基于Non—Fourier導熱模型的多芯片組件基板熱分析研究

李繼生+王勐+黃戰武

摘 要： 隨著電子產品的尺寸和重量日趨變小，經典Fourier理論已經不能很好地解決實際問題。為了使理論結果盡可能準確地反映實際情況，需要用到Non?Fourier導熱模型。首先，建立了三維多芯片組件的Fourier和Non?Fourier導熱模型；其次，采用有限差分方法求解相應模型的傳熱方程，得到了溫度分布和溫度響應；最后，使用有限元熱分析軟件ICEPAK建立了相應的熱分析模型并進行計算。實驗結果表明，與經典的Fourier模型相比，Non?Fourier模型更加接近實際溫度，且溫度場進入穩態的時間較長，熱耦合的現象也更強。

關鍵詞： 多芯片組件； Fourier； Non?Fourier； 有限差分法

中圖分類號： TN710?34； TP311 文獻標識碼： A 文章編號： 1004?373X（2014）03?0117?05

Thermal analysis and research of multi?chip component substrate

based on Non?Fourier thermal conductivity model

LI Ji?sheng 1， WANG Meng2， HUANG Zhan?wu2

（1. Shaanxi Changling Photovoltaic Electric Co.， Ltd.， Baoji 721006， China； 2. Institute of Electronic CAD， Xidian University， Xian 710071， China）

Abstract： With the reduction in size and weight of electronic products， classical Fourier theory can′t solve practical problems well. To make the theoretical results close to the fact， Non?Fourier model should be used. Firstly， the Fourier model and the Non?Fourier model for three?dimension multi?chip module （MCM） are built separately. Secondly， finite difference method （FDM） is used to solve the corresponding equation of heat transfer and get distribution and response of temperature. Finally， the relevant thermoanalysis model is built up by finite element analysis software of ICEPAK and calculated. The result shows that the temperature of Non?Fourier model is closer to the practical situation than classical Fourier model. The time is longer for temperature field to enter the stable state， and the thermo?coupled phenomenon is stronger.

Keywords： MCM； Fourier； Non?Fourier； FDM

0 引 言

隨著便攜式電子產品小型化、多功能化和環境保護的要求，片上系統（System on Chip，SoC）等高密度三維立體（3D）堆疊封裝技術得到了迅速發展，這種技術在減小芯片尺寸和實現緊密集成度等方面可以滿足目前電子行業的要求[1?2]。

現代電子技術迅猛發展，要求電子整機朝著短、小、輕、薄及高可靠、高速、高性能和低成本的方向發展[3]。熱失效是電子設備的主要失效形式，其失效率隨溫度增加將呈指數增長趨勢[4]。在設計階段，熱分析非常關鍵，通過其可以發現電子設備的熱缺陷[5?6]。

當前電子設備的集成度不斷提高，器件的特征尺寸也愈來愈小。當尺度（空間尺度和時間尺度）微細化后，將會出現傳熱的尺度效應，此時的傳熱情況與常規尺度下不同。對于多芯片組件，更多的使用經典Fourier理論去分析解決問題，但尺度微細化后的熱量傳播包含了不同于擴散的波動傳播機制，這是以經典Fourier定律為基礎而建立起來的瞬態傳導理論不能合理解釋的。但目前關于電子封裝的Non?Fourier效應研究較少，相關的數據資料也比較有限。本文嘗試以三維多芯片組件為模型，分別用Fourier和Non?Fourier分析方法研究其熱效應問題，并對實驗結果進行了分析對比。

1 多芯片組件導熱模型

1.1 多芯片組件模型

本文對三維多芯片組件進行分析，在直角坐標系中，建立如圖1所示的三維多芯片組件模型?；迥Ｐ统书L方體狀，其幾何尺寸為：[xa×yb×zc=70×70×5 mm3][Z=0]表面標有編號1～6的位置布置有6個芯片，在此忽略芯片的實際尺寸，只在基板表面有芯片的位置考慮有若干熱源的情況。在熱源位置內，熱源的熱耗散均勻分布，與坐標位置和時間均無關。

