深化探究過程 發(fā)展數(shù)學(xué)思維

董文婷

荷蘭著名數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾首次提出數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是一個(gè)“抽象——符號(hào)——應(yīng)用”的過程，認(rèn)為這正是數(shù)學(xué)探索的過程。學(xué)生只有經(jīng)歷有效的數(shù)學(xué)探索，才能領(lǐng)悟到最基本的數(shù)學(xué)思想和方法，發(fā)展數(shù)學(xué)思維，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)。筆者認(rèn)為，深化數(shù)學(xué)探究過程是發(fā)展數(shù)學(xué)思維的有效途徑。現(xiàn)以“平行四邊形的面積計(jì)算”一課教學(xué)為例，談?wù)勛约旱捏w會(huì)。

一、從舊知引入新知，數(shù)學(xué)探究活動(dòng)化

數(shù)學(xué)知識(shí)本身有著固有的結(jié)構(gòu)體系，所以可以通過新舊知識(shí)間的溝通，以活動(dòng)化的操作方式復(fù)習(xí)舊知，使新知獲得生長。我先讓學(xué)生過A、B兩點(diǎn)畫一條直線，然后在A、B外的C點(diǎn)畫出到直線AB的距離，再過直線外C點(diǎn)畫直線AB的平行線，最后以線段AB為底，以C點(diǎn)到直線AB的距離為高，畫一個(gè)平行四邊形。學(xué)生通過動(dòng)手操作，建立了平行四邊形的知識(shí)鏈接，使學(xué)生在復(fù)習(xí)平行四邊形知識(shí)的同時(shí)獲得新知。

為了幫助學(xué)生梳理平行四邊形的認(rèn)知體系，建立空間觀念，我出示平行四邊形的畫法（如圖1），讓學(xué)生判斷是否正確。學(xué)生在觀察和辨別之后，理解長方形是特殊的平行四邊形，并包含以下特點(diǎn)：四個(gè)角都是直角，平行四邊形的底相當(dāng)于長方形的長，平行四邊形的高相當(dāng)于長方形的寬。通過數(shù)學(xué)探究的操作活動(dòng)，學(xué)生構(gòu)建了平行四邊形的知識(shí)體系，為下一步長方形的探討奠定基礎(chǔ)。

■

圖1

二、概括數(shù)理表征，數(shù)學(xué)探究邏輯化

數(shù)學(xué)探究是運(yùn)用數(shù)學(xué)方法觀察世界、分析與解決問題的過程。數(shù)學(xué)課堂的探究活動(dòng)要求學(xué)生將實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)模型，因此教師就要從“學(xué)”的角度設(shè)計(jì)教學(xué)活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生探索，將數(shù)學(xué)探究邏輯化。

傳統(tǒng)教學(xué)是將未知的平行四邊形面積轉(zhuǎn)化為已知的長方形面積計(jì)算，而我在教學(xué)中采用“割——移——補(bǔ)”的方法，讓學(xué)生體驗(yàn)平行四邊形與長方形的互相轉(zhuǎn)化。我先出示面積相等的兩個(gè)長方形和平行四邊形，讓學(xué)生觀察它們之間的大小關(guān)系，學(xué)生認(rèn)為兩個(gè)圖形一樣大。“那如何驗(yàn)證這個(gè)猜想呢？”我通過課件演示，移動(dòng)平行四邊形，使之與長方形部分重疊，這樣學(xué)生既弄清了兩個(gè)圖形之間的邏輯關(guān)系，也理清了思路：把平行四邊形部分剪下，移到長方形的空白部分，正好補(bǔ)成一個(gè)長方形；把長方形的部分剪下，移到平行四邊形的空白部分，正好補(bǔ)成一個(gè)平行四邊形。那么，是否所有的平行四邊形都可以通過這樣割補(bǔ)的方法來轉(zhuǎn)化成長方形呢？我讓學(xué)生繼續(xù)在探究中動(dòng)手操作，以驗(yàn)證猜想，完善數(shù)學(xué)探究的邏輯化。學(xué)生通過畫、拼、剪的方式，交流得出以下兩種操作方法（課件展示）：1.順著平行四邊形的高，通過割、移、補(bǔ)，把平行四邊形轉(zhuǎn)化成長方形；2.將長方形對(duì)邊進(jìn)行割、移、補(bǔ)，把長方形轉(zhuǎn)化成平行四邊形。至此，學(xué)生完成了對(duì)長方形和平行四邊形的互相轉(zhuǎn)化，然后我讓學(xué)生觀察概括平行四邊形的面積與哪些因素有關(guān)。學(xué)生發(fā)現(xiàn)平行四邊形的面積與底和高有密切關(guān)系、底和高越大面積就越大，并由此推導(dǎo)出平行四邊形的面積=底×高。通過觀察比較、分析概括、歸納總結(jié)等數(shù)學(xué)探究過程，學(xué)生的探究能力得到了發(fā)展，夯實(shí)了數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)。

