多通道信號自校正分布式融合Kalman濾波器

劉文強+韓娜++顧澤元++陶貴麗

摘 要： 對帶未知參數的多傳感器多通道自回歸滑動平均（ARMA）信號，采用多維遞推輔助變量（MRIV）方法得到自回歸模型參數估值，通過Gevers?Wouters算法辨識滑動平均模型參數估值，再用相關方法得到噪聲方差的估值。把所有的估值都代入到最優分布式融合信息濾波器中得到自校正分布式融合Kalman信息濾波器。該濾波器具有漸近全局最優性，一個多通道信號仿真例子驗證了其有效性。

關鍵詞： 多通道ARMA信號； 多段辨識方法； 多重遞推輔助變量法； 信息濾波器

中圖分類號： TN911.7?34； O211.64 文獻標識碼： A 文章編號： 1004?373X（2014）03?0061?04

Kalman filter of self?tuning distributed fusion for multi?channel signal

LIU Wen?qiang， HAN Na， GU Ze?yuan， TAO Gui?li

（Heilongjiang University of Science and Technology， Harbin 150022， China）

Abstract： For multisensor and multi?channel autoregressive moving average （ARMA） signal with unknown parameters， its autoregressive model parameter estimators are obtained by multi?dimensional recursive instrumental variable algorithm. The moving average model parameter estimators are identified through Gevers?Wouters algorithm， and the noise variances estimators are obtained with the correlation method. All of the estimators are substitute into optimal distributed fusion information filter to obtain self?tuning distributed fusion Kalman information filter， which has asymptotic global optimality. The effectiveness is verified through a multi?channel signal simulation example.

Keywords： multi?channel ARMA signal； multi?stage identification method； multidimensional recursive auxiliary variable method； information filter

0 引 言

近年來，廣泛應用于很多高科技領域的多傳感器信息融合Kalman濾波理論已經引起特別的關注，它主要研究信息融合狀態估計問題或信號估計問題。最優信息融合Kalman濾波包括集中式融合和分布式融合方法。其中集中式融合是全局最優的，即集中式融合是把所有傳感器觀測方程合為一個高維數的觀測方程，但是此時系統的觀測方程維數有所增加，容錯性能差，計算負擔大。分布式融合有兩種方法：信息矩陣[1]和加權方差方法[2]，其中加權方差分布式融合方法是全局次優的，而基于信息矩陣的分布式融合同集中式融合，也能得到全局最優的狀態估計。對于最優信息融合Kalman信號濾波問題以往文獻有很多報道，但是，系統的模型參數和噪聲方差通常是完全或部分未知的。這種系統的濾波稱為自校正濾波[3]。文獻[4]針對單通道自回歸（AR）信號提出了自校正集中式濾波器，但未解決多通道信號辨識問題。文獻[5?6]對于多通道信號提出了自校正信息融合濾波器，但他們都不能解決自校正分布式信息濾波器問題。

為了克服以往文獻的局限性，本文針對多傳感器多通道ARMA信號，當模型參數和噪聲統計全部未知時，應用多段信息融合辨識方法，其中利用MRIV方法求得AR模型參數，用Gevers?Wouters算法辨識滑動平均（MA）模型參數，用相關方法得到噪聲方差融合估值器，把未知參數帶到最優分布式融合Kalman信息濾波器得到多通道信號自校正分布式Kalman信息濾波器，該濾波器是漸近全局最優的。

1 全局最優的最優分布式信息融合Kalman

信號濾波器

考慮多傳感器多通道ARMA信號：

[A（q-1）s（t）=C（q-1）w（t）] （1）

[yi（t）=s（t）+vi（t）， i=1，2，…，L] （2）

其中信號[s（t）∈Rm，]第[i]個傳感器的觀測[yi（t）∈Rm，][vi（t）∈][Rm]是觀測噪聲，[w（t）∈Rm]為輸入噪聲，[q-1]為單位滯后算子，[q-1s（t）=s（t-1）。][A（q-1）]與[C（q-1）]有形式[X（q-1）=X0+][X1q-1+…+Xnxq-nx，]其中[X0=Im，][Im]是[m×m]單位陣，[na]和[nc]分別是多項式[A（q-1）]和[C（q-1）]的階次，且[na=nc]。假設[（A（q-1），C（q-1））]左素，初始時刻[t0=-∞]。問題是當[Ai，][Ci，][Qw]和[Qvi]均未知時，求漸近全局最優自校正分布式融合信號濾波器[ss（t|t）]。

