基于集員濾波的寬帶有源噪聲控制算法

王海燕

摘 要： 子帶結(jié)構(gòu)是提高寬帶噪聲控制的有效方法，歸一化子帶自適應(yīng)濾波（NSAF）結(jié)構(gòu)消除了傳統(tǒng)子帶結(jié)構(gòu)在輸出端產(chǎn)生混疊分量的問(wèn)題，但由于在每個(gè)子帶上采用相同的全帶自適應(yīng)濾波器，使得計(jì)算量高于傳統(tǒng)子帶結(jié)構(gòu)，集員濾波（SMF）技術(shù)具有數(shù)據(jù)選擇更新的特點(diǎn)，可有效降低計(jì)算量，且在收斂速度和穩(wěn)態(tài)均方誤差之間具有較好的折中性。在此引入集員濾波技術(shù)，建立基于NSAF結(jié)構(gòu)的無(wú)延遲前饋有源噪聲控制系統(tǒng)，降低計(jì)算量，最后仿真驗(yàn)證了該算法對(duì)寬帶噪聲具有更優(yōu)的降噪效果。

關(guān)鍵詞： 寬帶有源噪聲控制； 集員濾波； 歸一化子帶自適應(yīng)濾波； 計(jì)算量

中圖分類號(hào)： TN957.51?34 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼： A 文章編號(hào)： 1004?373X（2014）03?0065?04

Broadband active noise control algorithm based on set?membership filtering

WANG Hai?yan

（Huaiyin Institute of Technology， Huaian 223003， China）

Abstract： Sub?band is an effective method to improve wideband noise control. The normalized sub?band adaptive filter （NSAF） can eliminate aliasing components in the output end of the traditional sub?band. For using the same full band adaptive filter in each sub?band makes the computation higher than traditional sub?band architecture， but the set?membership filter （SMF） technology can not only effectively reduce the computation due to its characteristic of data?selective update， but also more eclectic in convergence rate and steady?state mean square error， so the SMF technology is introduced to establish the no delay feedforward ANC system based on the NSAF， and reduce the computation. At last it is simulated and proved that the algorithm has better noise reduction effect for broadband noise.

Keywords： broadband active noise control； set?membership filter； normalized sub?band adaptive filter； computation

0 引 言

有源噪聲控制（ANC）利用聲波疊加原理[1]，通過(guò)次級(jí)聲源產(chǎn)生一個(gè)與初級(jí)噪聲幅度相同相位相反的聲波，從而達(dá)到降噪的目的。Widrow等提出的濾波?XLMS算法（FXLMS）[2]在有源噪聲控制中應(yīng)用最為廣泛，它是考慮到誤差通道的影響而對(duì)LMS算法的推廣，這兩種算法都是在均方誤差準(zhǔn)則下得到，因此算法收斂速度慢，對(duì)寬帶噪聲降噪效果差。為此人們根據(jù)寬帶噪聲頻譜特性，提出了子帶自適應(yīng)濾波結(jié)構(gòu)。傳統(tǒng)的子帶自適應(yīng)濾波結(jié)構(gòu)[3?4]是將全帶自適應(yīng)濾波器分割到各個(gè)子帶上分別處理，每個(gè)子帶單獨(dú)使用一個(gè)自適應(yīng)子濾波器，這種子帶結(jié)構(gòu)會(huì)在自適應(yīng)濾波器的輸出端產(chǎn)生混疊分量，從而使得傳統(tǒng)子帶自適應(yīng)濾波器具有較高的穩(wěn)態(tài)均方誤差。為了解決這一問(wèn)題，Lee和Gan提出了一種新的歸一化子帶自適應(yīng)濾波（Normalized Subband Adaptive Filtering，NSAF）[5?6]結(jié)構(gòu)則不再存在混疊分量問(wèn)題，在NSAF結(jié)構(gòu)中，通過(guò)在每個(gè)子帶上使用相同的全帶自適應(yīng)濾波器，并使用一組約束條件來(lái)更新權(quán)系數(shù)，因此它具有較低的相關(guān)性和最小的擾動(dòng)性，具有較好的收斂性能。在計(jì)算量方面，由于采用了嚴(yán)格采樣，與NLMS算法的計(jì)算量相當(dāng)，但高于傳統(tǒng)子帶結(jié)構(gòu)。而Lee和Gan的算法中采用了定步長(zhǎng)，在收斂速度和穩(wěn)態(tài)均方誤差之間同樣存在折中的問(wèn)題，所以人們?cè)谑諗克俣取⒎€(wěn)態(tài)均方誤差、計(jì)算量三方面進(jìn)行了一系列的改進(jìn)[7?8]。其中文獻(xiàn)[9]將集員歸一化算法[10]（SM?NLMS）擴(kuò)展到NSAF結(jié)構(gòu)中提出SM?NSAF算法，動(dòng)態(tài)的在收斂速度和穩(wěn)態(tài)均方誤差之間進(jìn)行折中，并且通過(guò)數(shù)據(jù)選擇更新降低了計(jì)算量。

