挖拓數學，從“教材”走向“學材”

季華

一、課堂回眸：“同課異構”的課堂引射

課堂是教育教學的主陣地，為了讓課堂更有效、更高效，我們教育者常常通過“同課異構”這樣的教研活動，相互切磋、學習研討。在一次“關注常態課堂，聚焦有效教學”的“同課異構”觀摩研討活動中，對于“解決問題的策略——倒推”這一課，李老師和王老師的執教，給我留下了深刻印象。

看看學生的反應：

李老師的課堂：學生配合積極，應答正確率高，思維活躍……

王老師的課堂：氣氛沉悶，學生應答正確率不高，學生練習只知其表，不知其里……

聽聽教師的評價：

李老師的課有自己的想法，不拘泥于教材，拓展延伸，又不偏離教材，恰到好處地抓住教學重點，一步步剝掉數學“抽象與難懂”的外衣，引領學生零距離接觸“倒推”……

王老師的課完全是帶著學生學習教材的例題，只是在“教教材”，對學生的思想活動的經歷、感悟挖掘得太少，過于老套，不能提高學生的思維水平……

從課堂上學生的反應和教師的評價不難看出，教師對文本的解讀，以及如何“用教材教”至關重要。為了進一步了解教師對文本的解讀給課堂帶來的影響，我對我們區的數學老師（53人）做了調查統計：

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分析：作為一名教師，我們要學會解讀文本，理解文本的編寫意圖，以及各習題中所蘊含的數學思想和方法。教師要吃透教材，在此基礎上從深度上挖掘和寬度上拓展教材的內涵，把握好教材的編寫意圖和教學內容的教育價值，對教材再創造，這也是《義務教育數學新課程標準》（2011年版）所提倡的。

二、思考與探索：教材的合理運用與提升

著名數學家陳省身曾說過“數學好玩”，如何讓學生感同身受，作為一線教師，要利用教材的可塑性，在認真研讀的基礎上，充分挖拓知識的最佳路徑，直通學生的心靈深處，方能“玩好數學”。

1.層層遞進中挖掘

學生并非空著頭腦走進教室的，他們在日常生活和以往的學習生活中，已存儲了一定的背景知識和豐富的學習經驗，我們要利用這一資源，層層遞進，促成資源的二度開發。

【案例】四年級下冊“乘法”

教材說明指出：“這是在學生已經掌握三位數乘一位數和兩位數乘兩位數的基礎上教學的，也是本套教材整數乘法的最后一個單元。”如何使學生相對“完整”地掌握整數乘法的計算方法？

課前，我把題目進行了改編：“月星小區有5幢樓，平均每幢樓住44戶。月星小區一共住了多少戶？”對于四年級的學生來說，列式不成問題，關鍵是計算5×44，然后我把題目稍做修改，第一次把5改成15，變成兩位數乘兩位數，第二次又把44改成144，變成三位數乘兩位數。

學生在條件的層層遞進中，既溫故了舊知，又延伸了新知，在學習過程中自主探索了計算方法，掌握了必要的運算技能。

2.感悟中挖拓

我們在教學時引領學生感悟教材的深度，一般包含兩方面：一是知識的深度；二是思想的深度。我們要用智慧的眼光，充分挖掘教材現有的資源，并加以利用，拓展學生知識與思想的深度，讓學生在感悟中提升思維的品質。

【案例】三年級下冊“認識分數”

關于分數，學生第一次接觸，因此教學中應多角度、多方位加強學生的感性認識。在初步認識幾分之一后，我讓學生用長方形紙折出1/2，學生想到了4種不同的方法；然后再讓學生在各種形狀的紙上折出自己喜歡的幾分之一，學生自由想象，折出了許多自己喜歡的分數；最后我在學生感悟“不同的圖形能折出相同或不同的分數”的基礎上，進一步提出“用相同的圖形能折出不同的分數嗎？”，為學生提供了開放的思維空間；學生主動探求、思索，用大小相等的圓形紙片折出了1/2、1/4、1/8，接著我順勢引導他們看圖比較1/2、1/4和1/8的大小，在比較中感悟：同樣大小的圖形能表示出不同的分數。

對“認識分數”如此解讀、詮釋后，學生對分數的認識更加深刻、徹底了， 感悟到“類比”和“求同存異”的數學思想。

3. 提示中挖拓

人們認識事物的規律總是由簡到繁，由易到難，由淺入深的，課堂上的提問也應遵循這一規律，讓學生拾級而上；如若學生“一籌莫展”時，教師要適當“提示”引導，不必糾結于說與不說之間，而是用最有效的方式拓展到位。