假設1 [w（t）∈Rm]和[vi（t）∈Rm]分別是零均值、方差陣為[Qw]和[Qvi]的獨立白噪聲。

假設2 各傳感器子系統是一致完全可觀和一致完全可控的。

令[w（t）=w（t-1），]則[w（t）]有方差[Qw。]ARMA信號式（1）能夠改寫為[A（q-1）s（t）=C（q-1）w（t），]其中：[C（q-1）=C0+][C1q-1+…+Cncq-nc， ][C0=0，Ci=Ci-1，i=1，2，…，nc，nc=nc+1。]

系統（1）和（2）有狀態空間模型：

[x（t+1）=Φx（t）+Γw（t）] （3）

[yi（t）=Hx（t）+vi（t）， i=1，2，…，L] （4）

[s（t）=Hx（t）] （5）

[Φ=-A1?Imna-Ana+10…0Γ=C1C2?Cnc+1H=Im0…0] （6）

其中[Aj=0（j>na），Cj=0（j>nc）]。集中式融合觀測方程為[y（t）=Η0x（t）+v（t），]定義[y（t）=yT1（t）…yTL（t）T，H0=][HT…HTT，][v（t）=vT1（t）…vTL（t）T，]融合觀測噪聲[v（t）]有方差[Qv=diagQv1…QvL。]

引理1[7] 多傳感器系統式（3）和式（4）有基于信息矩陣的局部Kalman濾波器：

[xi（t|t）=Ψi（t）xi（t-1|t-1）+Ki（t）yi（t）] （7）

[Ki（t）=Pi（t|t）HTQ-1vi] （8）

[Ψi（t）=Pi（t|t）Σ-1i（t|t-1）Φ] （9）

[P-1i（t|t）=Σ-1i（t|t-1）+HTQ-1viH] （10）

[Σi（t+1|t）=ΦPi（t|t）ΦΤ+ΓQwΓΤ] （11）

引理2[7] 多傳感器系統式（3）和（4）在假設1和2下，全局最優分布式融合Kalman信號濾波器為：

[x（t|t）=Ψ（t）x（t-1|t-1）+P（t|t）i=1L[P-1i（t|t）xi（t|t）-Σ-1i（t|t-1）Φxi（t-1|t-1）]] （12）

[P-1（t|t）=Σ-1（t|t-1）+i=1L[P-1i（t|t）-Σ-1i（t|t-1）]] （13）

[Σ（t+1|t）=ΦP（t|t）ΦΤ+ΓQwΓΤ] （14）

[Ψ（t）=P（t|t）Σ-1（t|t-1）Φ] （15）

[s（t|t）=Hx（t|t）] （16）

2 未知參數的信息融合辨識

參數[Ai（i=1，2，…，na），][Ci（i=1，2，…，nc），][Qw]和[Qvi]都是未知的，信息融合多段辨識算法可以分為三段：

第1段，用多維遞推輔助變量（MRIV）算法求自回歸（AR）模型參數的局部和融合估計

由式和式（2）可得：

[A（q-1）yi（t）=C（q-1）w（t）+A（q-1）vi（t）] （17）

則式（17）可轉化為AR模型：

[A（q-1）yi（t）=ri（t）] （18）

[ri（t）=C（q-1）w（t）+A（q-1）vi（t）] （19）

式（18）有最小二乘結構：

[yi（t）=Θφi（t）+ri（t）] （20）

[φTi（t）=[-yTi（t-1），…，-yTi（t-na）]]，[Θ=[A1，…，Ana]] （21）

引理3[8] 對于多傳感器多通道平穩AR模型（20），[Θ]的多維遞推輔助變量（RIV）局部估值器[Θi（t）]為：

[Θi（t）=Θi（t-1）+[yi（t）-Θi（t-1）φi（t）]φΤi（t）Pi（t-1）1+φΤi（t）Pi（t-1）φi（t）] （22）

[Pi（t）=Pi（t-1）-Pi（t-1）φi（t）φTi（t）Pi（t-1）1+φTi（t）Pi（t-1）φi（t）] （23）

[φi（t）=φi（t-na）] （24）

且帶初值[Θi（t）=Θi0，][Pi（t0）=P0（k0）。][Θ]的信息融合估值定義為[Θf（t）=1Li=1LΘi（t）=A1（t），…，Ana（t）。]

第2段，用Gevers?Wouters算法辨識[C（q-1）]和[Qw]

定義滑動平均（MA）過程：

[m（t）=C（q-1）w（t）] （25）

它的相關函數[Rm（k）=E[m（t）mT（t-k）]]為[Rm（k）=α=kncCαQwCTα-k，k=0，1，2，…，nc。]計算式（25）兩邊的相關函數有[Rm（k）=Rrij（k），]由式（18）在時刻[t，]觀測過程[ri（t）]的估值定義為：