本文針對(duì)寬帶噪聲，建立了基于NSAF結(jié)構(gòu)的無(wú)延遲前饋ANC系統(tǒng)，將SM?NSAF算法擴(kuò)展到FXLMS算法中，通過(guò)仿真實(shí)現(xiàn)了對(duì)寬帶噪聲的控制，驗(yàn)證了該結(jié)構(gòu)算法的性能。

1 SM?NSAF算法

1.1 NSAF算法

歸一化子帶自適應(yīng)濾波器（NSAF）結(jié)構(gòu)如圖1所示，其中[H0（z），H1（z），…，HN-1（z）]是一組[N]帶具有正交性的嚴(yán)格采樣余弦調(diào)制濾波器組，[ui（n）]和[di（n）]為子帶參考信號(hào)和期望信號(hào)，[ui（n）]通過(guò)自適應(yīng)濾波器[W（k，z）]生成子帶輸出信號(hào)[yi（n）]，對(duì)[di（n）]和[yi（n）]進(jìn)行[N]倍抽取生成子帶抽取信號(hào)[di，D（k）]和[yi，D（k）]，注意這里用[n]表示抽取前的因子，[k]表示抽取后的因子。

圖1 NSAF結(jié)構(gòu)

自適應(yīng)濾波器第[i]個(gè)子帶的輸出信號(hào)為：

[yi，D（k）=m=0M-1ui（kN-m）wm（k）=uTi（k）W（k）] （1）

式中：[W（k）]為自適應(yīng)濾波器[W（k，z）]在[n=kN]時(shí)刻的系數(shù)向量，長(zhǎng)度為[M]，且

[W（k）=[w0（k），w1（k），…，wM-1（k）]Tui（k）=[ui（kN），ui（kN-1），…，ui（kN-M+1）]T]

第[i]個(gè)子帶誤差信號(hào)為：

[ei，D（k）=di，D（k）-yi，D（k）] （2）

Lee和Gan基于最小擾動(dòng)原理提出如下最優(yōu)約束方法推導(dǎo)NSAF算法[5]：

[min f[W（k+1）]=W（k+1）-W（k）2] （3）

[s.t.di，D（k）=uTi（k）W（k+1）， i=0，1，2，…，N-1] （4）

利用拉格朗日乘子法求解上述受約束最優(yōu)化模型，得：

[W（k+1）=W（k）+U（k）[UT（k）U（k）]-1eD（k）] （5）

其中：

[U（k）=[u0（k），u1（k），…，uN-1（k）]eD（k）=[e0，D（k），e1，D（k），…，eN-1，D（k）]]

利用余弦調(diào)制濾波器組的正交性[11]，有如下對(duì)角化，假設(shè)：

[UT（k）U（k）=diagu0（k）2，u1（k）2，…，uN-1（k）2]