圖1 三維多芯片組件模型

1.2 熱傳導問題的Fourier分析

在《熱的分析理論》中[7]，法國科學家約瑟夫·傅里葉（Joseph Fourier）結合實驗觀察，闡述了把溫度梯度和熱流聯系起來的基本定律：對于均勻的各向同性固體，傅里葉定律可表示為：

[q（r，t）=-k?T（r，t）] （1）

式中：熱流密度[q（r，t）]表示單位等溫面上，在溫度降低方向上單位時間內的熱流量（單位：W·m2），[k]為材料的導熱系數（單位：W/（m·℃）），[T（r，t）]為溫度分布（單位：℃）。由于[q（r，t）]指向溫度降低方向，式（1）中的負號就使熱流量成為一個正的量。在直角坐標系中，式（1）被改寫為：

[q（x，y，z，t）=-ik?T?x-jk?T?y-kk?T?z] （2）

式中[i，j，k]分別為沿[x，y，z]方向的單位向量。

對一個很小的控制體[V]建立熱量平衡方程，可描述如下[8]：

[單位時間內通過V的邊界進入的熱量+單位時間內V內產生的熱量=單位時間內V內能量的累積]

對于上式中的每一項，以其各自表達式表示，可得式（3）：

[-Aq?ndA+-Vg（r，t）dV=-VρCp?T（r，t）?tdV] （3）

對式（3）進行轉化，可得靜止均勻物體內含有熱源的各向同性物質的熱傳導方程，即：

[?[k?T（r，t）]+g（r，t）=ρCp?T（r，t）?t] （4）

1.3 熱傳導問題的Non?Fourier分析

隨著工程技術的快速發展，熱傳導領域的瞬態過程日益受到人們的重視[9?10]。對于穩定溫度分布的無限大介質，突然出現的熱擾動會對介質的穩定狀態造成破壞，歷經松弛過程之后，介質將處于新的穩定狀態。在溫度場的重建過程中，松弛時間以[τ0]表示，熱量傳播速度以[Ch]表示，從熱擾動的所在點算起，熱量傳播深度為[δh=Chτ0。]由于熱擴散率的量綱m2/s=（m/s）·m，因此可得[δh=αCh，]則熱量傳播速度的表達式（以松弛時間和熱擴散率表示）如下：

[Ch=ατ0=kρCτ0] （5）

修正經典的Fourier定律，可得：

[q=-kgradt-τ0?q?t] （6）

其中，[?q?t]為在溫度梯度截面上熱流密度對時間的變化率，[τ0?q?t]為松弛時間間隔內截面上熱流密度的改變量。

當熱量傳播速度為有限值時，整理后的熱傳導微分方程如下：

[τ0?2T?t2+?T?t-τ0ρC?Q?t=α?2T?x2+?2T?y2+?2T?z2+QρC] （7）

若內熱源[Q]與時間無關，式（7）可簡化為：

[τ0?2T?t2+?T?t=α?2T?x2+?2T?y2+?2T?z2+QρC] （8）

2 Non?Fourier差分方程的求解

相比于Fourier導熱微分方程，Non?Fourier導熱微分方程的求解更為困難。對于Non?Fourier導熱微分方程，仍然使用交替方向隱式法，得到如下差分格式：

3 溫度場計算及結果

首先建立Fourier和Non?Fourier導熱微分方程相應的差分格式，然后通過求解得到的關于網格節點溫度的方程組，即可求得所有節點溫度值。

圖2分別是Fourier和Non?Fourier分析中，頂面最高溫度隨時間變化的溫度曲線圖。在開始的100 s內，Fourier和Non?Fourier分析對應的頂面最高溫度上升趨勢相當。100 s以后，Fourier分析對應的溫度上升速度逐步放緩，并迅速進入到溫度場穩定狀態，在600 s后穩定在大約70 ℃。Non?Fourier分析對應的溫度曲線則比較陡峭，在100 s之后溫度上升的速度仍然比較快，在1 200 s左右才開始逐漸進入溫度場的穩定狀態，穩定之后溫度大約為105 ℃。在整個過程中，Non?Fourier分析對應的頂面最高溫度要高于Fourier分析，兩種分析相應的溫度差也不斷增大。Fourier分析可以看成Non?Fourier分析的特殊情況，即松弛時間為零的情況，在相同條件下，其頂面最高溫度的相應曲線落在圖2兩條曲線之間。