[ri（t）=A（q-1）yi（t）] （26）

觀測[ri（t）]的采樣相關函數估值定義為：

[Rtrij（k）=1tu=1tri（u）rTj（u-k）] （27）

它有遞推形式：

[Rtrij（k）=Rt-1rij（k）+1tri（t）rTj（t-k）-Rt-1rij（k）] （28）

初值為[R1rij（k）=1tj=1tri（1）rTj（1-k）]。把估值[ri（t）]代入到式（28）得到估值[Rtrij（k）]，應用帶死區的G?W算法[9]，能夠得到局部的估值[Cuij（t）][（u=1，2，…，nc；i，j=1，2，…，L）]和[Qwij（t）。]基于所有傳感器的信息融合估值為：

[Qw（t）=1L2i=1Lj=1LQwij（t），Cu（t）=1L2i=1Lj=1LCuij（t）] （29）

第3段，基于相關方法辨識[Qvi]

觀測[ri（t）]的自相關函數[Rrii（k）=E[ri（t）rTi（t-k）]]為：

[Rrii（k）=α=kncCαQwCTα-k+β=knaAβQviATβ-k， k=0，1，2，…，nr，nr=max（Rrii（k）≠0）] （30）

對于不同的[k]，把采樣估值[Rtrii（k）]，融合估值[Ai（t），][Ci（t）]和[Qw（t）]代入到式（30）解線性方程組就可以得到噪聲方差估值[Qvi（t）]。

3 基于信息矩陣的自校正分布式融合Kalman

信號濾波器

將辨識得到的估值[Ai（t）]和[Ci（t）]代入到式（6）中得到[Φ（t）]和[Γ（t）]，融合觀測噪聲[v（t）]有噪聲方差估值為[Qv（t）=diagQv1（t）…QvL（t）]，把所有的估值代到引理1可得到自校正分布式融合Kalman信息濾波器：

[xs（t|t）=Ψ（t）xs（t-1|t-1）+P（t|t）i=1L[P-1i（t|t）xsi（t|t）-Σ-1i（t|t-1）Φ（t）xsi（t-1|t-1）]] （31）

[P-1（t|t）=Σ-1（t|t-1）+i=1L[P-1i（t|t）-Σ-1i（t|t-1）]] （32）

[Σ（t+1|t）=Φ（t）P（t|t）ΦΤ（t）+Γ（t）Qw（t）ΓΤ（t）] （33）

[Ψ（t）=P（t|t）Σ-1（t|t-1）Φ（t）] （34）

[ss（t|t）=Hxs（t|t）] （35）

4 仿真例子

考慮多傳感器多通道ARMA信號（1）和（2），[i=1，2，3。]其中[A（q-1）=I2+A1q-1，][C（q-1）=I2+C1q-1，][w（t）]和[vi（t）]是零均值，方差各為[Qw]和[Qvi]的相互獨立白噪聲，假設[A1，C1，Qw]和[Qvi]未知，求自校正分布式融合Kalman信號濾波器。在仿真中取：

[A1=-0.80-0.3-0.7，][C1=0.150-0.30.3，] [Qw=0.81001，][Qv1=0.1000.2，][Qv2=0.3000.49，][Qv3=0.4000.5]。

基于信息融合多段辨識方法，得到[A1，C1，Qw]和[Qvi]的信息融合估值，辨識結果如圖1～圖6所示，其中真實值用直線表示，融合估計用實曲線表示，[D（k，r）]表示矩陣[D]的第[（k，r）]個元素。圖1所示為應用引理1得到[A1]的融合估值曲線，用Gevers?Wouters算法得到[C1]和[Qw]的融合估值如圖2和圖3所示，應用相關方法得到觀測噪聲方差[Qvi]的融合估值曲線如圖4～圖6所示。圖7是誤差曲線，說明最優分布式融合Kalman信號濾波器[s（t|t）=s1（t|t）s2（t|t）T]和自校正分布式融合Kalman信號濾波器[ss（t|t）=ss1（t|t）ss2（t|t）T]之間的誤差趨于零。

圖1 融合估值[A1（t）]的曲線

圖2 融合估值[C1（t）]的曲線

圖3 噪聲方差[Qw]融合估值曲線

圖4 噪聲方差[Qv1]融合估值曲線

圖5 噪聲方差[Qv2]融合估值曲線

圖6 噪聲方差[Qv3]融合估值曲線

圖7 最優和自校正分布式融合Kalman信號濾波器的誤差曲線

5 結 語

本文對于多通道ARMA信號模型，提出了自校正分布式融合信息濾波器。該自校正分布式融合信息濾波器不需要求解Riccati方程，避免[mL×mL]矩陣[（H0Σ（t|t-1）HT0+Qv（t））]的求逆運算，其中[m=m1+…+mL，]而僅需要計算[mi×mi]矩陣的逆，計算量較小，且該自校正分布式信息濾波器是漸近全局最優的。

參考文獻

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[10] 趙大建，趙偉，張兆亮，等.基于FPGA的Kalman濾波器實現研究[J].現代電子技術，2012，35（6）：67?70.