自適應(yīng)濾波器系數(shù)向量更新公式可以寫(xiě)成：

[W（k+1）=W（k）+μi=0N-1ui（k）δ+ui（k）2ei，D（k）] （6）

1.2 SM?NSAF算法

Gollamudi等將集員理論推廣到廣義的濾波問(wèn)題[10]，建立了隨機(jī)梯度算法的集員等價(jià)，即SM?NLMS 算法。文獻(xiàn)[9]將集員濾波的思想進(jìn)一步推廣到NSAF算法中，提出了具有數(shù)據(jù)選擇性變步長(zhǎng)更新的集員歸一化子帶自適應(yīng)濾波（SM?NSAF）算法。

在SM?NSAF算法中定義輸入?期望數(shù)據(jù)對(duì)的約束集為：

[W（k+1）∈（Ψk，0?Ψk，1?…?Ψk，N-1）Ψk，i=W∈RM：di，D（k）-uTi（k）Wγ] （7）

其中[γ]為噪聲界，一般選用測(cè)量噪聲[v（n）。]采用遞推算法解上述定界橢球集合，即在每個(gè)子帶中將[W（k）]正交投影到最近的[Ψk，i]邊界上，通過(guò)遞推求得最優(yōu)[W（k+1）。]

[W（k+1）=W（k）+i=0N-1αi（k）ui（k）δ+ui（k）2ei，D（k）] （8）

其中：

[αi（k）=1-γei，D（k）if ei，D（k）>γ0otherwise] （9）

上式可以表示為矩陣形式：

[W（k+1）=W（k）+U（k）[UT（k）U（k）]-1α（k）eD（k）] （10）

其中：[α（k）=diag（α0（k），α1（k），…，αN-1（k））]。

2 基于NSAF結(jié)構(gòu)的前饋ANC系統(tǒng)

基于NSAF結(jié)構(gòu)的前饋ANC系統(tǒng)如圖2所示，相較于圖1為了消除由分析綜合濾波器組所帶來(lái)的延遲，不再采用綜合濾波器組。[x（n）]為初級(jí)傳感器拾取的參考信號(hào)，[e（n）]為誤差傳感器拾取的誤差信號(hào)，[P（z）]為從初級(jí)傳感器到誤差傳感器之間的傳遞函數(shù)，稱之為初級(jí)通道；[S（z）]為從次級(jí)源到誤差傳感器之間的次級(jí)通道傳遞函數(shù)，稱之為次級(jí)通道；[S（z）]是次級(jí)通道[S（z）]的估計(jì)，[r（n）]為[x（n）]經(jīng)過(guò)[S（z）]后的濾波參考信號(hào)；實(shí)際應(yīng)用中一般無(wú)法得知[S（z）]和[d（n）]，可以用其估計(jì)模型[S（z）]和[d（n）]代替。

由上一節(jié)SM?NSAF算法擴(kuò)展到FXLMS算法中，濾波參考信號(hào)[ri（n）]代替原參考信號(hào)[ui（n）]，則權(quán)系數(shù)向量更新公式為：

[W（k+1）=W（k）+i=0N-1αi（k）ri（k）δ+ri（k）2ei，D（k）] （11）

[αi（k）=1-γei，D（k）if ei，D（k）>γ0otherwise] （12）

或：

[W（k+1）=W（k）+R（k）[RT（k）R（k）]-1α（k）eD（k）ri（k）=x（kN）?S（kN）*Hi（kN）ri（k）=[ri（kN），ri（kN-1），…，ri（kN-M+1）]TR（k）=[r0（k），r1（k），…，rN-1（k）]] （13）

其中，[γ]為噪聲界，選用系統(tǒng)在靜態(tài)時(shí)從誤差傳感器端獲得的測(cè)量噪聲[v（n）。]

圖2 基于NSAF前饋ANC系統(tǒng)

3 計(jì)算量分析

根據(jù)文獻(xiàn)[5]中，以每輸入一個(gè)全頻帶信號(hào)需要的乘法次數(shù)為指標(biāo)，NSAF算法需要的乘法次數(shù)為[3M+3NL，]與NLMS算法相比多[3NL]次，但由于在有源噪聲控制中[M?NL，]因此與NLMS算法計(jì)算復(fù)雜度相近。文中將SM?NSAF算法擴(kuò)展到FXLMS算法中，SM?NSAF算法權(quán)系數(shù)的更新由式（9）決定，計(jì)算量小于NSAF算法。