三、問題解決為本質(zhì)，數(shù)學(xué)探究實(shí)踐化

數(shù)學(xué)探究是要使學(xué)生經(jīng)歷問題符號(hào)化的過程，建構(gòu)數(shù)學(xué)模型，最終發(fā)展數(shù)學(xué)思維，并獲得問題解決的策略和能力。

為了加強(qiáng)數(shù)學(xué)探究的實(shí)踐訓(xùn)練，我從基礎(chǔ)練習(xí)入手，先讓學(xué)生求出指定的平行四邊形的面積，再練習(xí)計(jì)算特殊圖形的面積（如圖2）。然后進(jìn)行實(shí)際應(yīng)用的強(qiáng)化拓展練習(xí)：有一塊平行四邊形的菜地（如圖3），如果在它的四周圍上籬笆，籬笆的總長度是多少？

■

圖2 圖3

在引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)探究的同時(shí)，既要發(fā)展學(xué)生的基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能，也要讓學(xué)生的思維走向深刻，著眼于學(xué)生的后續(xù)發(fā)展。為此，在實(shí)踐訓(xùn)練中，本著問題解決的原則，我將練習(xí)設(shè)計(jì)體現(xiàn)出一定的層次性和靈活性，其目的是要加強(qiáng)學(xué)生對(duì)理論的實(shí)際應(yīng)用，奠定良好的知識(shí)基礎(chǔ)。

顯而易見，數(shù)學(xué)探究的過程是一個(gè)從形象化到抽象化再到實(shí)踐化的漸進(jìn)過程，學(xué)生通過表征的建構(gòu)，再到抽象的理解和體驗(yàn)，最終獲得對(duì)數(shù)學(xué)思維的立體感受，達(dá)到數(shù)學(xué)認(rèn)知的整體建構(gòu)，這正是小學(xué)數(shù)學(xué)課堂探究的最終目標(biāo)。

（責(zé)編 杜 華）endprint

荷蘭著名數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾首次提出數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是一個(gè)“抽象——符號(hào)——應(yīng)用”的過程，認(rèn)為這正是數(shù)學(xué)探索的過程。學(xué)生只有經(jīng)歷有效的數(shù)學(xué)探索，才能領(lǐng)悟到最基本的數(shù)學(xué)思想和方法，發(fā)展數(shù)學(xué)思維，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)。筆者認(rèn)為，深化數(shù)學(xué)探究過程是發(fā)展數(shù)學(xué)思維的有效途徑。現(xiàn)以“平行四邊形的面積計(jì)算”一課教學(xué)為例，談?wù)勛约旱捏w會(huì)。

一、從舊知引入新知，數(shù)學(xué)探究活動(dòng)化

數(shù)學(xué)知識(shí)本身有著固有的結(jié)構(gòu)體系，所以可以通過新舊知識(shí)間的溝通，以活動(dòng)化的操作方式復(fù)習(xí)舊知，使新知獲得生長。我先讓學(xué)生過A、B兩點(diǎn)畫一條直線，然后在A、B外的C點(diǎn)畫出到直線AB的距離，再過直線外C點(diǎn)畫直線AB的平行線，最后以線段AB為底，以C點(diǎn)到直線AB的距離為高，畫一個(gè)平行四邊形。學(xué)生通過動(dòng)手操作，建立了平行四邊形的知識(shí)鏈接，使學(xué)生在復(fù)習(xí)平行四邊形知識(shí)的同時(shí)獲得新知。