[Qw（t）=1L2i=1Lj=1LQwij（t），Cu（t）=1L2i=1Lj=1LCuij（t）] （29）

第3段，基于相關方法辨識[Qvi]

觀測[ri（t）]的自相關函數[Rrii（k）=E[ri（t）rTi（t-k）]]為：

[Rrii（k）=α=kncCαQwCTα-k+β=knaAβQviATβ-k， k=0，1，2，…，nr，nr=max（Rrii（k）≠0）] （30）

對于不同的[k]，把采樣估值[Rtrii（k）]，融合估值[Ai（t），][Ci（t）]和[Qw（t）]代入到式（30）解線性方程組就可以得到噪聲方差估值[Qvi（t）]。

3 基于信息矩陣的自校正分布式融合Kalman

信號濾波器

將辨識得到的估值[Ai（t）]和[Ci（t）]代入到式（6）中得到[Φ（t）]和[Γ（t）]，融合觀測噪聲[v（t）]有噪聲方差估值為[Qv（t）=diagQv1（t）…QvL（t）]，把所有的估值代到引理1可得到自校正分布式融合Kalman信息濾波器：

[xs（t|t）=Ψ（t）xs（t-1|t-1）+P（t|t）i=1L[P-1i（t|t）xsi（t|t）-Σ-1i（t|t-1）Φ（t）xsi（t-1|t-1）]] （31）

[P-1（t|t）=Σ-1（t|t-1）+i=1L[P-1i（t|t）-Σ-1i（t|t-1）]] （32）

[Σ（t+1|t）=Φ（t）P（t|t）ΦΤ（t）+Γ（t）Qw（t）ΓΤ（t）] （33）

[Ψ（t）=P（t|t）Σ-1（t|t-1）Φ（t）] （34）

[ss（t|t）=Hxs（t|t）] （35）

4 仿真例子

考慮多傳感器多通道ARMA信號（1）和（2），[i=1，2，3。]其中[A（q-1）=I2+A1q-1，][C（q-1）=I2+C1q-1，][w（t）]和[vi（t）]是零均值，方差各為[Qw]和[Qvi]的相互獨立白噪聲，假設[A1，C1，Qw]和[Qvi]未知，求自校正分布式融合Kalman信號濾波器。在仿真中?。?/p>

[A1=-0.80-0.3-0.7，][C1=0.150-0.30.3，] [Qw=0.81001，][Qv1=0.1000.2，][Qv2=0.3000.49，][Qv3=0.4000.5]。

基于信息融合多段辨識方法，得到[A1，C1，Qw]和[Qvi]的信息融合估值，辨識結果如圖1～圖6所示，其中真實值用直線表示，融合估計用實曲線表示，[D（k，r）]表示矩陣[D]的第[（k，r）]個元素。圖1所示為應用引理1得到[A1]的融合估值曲線，用Gevers?Wouters算法得到[C1]和[Qw]的融合估值如圖2和圖3所示，應用相關方法得到觀測噪聲方差[Qvi]的融合估值曲線如圖4～圖6所示。圖7是誤差曲線，說明最優分布式融合Kalman信號濾波器[s（t|t）=s1（t|t）s2（t|t）T]和自校正分布式融合Kalman信號濾波器[ss（t|t）=ss1（t|t）ss2（t|t）T]之間的誤差趨于零。

圖1 融合估值[A1（t）]的曲線

圖2 融合估值[C1（t）]的曲線

圖3 噪聲方差[Qw]融合估值曲線

圖4 噪聲方差[Qv1]融合估值曲線

圖5 噪聲方差[Qv2]融合估值曲線

圖6 噪聲方差[Qv3]融合估值曲線

圖7 最優和自校正分布式融合Kalman信號濾波器的誤差曲線

5 結 語

本文對于多通道ARMA信號模型，提出了自校正分布式融合信息濾波器。該自校正分布式融合信息濾波器不需要求解Riccati方程，避免[mL×mL]矩陣[（H0Σ（t|t-1）HT0+Qv（t））]的求逆運算，其中[m=m1+…+mL，]而僅需要計算[mi×mi]矩陣的逆，計算量較小，且該自校正分布式信息濾波器是漸近全局最優的。

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[10] 趙大建，趙偉，張兆亮，等.基于FPGA的Kalman濾波器實現研究[J].現代電子技術，2012，35（6）：67?70.