圖2 頂面最高溫度曲線圖

圖3為頂面溫度場的相應最大溫度差隨時間變化的曲線圖。短暫的時間過后，兩種分析的最大溫度差都迅速穩定下來，遠快于整個溫度場達到穩定狀態所用的時間。相比于Fourier分析， Non?Fourier分析的最大溫度差達到穩定所需的時間要略長一些。

圖2和圖3出現的這些差別，是由于Fourier分析以熱量傳播速度無限大為前提，同時熱量被整個物體的全部質點不同程度地吸收；而Non?Fourier分析考慮了熱量的傳播速度，進入某一截面的熱流一部分以熱傳導的方式向物體內部傳導，而另一部分用在了該截面分子松弛過程所導致的熱量改變。

圖3 頂面最大溫差曲線圖

應用有限元熱分析軟件Icepak建立三維多芯片組件模型，如圖4所示。

圖4 Icepak模型圖

由圖4可知，軟件仿真和通過計算所得的溫度場分布大致相同，但Non?Fourier模型更加接近。

分析在某些關鍵點和路徑上的溫度分布狀況，在基板上選取下述關鍵點和路徑。

路徑1：[y=21，z=0，x∈（0，70）]

路徑2：[y=35，z=0，x∈（0，70）]

路徑3：[y=56，z=0，x∈（0，70）]

路徑4：[x=42，y=42，z∈（0，5）]

路徑5：[x=21，y=21，z∈（0，5）]

路徑6：[x=14，y=56，z∈（0，5）]

路徑7：[x=y，z=0，x∈（0，70），y∈（0，70）]

路徑8：[x=70-y，z=0，x∈（0，70），y∈（0，70）]

圖5分別為在Fourier和Non?Fourier分析兩種情況下，沿[x]方向路徑1、2、3的溫度曲線圖。由圖5可知，除溫度值不同，及熱源6位置與其附近區域的溫度值在曲線上略有不同外，兩種分析情況中的路徑曲線走勢基本是一致的。

圖5 路徑1、2、3的溫度曲線圖（1 300 s）

圖6分別為在Fourier分析和Non?Fourier分析兩種情況下，沿[z]方向路徑4、5、6的溫度曲線圖。由圖6可知，這三條路徑上的溫度從頂面到底面逐漸降低，且溫度變化不大，變化規律基本一致。這是因為沿[z]方向的尺寸很小，并且僅有底面對外傳熱。

圖7的路徑7、8是頂面上的兩條對角線。路徑8的溫度曲線左右對稱，越靠近路徑8的中點，溫度越高。整個溫度場的分布關于路徑7對稱。這是因為基板表面布置的熱源在也是以路徑7為對稱軸對稱分布的，而且發熱量在對稱軸附近是最大的。因而熱源的分布狀況對溫度場的影響很大，所以基板上芯片與其他熱源的位置分布就顯得尤為重要，要盡量分散熱源，避免過于集中而導致局部溫度過高。

圖6 路徑4、5、6的溫度曲線圖（1 300 s）

圖7 路徑7、8的溫度曲線圖（1 300 s）

路徑7貫穿熱源1和熱源6所在的位置，Fourier分析中路徑8的溫度曲線中部比Non?Fourier分析的曲線變化更為劇烈，Fourier分析中曲線的向上凸起程度不及Non?Fourier分析。同時，與熱源位置處的溫度相比，熱源1和6之間相同區域的溫度都比較低，而Non?Fourier分析中沒有出現這一情況。