為了幫助學(xué)生梳理平行四邊形的認(rèn)知體系，建立空間觀念，我出示平行四邊形的畫法（如圖1），讓學(xué)生判斷是否正確。學(xué)生在觀察和辨別之后，理解長方形是特殊的平行四邊形，并包含以下特點(diǎn)：四個(gè)角都是直角，平行四邊形的底相當(dāng)于長方形的長，平行四邊形的高相當(dāng)于長方形的寬。通過數(shù)學(xué)探究的操作活動(dòng)，學(xué)生構(gòu)建了平行四邊形的知識(shí)體系，為下一步長方形的探討奠定基礎(chǔ)。

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二、概括數(shù)理表征，數(shù)學(xué)探究邏輯化

數(shù)學(xué)探究是運(yùn)用數(shù)學(xué)方法觀察世界、分析與解決問題的過程。數(shù)學(xué)課堂的探究活動(dòng)要求學(xué)生將實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)模型，因此教師就要從“學(xué)”的角度設(shè)計(jì)教學(xué)活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生探索，將數(shù)學(xué)探究邏輯化。

傳統(tǒng)教學(xué)是將未知的平行四邊形面積轉(zhuǎn)化為已知的長方形面積計(jì)算，而我在教學(xué)中采用“割——移——補(bǔ)”的方法，讓學(xué)生體驗(yàn)平行四邊形與長方形的互相轉(zhuǎn)化。我先出示面積相等的兩個(gè)長方形和平行四邊形，讓學(xué)生觀察它們之間的大小關(guān)系，學(xué)生認(rèn)為兩個(gè)圖形一樣大。“那如何驗(yàn)證這個(gè)猜想呢？”我通過課件演示，移動(dòng)平行四邊形，使之與長方形部分重疊，這樣學(xué)生既弄清了兩個(gè)圖形之間的邏輯關(guān)系，也理清了思路：把平行四邊形部分剪下，移到長方形的空白部分，正好補(bǔ)成一個(gè)長方形；把長方形的部分剪下，移到平行四邊形的空白部分，正好補(bǔ)成一個(gè)平行四邊形。那么，是否所有的平行四邊形都可以通過這樣割補(bǔ)的方法來轉(zhuǎn)化成長方形呢？我讓學(xué)生繼續(xù)在探究中動(dòng)手操作，以驗(yàn)證猜想，完善數(shù)學(xué)探究的邏輯化。學(xué)生通過畫、拼、剪的方式，交流得出以下兩種操作方法（課件展示）：1.順著平行四邊形的高，通過割、移、補(bǔ)，把平行四邊形轉(zhuǎn)化成長方形；2.將長方形對(duì)邊進(jìn)行割、移、補(bǔ)，把長方形轉(zhuǎn)化成平行四邊形。至此，學(xué)生完成了對(duì)長方形和平行四邊形的互相轉(zhuǎn)化，然后我讓學(xué)生觀察概括平行四邊形的面積與哪些因素有關(guān)。學(xué)生發(fā)現(xiàn)平行四邊形的面積與底和高有密切關(guān)系、底和高越大面積就越大，并由此推導(dǎo)出平行四邊形的面積=底×高。通過觀察比較、分析概括、歸納總結(jié)等數(shù)學(xué)探究過程，學(xué)生的探究能力得到了發(fā)展，夯實(shí)了數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)。

三、問題解決為本質(zhì)，數(shù)學(xué)探究實(shí)踐化

數(shù)學(xué)探究是要使學(xué)生經(jīng)歷問題符號(hào)化的過程，建構(gòu)數(shù)學(xué)模型，最終發(fā)展數(shù)學(xué)思維，并獲得問題解決的策略和能力。