4 仿真分析

下面通過(guò)對(duì)寬帶噪聲的仿真驗(yàn)證算法性能。設(shè)初級(jí)通道[P（z）]和次級(jí)通道[S（z）]長(zhǎng)分別為512階和256階；使用2種具有不同相關(guān)性的寬帶信號(hào)作為輸入?yún)⒖夹盘?hào)，即寬帶高斯白噪聲和寬帶有色信號(hào)。其中寬帶有色信號(hào)是通過(guò)自回歸滑動(dòng)平均ARMA（2，2）模型得到，即將高斯白噪聲通過(guò)如下系統(tǒng)：

[T（z）=1+0.5z-1+0.81z-21-0.59z-1+0.4z-2]

系統(tǒng)噪聲[v（n）]是均值為零、方差為[σv2=0.000 1]的高斯白噪聲，且與輸入信號(hào)相互獨(dú)立。采用[N=16]個(gè)子帶的余弦調(diào)制濾波器組，自適應(yīng)濾波器長(zhǎng)度為[M=256，]所有學(xué)習(xí)曲線為100次獨(dú)立實(shí)驗(yàn)平均后的結(jié)果。文獻(xiàn)[12]討論了[γ]值的選取，這里選取[γ]為[σv]。

圖3比較了在寬帶高斯白噪聲情況下，選擇不同步長(zhǎng)時(shí)NSAF算法與SM?NSAF算法的性能。從圖3（a）中可以看出由于SM?NSAF可以在收斂過(guò)程中自動(dòng)調(diào)整步長(zhǎng)，比NSAF算法具有更好的收斂性和較小的失調(diào)量；而從圖3（b）中可以看出SM?NSAF算法可以達(dá)到更好的降噪效果；圖3（c）給出了在一次獨(dú)立迭代實(shí)驗(yàn)中選擇的子帶數(shù)目，可見(jiàn)大大減少了計(jì)算量，體現(xiàn)了SM?NSAF算法通過(guò)時(shí)間稀疏的數(shù)據(jù)選擇性更新來(lái)降低計(jì)算復(fù)雜度的性能。

圖3 NSAF與SM?NSAF算法比較（寬帶白噪聲）

圖4比較了在寬帶有色信號(hào)下，選擇不同步長(zhǎng)時(shí)NSAF算法與SM?NSAF算法的性能。同樣從3幅圖的比較中可以看出SM?NSAF比NSAF算法具有更好的收斂性和較小的失調(diào)量，可以達(dá)到較低的降噪效果，而在每次實(shí)驗(yàn)中選擇部分子帶進(jìn)行更新，大大降低了計(jì)算量。而從圖3和圖4的對(duì)比可以看出對(duì)有色信號(hào)具有更好的收斂性能，但需要用到較多的子帶，這和信號(hào)本身相關(guān)性有關(guān)。

圖4 NSAF與SM?NSAF算法比較ARMA（2，2）

最后圖5比較了本文算法與傳統(tǒng)Morgan算法的性能，通過(guò)觀察可以看出本文算法具有更快的收斂速度和更好的降噪效果。而且在本節(jié)算法中采用余弦調(diào)制濾波器組進(jìn)行子帶分解，產(chǎn)生的是實(shí)信號(hào)，更適合實(shí)際應(yīng)用實(shí)現(xiàn)。

5 結(jié) 語(yǔ)

本文針對(duì)寬帶噪聲，建立了基于NSAF結(jié)構(gòu)的無(wú)延遲前饋ANC系統(tǒng)，并引入集員濾波技術(shù)，將SM?NSAF算法擴(kuò)展到FXLMS算法中，利用集員濾波技術(shù)來(lái)減少計(jì)算量。仿真結(jié)果表明：由于采用集員濾波技術(shù)，對(duì)每個(gè)子帶上的數(shù)據(jù)都進(jìn)行了時(shí)間稀疏，大幅降低了計(jì)算量，同時(shí)在收斂速度和穩(wěn)態(tài)失調(diào)量之間也達(dá)到了很好的折中。而本文算法與傳統(tǒng)的無(wú)延遲子帶算法相比具有更快的收斂速度和更好的降噪效果，而且通過(guò)采用余弦調(diào)制濾波器組進(jìn)行子帶分解，產(chǎn)生實(shí)值信號(hào)，更適合實(shí)際應(yīng)用實(shí)現(xiàn)。