【案例】六年級下冊“解決問題的策略”

引領學生學會用“轉化”的策略解決問題。在講完新課后，出示題目“1/2+1/4+1/8+1/16”。幾乎所有學生都能用通分的方法，把異分母分數轉變成同分母分數相加；然后我引導學生分析式子規律，嘗試用新的眼光來思考，看還有沒有別的方法，接著和學生一起看電腦演示圖（如圖1）。

引領學生換個角度思考：可以把這道算式轉化成什么算式？（1-1/16）

繼續追問：如果照這樣的規律，再添一個加數，是什么數？（+1/32）這時可轉化成什么算式？（1-1/32）

“1/2+1/4+1/8+1/16……1/1024”等于多少？學生異口同聲地說“1-1/1024=1023/1024”。我問：“為什么不通分了？”學生異口同聲說：“轉化成減法算，簡單、快！”

當學生的思維在瓶頸處時，我們不妨“托一托”，讓學生在前行中感受“柳暗花明又一村”的美妙。

我們還可以在情境、畫圖、舉例、對比、練習中拓展，對一題多解和多題一解進行概括，要從深度上挖掘，寬度上拓展教材，使之更貼近學生的“學材”，讓師生在課堂上感受思維火花碰撞的美妙。

三、追求與實踐：挖拓的辯證統一

鄭毓信教授在《數學教育：動態與省思》一書中指出：“作為課程改革的一個方面，現行的任何一種教材都不能被看做完全理想的，它必然有一個發展和改進的過程，廣大一線教師不僅可以而且也應在這一過程中發揮重要的作用。”如此看來，教材是教學的工具書，我們必須認真研讀，深度領悟，創造性地運用教材，使之適合學生的“平均值”，乃至“最優化”。endprint

1. 挖拓的深與淺

拓展要有度，教師要能準確、深入地理解教材，從不同角度、不同側面理解教材內涵，讓“淺”顯的教材內容得到“深”刻的解讀；在“深入”教材的基礎上，用“淺顯”的方式引導學生從“深”刻的內容回歸到“淺”顯的境界。

【案例】五年級下冊“復式折線統計圖”

學校要進行1分鐘跳繩比賽，每班只選1人參賽。五（6）班的李明和王軍都想參賽。下面是最近一周他倆1分鐘跳繩成績。請學生幫老師選一下，誰能代表班級參賽？

■

大多數學生只看“合計”數，認為應選“李明”，我建議學生畫一幅復式折線統計圖（如圖2）。學生在制圖的過程中，發現應選“王軍”，因為王軍1分鐘跳繩的個數呈增長趨勢，而且越來越多！

■

在研讀教材時，我們要抓住折線統計圖的本質，先讓學生自己“淺顯”地觀察，初步感受不用統計圖時，從總數上比較出李明跳得多，選李明；然后讓學生利用新學的復式折線統計圖，畫一畫，“深入”地感悟畫復式折線統計圖的必要性。

2. 挖拓的必要性，即要與不要

在教學中，要根據教材和學生知識的掌控力決定是否需要拓展。千萬不要為了拓展而拓展，那會畫蛇添足的；而必要的拓展，能讓課堂生機勃勃，讓學生的思維之花常開不敗。

【案例】四年級下冊“用字母表示數”

從感受字母，到初步理解用字母表示數的必要性，再到學會用含有字母的式子表示簡單的數量、數量關系、計算公式，最后教師重點講a+a=2a與a×a=a2的區別，學生不是那么容易掌握。這時可先領讀（a2不能讀成“a二”），然后通過拓展，舉例5×5=52，k×k=k2，k2=（ ）×（ ），再讓學生自己舉例，也可同桌相互出題。這里用的時間雖然比較多，但這是教學的難點，必須舉例拓展！

3.挖掘中數學思想的滲透

數學思想是數學的精髓，在平日數學知識的講授中，要注重挖掘在知識的發生、形成、發展中所蘊藏的數學思想，不僅要挖掘數學知識，更要挖掘教材所滲透的數學思想，這對學生自主學習有著引領的作用。

【案例】三年級上冊“觀察物體”

這節課通過“本位觀察、換位觀察、全面觀察”，讓學生在走動、觀察、記錄中知道“在不同位置上，觀察到物體的面的圖形可能是不一樣的”。

在拍照環節，為了拓展學生的“反觀察能力”，我做了這樣的嘗試：先給老師拍張照，要既看到正面，又看到側面的照片，你該站在哪？然后老師幫你們拍，要拍你們的側面照，老師該站在哪？要拍張既看到你們正面，又能清楚地看到你們頭頂的照片，怎么辦？老師不想動了，要拍張既看到你們正面，又能清楚地看到你們頭頂的照片，怎么辦？

在觀察活動中，讓學生積累數學活動的經驗，在判斷、辨認活動中，發展學生的數學思維。數學思想的滲透，不一定要表達出來，但要讓學生了解一些基本的數學思想，如“解決問題的策略”里滲透畫圖、列表、倒推、替換的思想；“統計”要滲透對應的思想；“圓”要滲透極限思想......

