8）中的H（z）為直接形式，將該形式應用于FDTD中，需要存儲Ⅰ（n-N）、Ⅰ（n-N＋1），…，Ⅰ（n）等變量，高階直接形式的濾波器存在時延，也嚴重影響計算穩定性和精度.為此模型的建立采用一階并聯結構的數字濾波器.

其中ri、pi分別為差分方程的系數.

以土壤阻抗項Zg為例，數字濾波器模型的設計過程為：

1）設定一個輸入信號x（t），將輸入信號作傅里葉變換，得到其頻域表達式X（ω）；

2）將輸入信號的頻域表達式X（ω）與土壤阻抗項Zg相乘，得到輸出信號的頻域表達式Y（ω）；

3）將輸出信號Y（ω）作IFFT，得到輸出信號的時域表示形式y（t）；

4）將x（t）、y（t）構成一個輸入輸出對，進行參數估計，從而得到計算所需要的傳遞函數的各個參數；

5）運用同樣方法可以求得土壤導納項Yg的傳遞函數模型.

分別選擇土壤電導率σg為10-2S／m、10-3S／m和10-4S／m的情況驗證不同電導率下對土壤阻抗項的建模結果.選擇一組輸入、輸出信號x（t）、y（t），根據設定信號得到一個系統函數.再將輸入信號x（t）經過以土壤阻抗項為傳遞函數的系統，得到一個新的輸出信號），對比原始輸出信號y（t）與建模所得的輸出信號從而可驗證對土壤阻抗項所建系統的正確性.估計所得系統傳遞函數參數如表1所示.

表1 系統傳遞函數的參數

土壤電導率分別為：10-2S／m、10-3S／m和10-4S／m的情況下，設定的輸出信號和建模所得輸出信號得到的波形如圖3（a）、（b）、（c）所示.由圖3可以看出，在不同土壤電導率情況下，原始輸出信號y（t）與建模所得的輸出信號波形吻合得非常好.這說明建模所采用的方法和程序是正確可靠的.

圖3 不同電導率下原始輸出信號與濾波所得信號的對比

3 結 論

一般情況下的數字濾波器是通過對模擬原型濾波器的轉換得到的，功能局限于一些簡單的高通、低通關系.而我們采用的濾波器直接由時域波形設計，可以實現任意復雜的功能.建模結果為三階系統、六個參數，便于使用.相對于原來直接卷積時整個時域波形的數百乃至上千個參數，該方法大大減小了運算量.這種方法將土壤阻抗參與的卷積計算轉化成時域濾波計算，從而將多點的乘法和累加減小為極少數點的乘法和累加，減小了內存的需求量，提高了計算效率.

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