由此可見，Non?Fourier分析中的熱耦合現象明顯強于Fourier分析。

對溫度場進行分析可得，使用Fourier分析和Non?Fourier分析得到的結果存在著很多差異。Non?Fourier導熱模型的溫度上升速度快于Fourier分析，溫度曲線比Fourier導熱模型的更為陡峭，進入穩定狀態的時間遠遲于Fourier分析且進入穩定狀態后溫度值較高，Non?Fourier模型的溫度場最大溫差要大于Fourier模型，熱耦合現象也較強。

4 結 語

本文分別建立了Fourier分析和Non?Fourier分析導熱微分方程的有限差分格式，通過求解相應代數方程組，得到兩種分析情況下的溫度場分布；分析比較了使用Fourier和Non?Fourier分析對基板溫度場分布所產生的不同影響，并在熱分析軟件Icepak中對模型進行了驗證。由于對Non?Fourier分析的數學處理相對比較困難，本文研究的是相對簡單的基板模型，沒有考慮芯片與基板的連接、芯片的體積、以及基板上的布線結構等問題，與多芯片組件結構的實際情況有一定的區別，還有待進一步改進。

參考文獻

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路徑2：[y=35，z=0，x∈（0，70）]

路徑3：[y=56，z=0，x∈（0，70）]

路徑4：[x=42，y=42，z∈（0，5）]

路徑5：[x=21，y=21，z∈（0，5）]

路徑6：[x=14，y=56，z∈（0，5）]

路徑7：[x=y，z=0，x∈（0，70），y∈（0，70）]

路徑8：[x=70-y，z=0，x∈（0，70），y∈（0，70）]

圖5分別為在Fourier和Non?Fourier分析兩種情況下，沿[x]方向路徑1、2、3的溫度曲線圖。由圖5可知，除溫度值不同，及熱源6位置與其附近區域的溫度值在曲線上略有不同外，兩種分析情況中的路徑曲線走勢基本是一致的。

圖5 路徑1、2、3的溫度曲線圖（1 300 s）

圖6分別為在Fourier分析和Non?Fourier分析兩種情況下，沿[z]方向路徑4、5、6的溫度曲線圖。由圖6可知，這三條路徑上的溫度從頂面到底面逐漸降低，且溫度變化不大，變化規律基本一致。這是因為沿[z]方向的尺寸很小，并且僅有底面對外傳熱。

圖7的路徑7、8是頂面上的兩條對角線。路徑8的溫度曲線左右對稱，越靠近路徑8的中點，溫度越高。整個溫度場的分布關于路徑7對稱。這是因為基板表面布置的熱源在也是以路徑7為對稱軸對稱分布的，而且發熱量在對稱軸附近是最大的。因而熱源的分布狀況對溫度場的影響很大，所以基板上芯片與其他熱源的位置分布就顯得尤為重要，要盡量分散熱源，避免過于集中而導致局部溫度過高。

圖6 路徑4、5、6的溫度曲線圖（1 300 s）

圖7 路徑7、8的溫度曲線圖（1 300 s）

路徑7貫穿熱源1和熱源6所在的位置，Fourier分析中路徑8的溫度曲線中部比Non?Fourier分析的曲線變化更為劇烈，Fourier分析中曲線的向上凸起程度不及Non?Fourier分析。同時，與熱源位置處的溫度相比，熱源1和6之間相同區域的溫度都比較低，而Non?Fourier分析中沒有出現這一情況。

由此可見，Non?Fourier分析中的熱耦合現象明顯強于Fourier分析。

對溫度場進行分析可得，使用Fourier分析和Non?Fourier分析得到的結果存在著很多差異。Non?Fourier導熱模型的溫度上升速度快于Fourier分析，溫度曲線比Fourier導熱模型的更為陡峭，進入穩定狀態的時間遠遲于Fourier分析且進入穩定狀態后溫度值較高，Non?Fourier模型的溫度場最大溫差要大于Fourier模型，熱耦合現象也較強。