圖5 SM?NSAF算法與Morgan算法比較

參考文獻(xiàn)

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[T（z）=1+0.5z-1+0.81z-21-0.59z-1+0.4z-2]

系統(tǒng)噪聲[v（n）]是均值為零、方差為[σv2=0.000 1]的高斯白噪聲，且與輸入信號(hào)相互獨(dú)立。采用[N=16]個(gè)子帶的余弦調(diào)制濾波器組，自適應(yīng)濾波器長(zhǎng)度為[M=256，]所有學(xué)習(xí)曲線為100次獨(dú)立實(shí)驗(yàn)平均后的結(jié)果。文獻(xiàn)[12]討論了[γ]值的選取，這里選取[γ]為[σv]。

圖3比較了在寬帶高斯白噪聲情況下，選擇不同步長(zhǎng)時(shí)NSAF算法與SM?NSAF算法的性能。從圖3（a）中可以看出由于SM?NSAF可以在收斂過(guò)程中自動(dòng)調(diào)整步長(zhǎng)，比NSAF算法具有更好的收斂性和較小的失調(diào)量；而從圖3（b）中可以看出SM?NSAF算法可以達(dá)到更好的降噪效果；圖3（c）給出了在一次獨(dú)立迭代實(shí)驗(yàn)中選擇的子帶數(shù)目，可見(jiàn)大大減少了計(jì)算量，體現(xiàn)了SM?NSAF算法通過(guò)時(shí)間稀疏的數(shù)據(jù)選擇性更新來(lái)降低計(jì)算復(fù)雜度的性能。

圖3 NSAF與SM?NSAF算法比較（寬帶白噪聲）

圖4比較了在寬帶有色信號(hào)下，選擇不同步長(zhǎng)時(shí)NSAF算法與SM?NSAF算法的性能。同樣從3幅圖的比較中可以看出SM?NSAF比NSAF算法具有更好的收斂性和較小的失調(diào)量，可以達(dá)到較低的降噪效果，而在每次實(shí)驗(yàn)中選擇部分子帶進(jìn)行更新，大大降低了計(jì)算量。而從圖3和圖4的對(duì)比可以看出對(duì)有色信號(hào)具有更好的收斂性能，但需要用到較多的子帶，這和信號(hào)本身相關(guān)性有關(guān)。

圖4 NSAF與SM?NSAF算法比較ARMA（2，2）

最后圖5比較了本文算法與傳統(tǒng)Morgan算法的性能，通過(guò)觀察可以看出本文算法具有更快的收斂速度和更好的降噪效果。而且在本節(jié)算法中采用余弦調(diào)制濾波器組進(jìn)行子帶分解，產(chǎn)生的是實(shí)信號(hào)，更適合實(shí)際應(yīng)用實(shí)現(xiàn)。

5 結(jié) 語(yǔ)

本文針對(duì)寬帶噪聲，建立了基于NSAF結(jié)構(gòu)的無(wú)延遲前饋ANC系統(tǒng)，并引入集員濾波技術(shù)，將SM?NSAF算法擴(kuò)展到FXLMS算法中，利用集員濾波技術(shù)來(lái)減少計(jì)算量。仿真結(jié)果表明：由于采用集員濾波技術(shù)，對(duì)每個(gè)子帶上的數(shù)據(jù)都進(jìn)行了時(shí)間稀疏，大幅降低了計(jì)算量，同時(shí)在收斂速度和穩(wěn)態(tài)失調(diào)量之間也達(dá)到了很好的折中。而本文算法與傳統(tǒng)的無(wú)延遲子帶算法相比具有更快的收斂速度和更好的降噪效果，而且通過(guò)采用余弦調(diào)制濾波器組進(jìn)行子帶分解，產(chǎn)生實(shí)值信號(hào)，更適合實(shí)際應(yīng)用實(shí)現(xiàn)。