當然，挖掘數學教材的環節可以在課始，可以在課中，也可以在課后練習上，教師只有勇于創新，創造性地拓展教材，才能給課堂帶來一絲活力，潤色課堂。

四、課堂愿景：挖掘，從教材走向學材

我們談“挖拓數學教材”，是要在對教材編寫意圖讀懂、悟透的前提下，不僅要能教好教材，而且還需“創造性地解讀教材、挖掘教材”，對教材進行二次開發，堅持在深度研讀時拓展空間，在反復斟酌后定取舍，真正實現從“教材”走向“學材”的構建，真正實現“讓學生享受到良好的數學教育”。

（責編 金 鈴）endprint

1. 挖拓的深與淺

拓展要有度，教師要能準確、深入地理解教材，從不同角度、不同側面理解教材內涵，讓“淺”顯的教材內容得到“深”刻的解讀；在“深入”教材的基礎上，用“淺顯”的方式引導學生從“深”刻的內容回歸到“淺”顯的境界。

【案例】五年級下冊“復式折線統計圖”

學校要進行1分鐘跳繩比賽，每班只選1人參賽。五（6）班的李明和王軍都想參賽。下面是最近一周他倆1分鐘跳繩成績。請學生幫老師選一下，誰能代表班級參賽？

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大多數學生只看“合計”數，認為應選“李明”，我建議學生畫一幅復式折線統計圖（如圖2）。學生在制圖的過程中，發現應選“王軍”，因為王軍1分鐘跳繩的個數呈增長趨勢，而且越來越多！

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在研讀教材時，我們要抓住折線統計圖的本質，先讓學生自己“淺顯”地觀察，初步感受不用統計圖時，從總數上比較出李明跳得多，選李明；然后讓學生利用新學的復式折線統計圖，畫一畫，“深入”地感悟畫復式折線統計圖的必要性。

2. 挖拓的必要性，即要與不要

在教學中，要根據教材和學生知識的掌控力決定是否需要拓展。千萬不要為了拓展而拓展，那會畫蛇添足的；而必要的拓展，能讓課堂生機勃勃，讓學生的思維之花常開不敗。

【案例】四年級下冊“用字母表示數”

從感受字母，到初步理解用字母表示數的必要性，再到學會用含有字母的式子表示簡單的數量、數量關系、計算公式，最后教師重點講a+a=2a與a×a=a2的區別，學生不是那么容易掌握。這時可先領讀（a2不能讀成“a二”），然后通過拓展，舉例5×5=52，k×k=k2，k2=（ ）×（ ），再讓學生自己舉例，也可同桌相互出題。這里用的時間雖然比較多，但這是教學的難點，必須舉例拓展！

3.挖掘中數學思想的滲透

數學思想是數學的精髓，在平日數學知識的講授中，要注重挖掘在知識的發生、形成、發展中所蘊藏的數學思想，不僅要挖掘數學知識，更要挖掘教材所滲透的數學思想，這對學生自主學習有著引領的作用。

【案例】三年級上冊“觀察物體”

這節課通過“本位觀察、換位觀察、全面觀察”，讓學生在走動、觀察、記錄中知道“在不同位置上，觀察到物體的面的圖形可能是不一樣的”。

在拍照環節，為了拓展學生的“反觀察能力”，我做了這樣的嘗試：先給老師拍張照，要既看到正面，又看到側面的照片，你該站在哪？然后老師幫你們拍，要拍你們的側面照，老師該站在哪？要拍張既看到你們正面，又能清楚地看到你們頭頂的照片，怎么辦？老師不想動了，要拍張既看到你們正面，又能清楚地看到你們頭頂的照片，怎么辦？

在觀察活動中，讓學生積累數學活動的經驗，在判斷、辨認活動中，發展學生的數學思維。數學思想的滲透，不一定要表達出來，但要讓學生了解一些基本的數學思想，如“解決問題的策略”里滲透畫圖、列表、倒推、替換的思想；“統計”要滲透對應的思想；“圓”要滲透極限思想......