4 結 語

本文分別建立了Fourier分析和Non?Fourier分析導熱微分方程的有限差分格式，通過求解相應代數方程組，得到兩種分析情況下的溫度場分布；分析比較了使用Fourier和Non?Fourier分析對基板溫度場分布所產生的不同影響，并在熱分析軟件Icepak中對模型進行了驗證。由于對Non?Fourier分析的數學處理相對比較困難，本文研究的是相對簡單的基板模型，沒有考慮芯片與基板的連接、芯片的體積、以及基板上的布線結構等問題，與多芯片組件結構的實際情況有一定的區別，還有待進一步改進。

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路徑3：[y=56，z=0，x∈（0，70）]

路徑4：[x=42，y=42，z∈（0，5）]

路徑5：[x=21，y=21，z∈（0，5）]

路徑6：[x=14，y=56，z∈（0，5）]

路徑7：[x=y，z=0，x∈（0，70），y∈（0，70）]

路徑8：[x=70-y，z=0，x∈（0，70），y∈（0，70）]

圖5分別為在Fourier和Non?Fourier分析兩種情況下，沿[x]方向路徑1、2、3的溫度曲線圖。由圖5可知，除溫度值不同，及熱源6位置與其附近區域的溫度值在曲線上略有不同外，兩種分析情況中的路徑曲線走勢基本是一致的。

圖5 路徑1、2、3的溫度曲線圖（1 300 s）

圖6分別為在Fourier分析和Non?Fourier分析兩種情況下，沿[z]方向路徑4、5、6的溫度曲線圖。由圖6可知，這三條路徑上的溫度從頂面到底面逐漸降低，且溫度變化不大，變化規律基本一致。這是因為沿[z]方向的尺寸很小，并且僅有底面對外傳熱。

圖7的路徑7、8是頂面上的兩條對角線。路徑8的溫度曲線左右對稱，越靠近路徑8的中點，溫度越高。整個溫度場的分布關于路徑7對稱。這是因為基板表面布置的熱源在也是以路徑7為對稱軸對稱分布的，而且發熱量在對稱軸附近是最大的。因而熱源的分布狀況對溫度場的影響很大，所以基板上芯片與其他熱源的位置分布就顯得尤為重要，要盡量分散熱源，避免過于集中而導致局部溫度過高。

圖6 路徑4、5、6的溫度曲線圖（1 300 s）

圖7 路徑7、8的溫度曲線圖（1 300 s）

路徑7貫穿熱源1和熱源6所在的位置，Fourier分析中路徑8的溫度曲線中部比Non?Fourier分析的曲線變化更為劇烈，Fourier分析中曲線的向上凸起程度不及Non?Fourier分析。同時，與熱源位置處的溫度相比，熱源1和6之間相同區域的溫度都比較低，而Non?Fourier分析中沒有出現這一情況。

由此可見，Non?Fourier分析中的熱耦合現象明顯強于Fourier分析。

對溫度場進行分析可得，使用Fourier分析和Non?Fourier分析得到的結果存在著很多差異。Non?Fourier導熱模型的溫度上升速度快于Fourier分析，溫度曲線比Fourier導熱模型的更為陡峭，進入穩定狀態的時間遠遲于Fourier分析且進入穩定狀態后溫度值較高，Non?Fourier模型的溫度場最大溫差要大于Fourier模型，熱耦合現象也較強。

4 結 語

本文分別建立了Fourier分析和Non?Fourier分析導熱微分方程的有限差分格式，通過求解相應代數方程組，得到兩種分析情況下的溫度場分布；分析比較了使用Fourier和Non?Fourier分析對基板溫度場分布所產生的不同影響，并在熱分析軟件Icepak中對模型進行了驗證。由于對Non?Fourier分析的數學處理相對比較困難，本文研究的是相對簡單的基板模型，沒有考慮芯片與基板的連接、芯片的體積、以及基板上的布線結構等問題，與多芯片組件結構的實際情況有一定的區別，還有待進一步改進。

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