固定單站純方位目標運動參數的解析方法

郁 濤

（上海微波設備研究所，上海201802）

引 言

在被動測量的情況下，僅僅利用目標的方位信息，估計目標運動參數的過程，稱為純方位目標運動分析.對運動目標的純方位觀測是一個經典問題，至今為止的研究結果是，在二維平面上，當目標不是在相對于單觀測站的徑向方向運動時，利用靜止單觀測站所測量到的勻速直線運動目標的方位以及時差，僅可以估計出目標的航向角、目標通過航路勾徑點的時刻、以及速度與初距的比值［1-2］.

現有的包含移動時差的純方位目標運動分析之所以得不到完整的定位解，其原因在于僅利用了距離與速度之間的關系.事實上，在現有的純方位目標運動分析中是可以包含有目標移動時差參量的，固定單站還可以依據觀察時差建立自時差測量方程.

采用最小二乘法能實現目標定位［3-6］，但這不是本文所探討的方法，本文基于幾何和時差約束條件研究了純方位觀測的解析方法.首先利用自時差方程和幾何關系證明目標端相鄰移動距離之比近似等于觀測處相鄰觀測時差之比；然后，再次利用前置角與觀測方位角之間的幾何關系解出目標端的前置角和航向角；隨后的分析表明，一旦利用三角函數關系直接解算得到相鄰移動距離的比值，并通過一次迭代計算再次求得準確度更高的前置角，則即可直接從自時差方程準確的求得移動目標的各個運動參數.

1 自時差測量方程

固定單站與被測目標間的幾何關系如圖1所示，在短時間內，目標可被假定為近似勻速直線運動，固定觀測單站連續觀測目標的方位角，同時，測量兩次測向之間的時差值.

圖1 固定單站無源定位幾何模型

假定目標信號在位置A時的發射瞬間的時間值為T0，則觀測站所接收到的此來波信號的時間值T1為

式中：r1是目標與探測站之間的徑向距離；c是波的傳播速度.

當目標移動到達位置B時，分段考慮信號傳播和目標移動所花費的時間，固定觀測站所接收到的來自位置A處，且從T0時刻算起的時間累加值T2為

式中：r2是目標在位置B處的徑向距離；Δt1＝d1／v為目標從A移動到B的時間間隔，v是目標的移動速度.

兩觀測時間之差為

按同樣的方法有

式中：Δt2＝d2／v為目標從B移動到C的時間間隔.

因自時差是目標移動時間與電波在路程差上的移動時間之和，為滿足物理觀察的真實性和計算公式的普遍適用性，對程差加絕對值符號是必須的.否則，一旦目標的移動航向改變，路程之差就有可能出現負值，此時，對分段移動時間間隔的累加行為將無法得以保持.

對觀測時差移項整理后得：

2 移動距離與觀測時差間的比值

根據圖1所示的幾何關系，可以得到方位的相鄰角度差Δθi為

式中：di是目標在Δti時間內的移動距離；βi是目標的前置角；角度差Δθi＝θi＋1-θi，可通過純方位檢測獲得，θi是在探測站位置處所測量得到的目標方位角.

通過變形整理，且兩式聯解消去徑向距離r2之后，可得到相鄰移動距離的比值為

若前置角未知，則目標相鄰移動距離的比值是不能被確定的，但由圖1所示的幾何關系還可得到：

當Δθi較小時，近似有tanΔθi≈sinΔθi，等式兩邊相約后可得到：

將上述關系代入時差方程式（5）和（6），并將式中的移動時間間隔用移動距離與移動速度的比值置換，得：

由上述的兩式之比即可得到在目標相鄰移動距離之比與觀測站相鄰時差之比之間的一個近似關系式

事實上，在勻速飛行的情況下，因di＝vΔti，故有

即近似有恒等式

由于觀測時間差ΔTi可通過測量獲得，故移動距離之比可被近似確定.

3 目標的前置角和航向角

3.1 計算公式

一旦將移動距離與觀測時差間的比值關系式（16）代入相鄰飛行距離的比值關系式（9），則即可解出目標的前置角

由內外角關系α＝θi＋βi，可解出航向角

3.2 相對計算誤差

圖2給出了當前置角在第一象限內變化時，對于不同的起始測量方位角，航向角的真實值α與計算值αa間的相對誤差比對，其計算式為

模擬計算證明，航向角的解析計算結果是相當準確的，且方位起始角越大，計算的準確性越好.