圖5 SM?NSAF算法與Morgan算法比較

參考文獻(xiàn)

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[T（z）=1+0.5z-1+0.81z-21-0.59z-1+0.4z-2]

系統(tǒng)噪聲[v（n）]是均值為零、方差為[σv2=0.000 1]的高斯白噪聲，且與輸入信號(hào)相互獨(dú)立。采用[N=16]個(gè)子帶的余弦調(diào)制濾波器組，自適應(yīng)濾波器長(zhǎng)度為[M=256，]所有學(xué)習(xí)曲線為100次獨(dú)立實(shí)驗(yàn)平均后的結(jié)果。文獻(xiàn)[12]討論了[γ]值的選取，這里選取[γ]為[σv]。

圖3比較了在寬帶高斯白噪聲情況下，選擇不同步長(zhǎng)時(shí)NSAF算法與SM?NSAF算法的性能。從圖3（a）中可以看出由于SM?NSAF可以在收斂過(guò)程中自動(dòng)調(diào)整步長(zhǎng)，比NSAF算法具有更好的收斂性和較小的失調(diào)量；而從圖3（b）中可以看出SM?NSAF算法可以達(dá)到更好的降噪效果；圖3（c）給出了在一次獨(dú)立迭代實(shí)驗(yàn)中選擇的子帶數(shù)目，可見(jiàn)大大減少了計(jì)算量，體現(xiàn)了SM?NSAF算法通過(guò)時(shí)間稀疏的數(shù)據(jù)選擇性更新來(lái)降低計(jì)算復(fù)雜度的性能。

圖3 NSAF與SM?NSAF算法比較（寬帶白噪聲）

圖4比較了在寬帶有色信號(hào)下，選擇不同步長(zhǎng)時(shí)NSAF算法與SM?NSAF算法的性能。同樣從3幅圖的比較中可以看出SM?NSAF比NSAF算法具有更好的收斂性和較小的失調(diào)量，可以達(dá)到較低的降噪效果，而在每次實(shí)驗(yàn)中選擇部分子帶進(jìn)行更新，大大降低了計(jì)算量。而從圖3和圖4的對(duì)比可以看出對(duì)有色信號(hào)具有更好的收斂性能，但需要用到較多的子帶，這和信號(hào)本身相關(guān)性有關(guān)。

圖4 NSAF與SM?NSAF算法比較ARMA（2，2）

最后圖5比較了本文算法與傳統(tǒng)Morgan算法的性能，通過(guò)觀察可以看出本文算法具有更快的收斂速度和更好的降噪效果。而且在本節(jié)算法中采用余弦調(diào)制濾波器組進(jìn)行子帶分解，產(chǎn)生的是實(shí)信號(hào)，更適合實(shí)際應(yīng)用實(shí)現(xiàn)。

5 結(jié) 語(yǔ)

本文針對(duì)寬帶噪聲，建立了基于NSAF結(jié)構(gòu)的無(wú)延遲前饋ANC系統(tǒng)，并引入集員濾波技術(shù)，將SM?NSAF算法擴(kuò)展到FXLMS算法中，利用集員濾波技術(shù)來(lái)減少計(jì)算量。仿真結(jié)果表明：由于采用集員濾波技術(shù)，對(duì)每個(gè)子帶上的數(shù)據(jù)都進(jìn)行了時(shí)間稀疏，大幅降低了計(jì)算量，同時(shí)在收斂速度和穩(wěn)態(tài)失調(diào)量之間也達(dá)到了很好的折中。而本文算法與傳統(tǒng)的無(wú)延遲子帶算法相比具有更快的收斂速度和更好的降噪效果，而且通過(guò)采用余弦調(diào)制濾波器組進(jìn)行子帶分解，產(chǎn)生實(shí)值信號(hào)，更適合實(shí)際應(yīng)用實(shí)現(xiàn)。

圖5 SM?NSAF算法與Morgan算法比較

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