當然，挖掘數學教材的環節可以在課始，可以在課中，也可以在課后練習上，教師只有勇于創新，創造性地拓展教材，才能給課堂帶來一絲活力，潤色課堂。

四、課堂愿景：挖掘，從教材走向學材

我們談“挖拓數學教材”，是要在對教材編寫意圖讀懂、悟透的前提下，不僅要能教好教材，而且還需“創造性地解讀教材、挖掘教材”，對教材進行二次開發，堅持在深度研讀時拓展空間，在反復斟酌后定取舍，真正實現從“教材”走向“學材”的構建，真正實現“讓學生享受到良好的數學教育”。

（責編 金 鈴）endprint

1. 挖拓的深與淺

拓展要有度，教師要能準確、深入地理解教材，從不同角度、不同側面理解教材內涵，讓“淺”顯的教材內容得到“深”刻的解讀；在“深入”教材的基礎上，用“淺顯”的方式引導學生從“深”刻的內容回歸到“淺”顯的境界。

【案例】五年級下冊“復式折線統計圖”

學校要進行1分鐘跳繩比賽，每班只選1人參賽。五（6）班的李明和王軍都想參賽。下面是最近一周他倆1分鐘跳繩成績。請學生幫老師選一下，誰能代表班級參賽？

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大多數學生只看“合計”數，認為應選“李明”，我建議學生畫一幅復式折線統計圖（如圖2）。學生在制圖的過程中，發現應選“王軍”，因為王軍1分鐘跳繩的個數呈增長趨勢，而且越來越多！

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在研讀教材時，我們要抓住折線統計圖的本質，先讓學生自己“淺顯”地觀察，初步感受不用統計圖時，從總數上比較出李明跳得多，選李明；然后讓學生利用新學的復式折線統計圖，畫一畫，“深入”地感悟畫復式折線統計圖的必要性。

2. 挖拓的必要性，即要與不要

在教學中，要根據教材和學生知識的掌控力決定是否需要拓展。千萬不要為了拓展而拓展，那會畫蛇添足的；而必要的拓展，能讓課堂生機勃勃，讓學生的思維之花常開不敗。

【案例】四年級下冊“用字母表示數”

從感受字母，到初步理解用字母表示數的必要性，再到學會用含有字母的式子表示簡單的數量、數量關系、計算公式，最后教師重點講a+a=2a與a×a=a2的區別，學生不是那么容易掌握。這時可先領讀（a2不能讀成“a二”），然后通過拓展，舉例5×5=52，k×k=k2，k2=（ ）×（ ），再讓學生自己舉例，也可同桌相互出題。這里用的時間雖然比較多，但這是教學的難點，必須舉例拓展！

3.挖掘中數學思想的滲透

數學思想是數學的精髓，在平日數學知識的講授中，要注重挖掘在知識的發生、形成、發展中所蘊藏的數學思想，不僅要挖掘數學知識，更要挖掘教材所滲透的數學思想，這對學生自主學習有著引領的作用。

【案例】三年級上冊“觀察物體”

這節課通過“本位觀察、換位觀察、全面觀察”，讓學生在走動、觀察、記錄中知道“在不同位置上，觀察到物體的面的圖形可能是不一樣的”。

在拍照環節，為了拓展學生的“反觀察能力”，我做了這樣的嘗試：先給老師拍張照，要既看到正面，又看到側面的照片，你該站在哪？然后老師幫你們拍，要拍你們的側面照，老師該站在哪？要拍張既看到你們正面，又能清楚地看到你們頭頂的照片，怎么辦？老師不想動了，要拍張既看到你們正面，又能清楚地看到你們頭頂的照片，怎么辦？

在觀察活動中，讓學生積累數學活動的經驗，在判斷、辨認活動中，發展學生的數學思維。數學思想的滲透，不一定要表達出來，但要讓學生了解一些基本的數學思想，如“解決問題的策略”里滲透畫圖、列表、倒推、替換的思想；“統計”要滲透對應的思想；“圓”要滲透極限思想......

當然，挖掘數學教材的環節可以在課始，可以在課中，也可以在課后練習上，教師只有勇于創新，創造性地拓展教材，才能給課堂帶來一絲活力，潤色課堂。

四、課堂愿景：挖掘，從教材走向學材

我們談“挖拓數學教材”，是要在對教材編寫意圖讀懂、悟透的前提下，不僅要能教好教材，而且還需“創造性地解讀教材、挖掘教材”，對教材進行二次開發，堅持在深度研讀時拓展空間，在反復斟酌后定取舍，真正實現從“教材”走向“學材”的構建，真正實現“讓學生享受到良好的數學教育”。

（責編 金 鈴）endprint