3.3 象限范圍

模擬計算表明航向角計算式（20）僅適用于在0°＜β1＜180°范圍內使用，但事實上，當β1＞180°時，可認為目標是沿著圖1所示軌跡的反方向運動，因此，僅需對算術符號做相應的改變，即可使所導出的公式適用于整個平面范圍.

圖2 航向角的真值與計算值之間的相對誤差比對

在前置角90°＜β1＜180°時的計算公式為

此時，航向角的計算式為

模擬計算還表明，改變相鄰飛行距離的比值對計算誤差所造成的影響很小.這事實上也說明，在小角度時，由正弦函數與正切函數之間的近似相等所產生的誤差是極其微小的.

4 一次迭代解

數學計算表明，如利用各個運動參量的純理論值，則從自時差方程組即可得到極其準確的結果，但事實上，由相鄰觀測時差ΔTi之比所給出的相鄰移動距離di的比值ξd是在忽略程差項的近似簡化條件下獲得的，且模擬演算表明，盡管在此種近似下所獲得的航向角是足夠準確的，但如將此近似獲得的移動距離比值代入自時差方程后去求解其它未知參量，則會出現得不到準確解的現象，微小的數值變化即可使方程的計算準確性變劣.

為此，作為一種迭代算法，在求得前置角之后，通過求解移動距離和徑向距離之間的比值，以及徑向距離之間的比值，再按幾何定義進行計算，從而得到了準確性更好的相鄰移動距離的比值.

利用式（10）和（11）解出僅和測算值β2相關的移動距離與徑向距離的比值計算式：

由余弦定理可得到僅和測算值β2相關的徑向距離間的比值：

又由目標的移動軌跡和徑向距離所圍成的幾何三角形可分別得到：

由此重新得到一個關于目標移動距離的比值

式中，相鄰徑向距離的比值可由式（26）和（27）確定.注意此時仍將有

但

將相鄰移動距離的比值關系式（30）代回式（9），即可解出準確性更好的目標前置角為：

5 目標的運動參數

5.1 目標的移動速度

在自時差方程中，先將目標的移動時差用移動距離與速度的比值取代，則由兩個自時差方程之比得

再將徑向距離r2提取出來，經整理后有

由此可解出目標的移動速度

式中，移動距離和徑向距離的比值采用式（24）和（25），而相鄰徑向距離的比值則直接按正弦定理有

由此得

式中：Δθi通過方位的檢測得到；β1和β3由迭代測算值β2計算得到，且有β1＝β2-Δθ1，β3＝β2＋Δθ2.

圖3給出了不等移動距離時，目標移動速度的相對計算誤差，θ1是觀測站的起始測向角.

圖3 目標移動速度的相對計算誤差

5.2 目標的移動時差

利用徑向距離間的比值關系，由自時差方程可得到如下的二元一次方程：

在消去徑向距離r2之后，可解得目標的移動時間，其相對計算誤差如圖4所示.

圖4 目標移動時差的相對計算誤差

5.3 目標的距離

事實上，在解得目標的速度和移動時間差之后，直接利用正弦定理即可求得目標的徑向距離，即有

另由自時差方程，從式（34）可求解得到徑向距離

圖5給出了徑向距離r2的相對計算誤差.

圖5 徑向距離的相對計算誤差

由上述的模擬計算結果可知，在假定目標為勻速直線運動的情況下，按二維平面幾何關系和自時差方程所得到線性方程對目標的移動速度、移動時間以及距離的計算都是相當準確的.

6 結 論

由于僅考慮了距離與速度之間的關系，故原有的純方位目標運動分析的研究歷史似乎是十分復雜而又艱難的.已有的研究表明，利用距離-速度關系條件，需在推導過程中限定相鄰的移動時間差或移動距離差相等，則目標與觀測站之間的距離才能夠被解析求解［7］，但這種附加條件極大地限制了工程可應用性.

與僅基于距離與速度之間關系的傳統分析方法相比，本文通過引入自時差測量方程，并充分利用簡單的平面幾何關系，能對相鄰移動距離不等的一般情況，完整地給出了固定單站純方位無源定位的解析計算公式，且通過一次迭代計算，即能消除計算過程中所存有的病態特性，獲得準確的計算結果.所提出的新方法突破了現有的固定單站純方位無源探測僅能獲得目標航向，以及速度與初始距離比值的局限性.但由于目前所建立的自時差測量方程僅是一個和目標勻速運動參量相關的線性方程，并且需要連續多次觀測時差，故本文所提出的方法僅適用于分析在短時間內可近似看作是直線勻速運動的目標.

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