[Qw（t）=1L2i=1Lj=1LQwij（t），Cu（t）=1L2i=1Lj=1LCuij（t）] （29）

第3段，基于相關方法辨識[Qvi]

觀測[ri（t）]的自相關函數[Rrii（k）=E[ri（t）rTi（t-k）]]為：

[Rrii（k）=α=kncCαQwCTα-k+β=knaAβQviATβ-k， k=0，1，2，…，nr，nr=max（Rrii（k）≠0）] （30）

對于不同的[k]，把采樣估值[Rtrii（k）]，融合估值[Ai（t），][Ci（t）]和[Qw（t）]代入到式（30）解線性方程組就可以得到噪聲方差估值[Qvi（t）]。

3 基于信息矩陣的自校正分布式融合Kalman

信號濾波器

將辨識得到的估值[Ai（t）]和[Ci（t）]代入到式（6）中得到[Φ（t）]和[Γ（t）]，融合觀測噪聲[v（t）]有噪聲方差估值為[Qv（t）=diagQv1（t）…QvL（t）]，把所有的估值代到引理1可得到自校正分布式融合Kalman信息濾波器：

[xs（t|t）=Ψ（t）xs（t-1|t-1）+P（t|t）i=1L[P-1i（t|t）xsi（t|t）-Σ-1i（t|t-1）Φ（t）xsi（t-1|t-1）]] （31）

[P-1（t|t）=Σ-1（t|t-1）+i=1L[P-1i（t|t）-Σ-1i（t|t-1）]] （32）

[Σ（t+1|t）=Φ（t）P（t|t）ΦΤ（t）+Γ（t）Qw（t）ΓΤ（t）] （33）

[Ψ（t）=P（t|t）Σ-1（t|t-1）Φ（t）] （34）

[ss（t|t）=Hxs（t|t）] （35）

4 仿真例子

考慮多傳感器多通道ARMA信號（1）和（2），[i=1，2，3。]其中[A（q-1）=I2+A1q-1，][C（q-1）=I2+C1q-1，][w（t）]和[vi（t）]是零均值，方差各為[Qw]和[Qvi]的相互獨立白噪聲，假設[A1，C1，Qw]和[Qvi]未知，求自校正分布式融合Kalman信號濾波器。在仿真中?。?/p>

[A1=-0.80-0.3-0.7，][C1=0.150-0.30.3，] [Qw=0.81001，][Qv1=0.1000.2，][Qv2=0.3000.49，][Qv3=0.4000.5]。

基于信息融合多段辨識方法，得到[A1，C1，Qw]和[Qvi]的信息融合估值，辨識結果如圖1～圖6所示，其中真實值用直線表示，融合估計用實曲線表示，[D（k，r）]表示矩陣[D]的第[（k，r）]個元素。圖1所示為應用引理1得到[A1]的融合估值曲線，用Gevers?Wouters算法得到[C1]和[Qw]的融合估值如圖2和圖3所示，應用相關方法得到觀測噪聲方差[Qvi]的融合估值曲線如圖4～圖6所示。圖7是誤差曲線，說明最優分布式融合Kalman信號濾波器[s（t|t）=s1（t|t）s2（t|t）T]和自校正分布式融合Kalman信號濾波器[ss（t|t）=ss1（t|t）ss2（t|t）T]之間的誤差趨于零。

圖1 融合估值[A1（t）]的曲線

圖2 融合估值[C1（t）]的曲線

圖3 噪聲方差[Qw]融合估值曲線

圖4 噪聲方差[Qv1]融合估值曲線

圖5 噪聲方差[Qv2]融合估值曲線

圖6 噪聲方差[Qv3]融合估值曲線

圖7 最優和自校正分布式融合Kalman信號濾波器的誤差曲線

5 結 語

本文對于多通道ARMA信號模型，提出了自校正分布式融合信息濾波器。該自校正分布式融合信息濾波器不需要求解Riccati方程，避免[mL×mL]矩陣[（H0Σ（t|t-1）HT0+Qv（t））]的求逆運算，其中[m=m1+…+mL，]而僅需要計算[mi×mi]矩陣的逆，計算量較小，且該自校正分布式信息濾波器是漸近全局最優的。

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