為了加強(qiáng)數(shù)學(xué)探究的實(shí)踐訓(xùn)練，我從基礎(chǔ)練習(xí)入手，先讓學(xué)生求出指定的平行四邊形的面積，再練習(xí)計(jì)算特殊圖形的面積（如圖2）。然后進(jìn)行實(shí)際應(yīng)用的強(qiáng)化拓展練習(xí)：有一塊平行四邊形的菜地（如圖3），如果在它的四周圍上籬笆，籬笆的總長度是多少？

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圖2 圖3

在引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)探究的同時(shí)，既要發(fā)展學(xué)生的基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能，也要讓學(xué)生的思維走向深刻，著眼于學(xué)生的后續(xù)發(fā)展。為此，在實(shí)踐訓(xùn)練中，本著問題解決的原則，我將練習(xí)設(shè)計(jì)體現(xiàn)出一定的層次性和靈活性，其目的是要加強(qiáng)學(xué)生對(duì)理論的實(shí)際應(yīng)用，奠定良好的知識(shí)基礎(chǔ)。

顯而易見，數(shù)學(xué)探究的過程是一個(gè)從形象化到抽象化再到實(shí)踐化的漸進(jìn)過程，學(xué)生通過表征的建構(gòu)，再到抽象的理解和體驗(yàn)，最終獲得對(duì)數(shù)學(xué)思維的立體感受，達(dá)到數(shù)學(xué)認(rèn)知的整體建構(gòu)，這正是小學(xué)數(shù)學(xué)課堂探究的最終目標(biāo)。

（責(zé)編 杜 華）endprint

荷蘭著名數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾首次提出數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是一個(gè)“抽象——符號(hào)——應(yīng)用”的過程，認(rèn)為這正是數(shù)學(xué)探索的過程。學(xué)生只有經(jīng)歷有效的數(shù)學(xué)探索，才能領(lǐng)悟到最基本的數(shù)學(xué)思想和方法，發(fā)展數(shù)學(xué)思維，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)。筆者認(rèn)為，深化數(shù)學(xué)探究過程是發(fā)展數(shù)學(xué)思維的有效途徑。現(xiàn)以“平行四邊形的面積計(jì)算”一課教學(xué)為例，談?wù)勛约旱捏w會(huì)。

一、從舊知引入新知，數(shù)學(xué)探究活動(dòng)化

數(shù)學(xué)知識(shí)本身有著固有的結(jié)構(gòu)體系，所以可以通過新舊知識(shí)間的溝通，以活動(dòng)化的操作方式復(fù)習(xí)舊知，使新知獲得生長。我先讓學(xué)生過A、B兩點(diǎn)畫一條直線，然后在A、B外的C點(diǎn)畫出到直線AB的距離，再過直線外C點(diǎn)畫直線AB的平行線，最后以線段AB為底，以C點(diǎn)到直線AB的距離為高，畫一個(gè)平行四邊形。學(xué)生通過動(dòng)手操作，建立了平行四邊形的知識(shí)鏈接，使學(xué)生在復(fù)習(xí)平行四邊形知識(shí)的同時(shí)獲得新知。

為了幫助學(xué)生梳理平行四邊形的認(rèn)知體系，建立空間觀念，我出示平行四邊形的畫法（如圖1），讓學(xué)生判斷是否正確。學(xué)生在觀察和辨別之后，理解長方形是特殊的平行四邊形，并包含以下特點(diǎn)：四個(gè)角都是直角，平行四邊形的底相當(dāng)于長方形的長，平行四邊形的高相當(dāng)于長方形的寬。通過數(shù)學(xué)探究的操作活動(dòng)，學(xué)生構(gòu)建了平行四邊形的知識(shí)體系，為下一步長方形的探討奠定基礎(chǔ)。

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二、概括數(shù)理表征，數(shù)學(xué)探究邏輯化

數(shù)學(xué)探究是運(yùn)用數(shù)學(xué)方法觀察世界、分析與解決問題的過程。數(shù)學(xué)課堂的探究活動(dòng)要求學(xué)生將實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)模型，因此教師就要從“學(xué)”的角度設(shè)計(jì)教學(xué)活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生探索，將數(shù)學(xué)探究邏輯化。

