求解多尺度目標(biāo)電磁散射的積分方程快速算法

鄭宇騰 趙延文 賈苗苗 蔡強(qiáng)明 聶在平

（電子科技大學(xué)電子工程學(xué)院，四川 成都611731）

引 言

基于頻域表面電場積分方程（Electric Field Integral Equation，EFIE）的矩量法可用于許多電磁問題的求解.然而由于傳統(tǒng)矩量法的計(jì)算復(fù)雜度高，對(duì)于大未知量問題需要采用快速算法以降低計(jì)算復(fù)雜度.多層快速卡特森展開算法（Multilevel Accelerated Cartesian Expansion Algorithm，MLACEA）［1］是一種更適合于模擬電小尺寸目標(biāo)電磁散射／輻射問題的快速算法.該算法與多層快速多極子算法（Multilevel Fast Multipole Algorithm，MLFMA）［2-4］相似，采用了基于八叉樹結(jié)構(gòu)對(duì)基函數(shù)進(jìn)行分組，將矩矢相乘分解為聚合、轉(zhuǎn)移、配置的三個(gè)過程以降低計(jì)算復(fù)雜度；而不同之處在于采用了卡特森張量來展開格林函數(shù)［5-6］.卡特森張量展開是三元函數(shù)泰勒展開的張量表達(dá)形式，適用于小宗量的函數(shù)展開，并可通過調(diào)整張量的階數(shù)來控制展開精度.對(duì)于電大目標(biāo)的電磁問題，由于格林函數(shù)的宗量較大該方法無法求解.

另一方面，在傳統(tǒng)的MLFMA算法中，對(duì)于含有精細(xì)結(jié)構(gòu)的電大目標(biāo)的電磁散射／輻射問題，為避免快速算法的低頻不穩(wěn)定現(xiàn)象［7］，MLFMA算法的最細(xì)層分組大小一般要求不能小于0.25個(gè)波長.這樣，在目標(biāo)被精細(xì)剖分（如低頻問題或具有精細(xì)結(jié)構(gòu)）的情況下，MLFMA算法的單個(gè)分組內(nèi)未知量數(shù)目會(huì)顯著上升、導(dǎo)致計(jì)算量及內(nèi)存開銷增大.因而，若采用MLFMA算法與MLACEA算法的混合算法可大幅度降低求解多尺度問題的計(jì)算復(fù)雜度［8］.

1 多層快速卡特森展開算法

假設(shè)S為位于均勻背景介質(zhì)（通常選取為自由空間）中的理想導(dǎo)體表面，入射電場為Einc（r）.利用導(dǎo)體表面上切向電場所滿足的邊界條件，可得到理想導(dǎo)體表面S上感應(yīng)電流J（r）所滿足的混合位電場積分方程，

而標(biāo)量格林函數(shù)G（r，r′）為

式中

為了降低電場積分方程矩量法的計(jì)算復(fù)雜度，可采用MLACEA及其與MLFMA的混合算法MLACEA-MLFMA算法，該算法基于八叉樹結(jié)構(gòu)對(duì)目標(biāo)進(jìn)行多層遞推分組.最細(xì)層分組盒子邊長可按照實(shí)際需求（如最細(xì)層分組內(nèi)的平均未知量數(shù)目等）設(shè)置，算法不會(huì)出現(xiàn)低頻不穩(wěn)定問題，更適合于求解包括含精細(xì)結(jié)構(gòu)的多尺度目標(biāo)電磁散射／輻射問題.

利用卡特森張量可將任意標(biāo)量函數(shù)ψ（r-r′）展開為

式中，▽（q）表示關(guān)于r的q次復(fù)合梯度算子，它將所作用的標(biāo)量函數(shù)映射成為一個(gè)q階張量函數(shù).而A（p＋q）·q·B（q）則表示張量A（p＋q）與張量B（q）之間的張量壓縮運(yùn)算，張量r′（q）以及張量▽（q）G（r，r′）均為完全對(duì)稱張量.

式中，Anear、Φnear和Afar、Φfar分別表示對(duì)應(yīng)于標(biāo)量位和矢量位的近區(qū)及遠(yuǎn)區(qū)場源組對(duì)之間的阻抗矩陣.利用（9）可以將遠(yuǎn)區(qū)場源組對(duì)對(duì)矩陣與矢量乘積的貢獻(xiàn)）表示為

而標(biāo)量位對(duì)應(yīng)的聚合因子、配置因子及聚合量分別為

2 MLACEA-MLFMA混合算法

在MLFMA算法中，遠(yuǎn)區(qū)組作用對(duì)矩矢相乘的貢獻(xiàn)Vfar可以表示為

而快速多極子的配置因子

設(shè)映射張量Tmap（p·R）為，

在此基礎(chǔ)上再結(jié)合MLFMA的遞推公式（21）～（22），即可構(gòu)建完整的MLACEA-MLFMA混合算法.

3 數(shù)值計(jì)算結(jié)果

通過數(shù)值算例來對(duì)比分析混合算法的精度與計(jì)算效率.計(jì)算平臺(tái)采用Intel Core-i5處理器，主頻3.0GHz，內(nèi)存8GB，采用單精度浮點(diǎn)數(shù)計(jì)算.在以下各例子中，矩陣方程均采用收斂門限為0.01的廣義最小殘差迭代法求解.

