操作 感悟 建模

祝林

《義務教育數學課程標準》（2011年版）中總體目標明確提出：“通過義務教育階段的數學學習，學生能夠獲得適應社會生活和進一步發展所必需的數學的基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗。”這里第一次把“雙基”目標拓展為“四基”目標。而縱觀整個小學階段的數學教學，幾乎所有的數學思想都能在這一階段找到“原型”。尤其是各冊教材中“數學廣角”的教學，是滲透數學思想和幫助學生積累基本活動經驗的最好時機。但是否進行了“數學廣角”的教學，就能滲透數學思想和積累基本活動經驗呢？答案是否定的。下面，就以人教版五年級下冊教材中的“數學廣角——找次品”為例，談談自己的做法和感想。

【第一次試教】

一、初步感知

出示例題：這里有5瓶鈣片，其中1瓶少了3片，設法把它找出來。（說明：那個較輕一點的我們稱之為“次品” 。討論方法得出：可以用天平把它找出來。）

師：至少稱幾次，一定能找出來？請你先思考，再用圖和文字把你的想法表示出來。（生思考，繪圖）

生1：至少用2次一定能找出來。（師板書）

■

師：和他的想法一樣的同學請舉手。（全班45人，有11人舉手）還有不同的想法嗎？

生2：我也是2次，不過想法和他不一樣。（師板書）

■

師：真不錯！和他一樣的有哪些同學？（有4人舉手，多數學生比較茫然）

二、操作、拓展

出示例題：在9個零件里有1個是次品（次品輕一些），用天平稱，至少稱幾次就一定能找出次品來？

師：請你根據剛才的學習先想一想，至少需要幾次一定能找出次品來，再畫圖說明。

生1：我先分成4份，結果是3次。（師板書）

■

生2：我也是稱3次，但分的方法不一樣。（師板書）

■

生3（急急地）：我只要用2次就行了！

（其他學生都驚奇地看著他）

生3：我把9個零件也分成3份，每份是3個……

■

（有些學生還有其他方法，略）

三、歸納、總結

師：剛才我們從9個零件中，要找出1個次品，方法有很多。其中稱的次數最少的方法是2次。請你仔細觀察這些方法，想一想，怎樣稱可以使稱的次數盡可能少？

生（由于時間關系，主要在教師的講解下得到）：分成3份，能平均分的要平均分；如果不能平均分，盡可能使每份個數接近，其中2份相同，另1份與這2份差1個。這樣分，可以使稱的次數盡可能少。

四、作業

題目：有13個零件，其中有1個較輕，至少稱幾次，可以把這個零件找出來。

同樣是3次，但學生采用的方法還是不一樣，主要方法如下：

4個4個稱：

■

5個5個稱：

■

6個6個稱：

■

另外，有的學生用4次，甚至5次，還有較多的學生不會做。

反思：“找次品”是一堂典型的滲透優化思想的課，教學時教師不遺余力，想讓學生更好地理解“優化”思想。可仔細想一想，發現只是一廂情愿。試想，當學生第一次接觸到這一內容，他們的注意力都集中在了“至少用幾次”上，討論、操作、畫圖，忙得不亦樂乎，最后得出結論的卻是少數學生，而能夠說出方法的，少之又少了。由于時間消耗過多，在臨近下課的比較環節，學生基本上都處于被動狀態，教師不得不把找的方法告訴學生。在作業中，他們原來怎么想的，還是怎么做。如上述課例的作業中，在13個零件中找一個較輕的次品，都是用3次，卻是不同的分法、找法，體現不出“優化”在哪里，學生認為教師告訴他們的方法也是沒用的。顯然，第一次試教是失敗的。學生在課前與課后沒有任何“質”的變化，在找次品的方法上都存在問題，這樣還談什么數學思想的滲透與基本經驗的積累呢？為什么會產生這樣的結果？