傳統(tǒng)教學(xué)是將未知的平行四邊形面積轉(zhuǎn)化為已知的長方形面積計(jì)算，而我在教學(xué)中采用“割——移——補(bǔ)”的方法，讓學(xué)生體驗(yàn)平行四邊形與長方形的互相轉(zhuǎn)化。我先出示面積相等的兩個(gè)長方形和平行四邊形，讓學(xué)生觀察它們之間的大小關(guān)系，學(xué)生認(rèn)為兩個(gè)圖形一樣大。“那如何驗(yàn)證這個(gè)猜想呢？”我通過課件演示，移動(dòng)平行四邊形，使之與長方形部分重疊，這樣學(xué)生既弄清了兩個(gè)圖形之間的邏輯關(guān)系，也理清了思路：把平行四邊形部分剪下，移到長方形的空白部分，正好補(bǔ)成一個(gè)長方形；把長方形的部分剪下，移到平行四邊形的空白部分，正好補(bǔ)成一個(gè)平行四邊形。那么，是否所有的平行四邊形都可以通過這樣割補(bǔ)的方法來轉(zhuǎn)化成長方形呢？我讓學(xué)生繼續(xù)在探究中動(dòng)手操作，以驗(yàn)證猜想，完善數(shù)學(xué)探究的邏輯化。學(xué)生通過畫、拼、剪的方式，交流得出以下兩種操作方法（課件展示）：1.順著平行四邊形的高，通過割、移、補(bǔ)，把平行四邊形轉(zhuǎn)化成長方形；2.將長方形對(duì)邊進(jìn)行割、移、補(bǔ)，把長方形轉(zhuǎn)化成平行四邊形。至此，學(xué)生完成了對(duì)長方形和平行四邊形的互相轉(zhuǎn)化，然后我讓學(xué)生觀察概括平行四邊形的面積與哪些因素有關(guān)。學(xué)生發(fā)現(xiàn)平行四邊形的面積與底和高有密切關(guān)系、底和高越大面積就越大，并由此推導(dǎo)出平行四邊形的面積=底×高。通過觀察比較、分析概括、歸納總結(jié)等數(shù)學(xué)探究過程，學(xué)生的探究能力得到了發(fā)展，夯實(shí)了數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)。

三、問題解決為本質(zhì)，數(shù)學(xué)探究實(shí)踐化

數(shù)學(xué)探究是要使學(xué)生經(jīng)歷問題符號(hào)化的過程，建構(gòu)數(shù)學(xué)模型，最終發(fā)展數(shù)學(xué)思維，并獲得問題解決的策略和能力。

為了加強(qiáng)數(shù)學(xué)探究的實(shí)踐訓(xùn)練，我從基礎(chǔ)練習(xí)入手，先讓學(xué)生求出指定的平行四邊形的面積，再練習(xí)計(jì)算特殊圖形的面積（如圖2）。然后進(jìn)行實(shí)際應(yīng)用的強(qiáng)化拓展練習(xí)：有一塊平行四邊形的菜地（如圖3），如果在它的四周圍上籬笆，籬笆的總長度是多少？

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在引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)探究的同時(shí)，既要發(fā)展學(xué)生的基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能，也要讓學(xué)生的思維走向深刻，著眼于學(xué)生的后續(xù)發(fā)展。為此，在實(shí)踐訓(xùn)練中，本著問題解決的原則，我將練習(xí)設(shè)計(jì)體現(xiàn)出一定的層次性和靈活性，其目的是要加強(qiáng)學(xué)生對(duì)理論的實(shí)際應(yīng)用，奠定良好的知識(shí)基礎(chǔ)。

顯而易見，數(shù)學(xué)探究的過程是一個(gè)從形象化到抽象化再到實(shí)踐化的漸進(jìn)過程，學(xué)生通過表征的建構(gòu)，再到抽象的理解和體驗(yàn)，最終獲得對(duì)數(shù)學(xué)思維的立體感受，達(dá)到數(shù)學(xué)認(rèn)知的整體建構(gòu)，這正是小學(xué)數(shù)學(xué)課堂探究的最終目標(biāo)。

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