第一個(gè)實(shí)例為半徑為1.5個(gè)波長的理想導(dǎo)體球，基函數(shù)總數(shù)為12.8萬.入射波沿＋z方向傳播、電場極化沿x軸方向.采用3層的MLFMA算法、而MLACEA-MLFMA混合算法則是在MLFMA算法基礎(chǔ)上再細(xì)分一層，且MLACEA算法采用4階卡特森張量展開.表1對(duì)比了MLFMA算法和MLACEA-MLFMA混合算法的計(jì)算復(fù)雜度，圖1對(duì)比分析了MLFMA算法和MLACEA-MLFMA混合算法所計(jì)算的雙站雷達(dá)散射截面積.由表1和圖1可以看出，與單獨(dú)采用MLFMA算法相比，混合算法顯著地降低了內(nèi)存需求，加快了附近組的阻抗矩陣填充和矩陣與矢量乘積的計(jì)算速度.

表1 MLFMA與MLACEA-MLFMA的計(jì)算復(fù)雜度對(duì)比

圖1 兩種方法計(jì)算理想導(dǎo)體球雙站雷達(dá)散射截面積結(jié)果對(duì)比

第二個(gè)例子結(jié)合實(shí)際應(yīng)用，以載體天線陣列一體化模型的散射計(jì)算作為實(shí)例.載體及天線單元尺寸如圖2所示，天線陣列為8×8的Vivaldi天線陣.由于天線陣列較載體的復(fù)雜程度高，因而在剖分時(shí)對(duì)載體采用邊長約為0.125稀疏網(wǎng)格剖分出11 722個(gè)三角單元，而對(duì)天線以邊長約為0.025λ的高密度網(wǎng)格剖分出21 750個(gè)三角單元，總未知量為48 963.平面波傳播方向平行于xoz面，與＋z軸夾角θ＝135°，電場極化沿y軸方向.從表2統(tǒng)計(jì)的計(jì)算開銷對(duì)比可以看出，MLACEA-MLFMA通過細(xì)分底層盒子，減少了近區(qū)組元素，因而在近區(qū)組阻抗矩陣的計(jì)算時(shí)間與總內(nèi)存消耗上都遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于MLFMA方法.另外，對(duì)比前一算例可以看出，多尺度網(wǎng)格對(duì)近區(qū)組計(jì)算時(shí)間及內(nèi)存開銷的影響相當(dāng)劇烈.圖3的雙站雷達(dá)散射截面積對(duì)比可以反應(yīng)出，混合形式的快速算法在計(jì)算實(shí)際工程問題時(shí)依然能夠具有與MLFMA方法相當(dāng)?shù)挠?jì)算精度.并且為提高矩陣矢量相乘的計(jì)算效率，該算例雖僅采用了3階的卡特森張量展開，但依然能保證計(jì)算結(jié)果的準(zhǔn)確性.

圖2 車載天線陣列模型示意圖

表2 MLFMA與MLACEA-MLFMA的計(jì)算復(fù)雜度對(duì)比

圖3 兩種方法計(jì)算車載天線陣列模型雙站雷達(dá)散射截面積結(jié)果對(duì)比

4 結(jié) 論

詳細(xì)闡述了多層快速卡特森展開算法（MLACEA）及其與多層快速多級(jí)子算法（MLFMA）的混合算法MLACEA-MLFMA.MLACEA算法大幅度降低了精細(xì)剖分網(wǎng)格條件下積分方程矩量法的計(jì)算復(fù)雜度；而MLACEA-MLFMA混合算法能夠更高效地模擬含精細(xì)結(jié)構(gòu)的電大尺寸目標(biāo)（寬帶）電磁散射及輻射問題.

［1］HANKER B，and Huang H.Accelerated Cartesian expansions-a fast method for computing of potential of the form r-νfor all realν［J］.Journal of Computational Physics，2007，226（1）：732-753.

［2］SONG J，LU C and CHEW W C.Multilevel fast multipole algorithm for electromagnetic scattering by large complex objects［J］.IEEE Transaction on Antenna and Propagation，1997，45（10）：1488-1493.

［3］胡 俊，聶在平，王 軍，等.三維電大目標(biāo)散射求解的多層快速多極子方法［J］.電波科學(xué)學(xué)報(bào)，2004，19（5）：509-514.HU Jun，NIE Zaiping，WANG Jun，et al.Multilevel fast multipole algorithmfor solving scattering from 3 D electrically large object［J］.Chinese Journal of Radio Science，2004，19（5）：509-514.（in Chinese）

［4］潘小敏，盛新慶.電特大復(fù)雜目標(biāo)電磁特性的高效精確并行計(jì)算［J］.電波科學(xué)學(xué)報(bào)，2008，23（5）：888-893.PAN Xiaomin，SHENG Xinqing.Efficient and accurate parallel computation of electromagnetic scattering by extremely large targets［J］.Chinese Journal of Radio Science，2008，23（5）：888-893.（in Chinese）

［5］APPLEQUIST J.Cartesian polytensors［J］.Journal of Mathmatic and Physics，1983，24（4）：736-742.

［6］APPLEQUIST J.Traceless cartesian tensor forms for spherical harmonic functions：new theorems and applications to electrostatics of dielectric media［J］.J Phys A：Math Gen，1989，22（20）：4303-4330.

［7］ZHAO J S，CHEW W C.Applying LF-MLFMA to solve complex PEC structures［J］，Microwave and Optical Technology Letters，2001，28（3）：155-160.

［8］VIKRAM M，HUANG H，SHANKER B，et al.A novel wideband FMM for fast integral equation solution of multiscale problems in electromagnetics［J］.IEEE Transaction on Antenna and Propagation，2009，57（7）：2094-2104.