一、對教材的解讀不到位

教師要準確解讀教材，必須思考以下三個問題。

1.什么是“找次品”？

我曾調查過一些數學教師是否對本堂課的教學內容熟知，結果絕大多數教師并不清楚。在這樣的前提下，只根據教材“照本宣科”，必將會導致教學的失敗。“找次品”一課，主要讓學生通過操作，使他們感悟到：把被測物品3等分，每次用天平測其中的2份；當不能3等分時，讓其中的2份數量相同，另1份與這2份的數量相差1，用天平測數量相同的2份。這樣測，才能使找到次品所用的次數最少。這里主要滲透的是“優化”的數學思想。

2.怎樣用天平“找次品”？

在教學“找次品”時，教師往往追求結論而忽視了對天平特征的分析。為什么在找次品時，要把被測物品進行三等分？這是由測量工具——天平決定的。天平有兩個托盤，都可以放物品，共可放兩份，另外，旁邊還可以有一份。這樣測量時，如果平衡，則兩個托盤中的兩份都被排除；如果不平衡，則沒有次品托盤中的一份和旁邊的一份被排除。在上述案例中，由于教師從沒想過這個問題，也就缺乏了引導學生對被測物品進行三等分的意識。如在第一個環節中，當被測物品是5個時，兩個學生找的次數都是2次，但方法不一樣。由于教師對這兩種方法缺少了必要的比較、歸納，造成了學生認為兩種都行，在接下去的學習中，仍然按自己的想法去解決問題。學生的測量方法仍然是漫無目的的。直到課的結束，學生的思維沒有得到任何的提升，方法沒有得到優化，更別說建模了。

3.怎樣解讀教材中的“找次品”？

不妨先看看教材中的兩個例題：

■

■

仔細分析教材，不難發現：教材中對這一內容的編排，采用的都是對小數據的研究，首先被測物品是5個，在學生運用多種方法找的基礎上，概括出用天平找比較便捷；接著，重點研究被測物品是9個，通過合作、交流、討論、歸納，得出最佳方法。在找到最佳方法的同時，建立起模型。《義務教育數學課程標準》強調：在“數與代數”的教學中，應幫助學生建立數感和符號意識，發展運算能力和推理能力，初步形成模型思想。因此，我們對教材中的“找次品”，可作如下解讀：

■

教師通過正確解讀與處理教材，引導學生開展有效的學習活動：怎么找次品？讓學生在活動中感悟找次品的方法（落實基礎知識、基本技能目標）。同時，通過對教材中找次品方法的優化，引起學生的思考：為什么這樣找（落實基本思想、基本經驗目標）？在學生思考的過程中，促進學生自動建模。

二、對學生的學習起點把握不準

學生是數學學習的主體，一切教學活動的開展都是圍繞學生進行的。因此，能否起到高效的教學效果，取決于能否準確把握學生的學習起點。對學生而言，找次品一課，是一節思維含量高、難度大的課，而教師對學生的學習起點把握不準主要體現在：

1.與學生抽象思維能力水平脫節

“找次品”表面上看是從生活中抽取出的學習內容，實際上與學生的生活現實相差甚遠。學生從來沒有接觸過類似的內容，沒有相應的感性認識，一下子要提高到抽象的思維高度，思維的跳躍性太大，學生難以企及，表現在課堂上，學生一直處于被動、茫然狀態。

2.學生的數學素養跟不上

要找到次品，又要解釋給別人聽，除了要有較好的抽象思維能力外，還需要具備高超、簡練的作圖能力和準確、有條理的數學表達能力，這三者缺一不可。作為五年級的小學生，他們在這三方面還十分欠缺，而教師又要讓他們能較好地去完成“找次品”的任務，似乎有點“強人所難”。

3.“以己代生”式的教學

由于找次品的內容教師以前沒有接觸過，只通過閱讀《教師用書》得知找次品的方法。在進行教學時，教師很想把這個結論“告訴”學生，但又要讓學生在操作中感悟。由此，造成了像上述案例中沒有目的、沒有歸納提升、沒有層次的操作，在臨近下課，教師不得不把結論告訴學生。這是一種典型的“以己代生”的思維方式，也是不了解學生的結果。教師在課前認為內容比較簡單，學生能比較容易理解、掌握，在這種“想當然”的思想下進行的教學肯定是低效的，甚至是無效的。

由于上述原因，使學生在缺乏數學思維的操作、探究的基礎上，無法積累明確的操作經驗，無法獲得切身的感悟，以致建模成為“空中樓閣”。

根據上面的反思，我重新設計了教學，在第二次試教中，效果明顯好于第一次。

【片斷一：孕伏分三份】

學習例1：這里有5瓶鈣片，其中1瓶少了3片，設法把它找出來。（說明：那個較輕一點的我們稱之為“次品”。討論方法得出：可以用天平把它找出來。）

師：至少稱幾次，一定能找出來？請你先思考，再用圖和文字把你的想法表示出來。（生思考，繪圖）

生1：至少用2次一定能找出來。先給它們編號，從1號到5號。先在天平兩邊各放1號和2號，如果天平不平衡，就能找到；如果平衡，就在兩邊分別放3號和4號，如果天平不平衡，就能找到，如果平衡，那么5號就是了。

師：還有不同的想法嗎？

生2：我也是2次，不過想法和他不一樣。先分成3份，其中1、2號為一份，3、4號為一份，5號一個一份。在天平兩邊分別放1、2和3、4號，如果平衡，那么5號就是次品；如果不平衡，再稱輕的那兩個，在天平兩邊各放一個，肯定能找出。

師（引導）：同樣是用2次，可是他們分的方法卻不同。我們想一想，用天平要盡快、一定找到次品，每次淘汰的數量越多越好呢？還是越少越好？

生3（不以為然）：當然是越多越好了。

師：那么我們來比較這兩種分法的第一次稱（第一次都不能找到）。第一種是每個1份，共5份。第二種先是2個2個分，剩下的1個單獨分，共3份。第一次稱，哪種方法淘汰得快？

■

生3（短暫的思考后）：第一種淘汰2個，就是在天平上的2個；第二種是淘汰3個，就是天平上一邊都是正品的2個，再加上旁邊的一個。所以第二種淘汰得快。

師（追問）：是這樣的嗎？（板書：分5份第1次淘汰2個；分3份第1次淘汰3個）

師：都是用2次找到次品，可是由于分的方法不同，在找的過程中淘汰的個數卻是不一樣的。根據經驗想一想：如果鈣片數量越來越多，找出其中1瓶較輕的，你是一個一個分呢？還是分成3份？

生（大多數）：分成3份，這樣淘汰得多。（少數學生表示懷疑。）

評析：在這一片斷中，學生不但明確了“次品”的含義，而且根據知識和經驗，明白了“至少、一定”的意思，把運氣排除在外。而更為重要的是，當被測物品是5個時，盡管分成5份和分成3份找的次數都是2，教師并沒有就此收手，而讓學生結合圖示比較得出：分成3份，第1次找淘汰的個數比分成5份淘汰的要多，即逐群檢驗比逐個檢驗速度快。這更符合學生的生活經驗。同時，這里通過比較得出的結論用板書寫下來，目的是讓學生在無意識中形成一種定式：分成3份較好一些。盡管還有一些學生表示懷疑，但這種分法為接下去的學習提供了方法暗示。

【片斷二：明晰分三份】

師：剛才在5瓶鈣片中，用天平找1瓶較輕的，我們至少用2次，一定能夠找到。如果在6瓶鈣片中，有1瓶較輕的，用天平稱至少幾次，一定能找到？

生（脫口而出）：3次。

師：不要忙著回答，請用剛才的學習方法，來研究一下。（生思考、畫圖，師巡視）

生1：我是一個一個分的，先測①號和②號，平衡；再測③號和④號，平衡；最后測⑤號和⑥號，肯定找到。用了3次。

生2：我只用了2次。剛才在5瓶鈣片中找時，我們說分成3份找，淘汰得多、快。現在有6瓶，分成3份的話，正好2瓶1份，先測①②和③④，如果不平衡，假設在①②中，就測①②，肯定找到；如果平衡，就測⑤和⑥，肯定找到。（圖略）

（師心中暗暗高興，正想小結）

生3（急急地）：我也是兩次。我分成①②③和④⑤⑥兩份，第一次測，肯定能確定在哪一邊。接著就測那一邊的3個，再用1次也一定能找到。這樣共用2次。

師：大家對生3的回答有什么看法？

生4：如果分2份的話，第1次淘汰3個；如果分3份的話，第1次可以淘汰4個，還是分3份好。

生3：可我也是2次啊。

生5：這里是6瓶，要是7瓶的話，你怎么分2份啊？

（生3抓頭，回答不上）

師：剛才生4說，分成3份的話，第1次可以淘汰4個，分成2份的話，第1次只能淘汰3個，分成6份的話，第1次淘汰幾個？

生：2個。

師：你有沒有想過，為什么分成3份淘汰得多？這里是巧合呢，還是有規律的？

生6（迫不及待地）：我知道了，我知道了，天平有兩個托盤，各放1份，旁邊再放1份，這樣找，每次有2份被淘汰，就最快了。

師（抓住不放）：是這樣的嗎？

（給學生足夠的時間思考，慢慢地，點頭、若有所思的學生越來越多。）

評析：在5個被測物品的基礎上，再加1個，找到次品，至少測幾次一定能找到？學生的第一印象是3次。因為5個是2次，被測物品多了，找的次數當然也多了。是這樣的嗎？學生通過研究發現這是錯覺。在6個被測物品中找1個次品，是對教材進行解讀后補充進去的。用意有三：一是讓學生進一步明確，把被測物品分成3份，淘汰得越快。至此，學生已經初步形成“分三份”的意識。二是，讓學生初步感知，找的次數并不一定隨著被測物品數量的增多而增加。三是當數量是6時，分3份剛好平均分，這是非常重要的，為接下去研究在9個物品中找1個次品埋下伏筆。

【片斷三：明確三等分】

教學例2：在9個零件里有1個是次品（次品輕一些），用天平稱，至少稱幾次就一定能找出次品來？

生1：我分成3份：1個、1個、7個，……共要3次。

生2：我也分成3份：2個、2個、5個，……共要3次。

生3：我也分成3份：3個、3個、3個，……只要2次。

生4：我也分成3份：4個、4個、1個，……共要3次。

生5（欲言又止，在教師的鼓勵下）：我分成4份：2個、2個、2個、3個，……共用3次。

（先討論，排除生5的回答。）

師：同樣都是分成3份，可是找的次數卻不一樣，你發現什么？

生6（舉手的越來越多）：我發現9是3的倍數，當是3的倍數時，平均分最好了，這樣淘汰得快，所以用的次數就少了。剛才6個就是這樣的。

師（追問）：要不是3的倍數呢？

生6：也要分3份，讓其中的2份一樣多，另一份要最接近，就是只能差1個，這樣用天平測，淘汰得才快！（太好了！）

評析：至此，用天平找次品的方法學生已經明了！這是學生操作、畫圖、感悟的結果。這里的成功因素主要有兩點：一是暗示起到了較好的作用。從課始的討論“為什么分3份”，學生有了一個模糊的意識，隨著課的推進，這個意識逐漸清晰、明了，并主導著學生分的方法。二是腦中有天平。天平的特征是能同時稱2份，當學生理解這一特征時，他們就時時想天平：要想找得快，就要淘汰得快。當上面兩個因素合二為一時，學生輕易得出了找的方法。這樣的設計，目標明確，難點分化，層層推進，感悟充分，水到渠成！“三等分”（或分三份）的模型已在學生認知結構中清晰建立起來。

（責編 金 鈴）

師：大家對生3的回答有什么看法？

生4：如果分2份的話，第1次淘汰3個；如果分3份的話，第1次可以淘汰4個，還是分3份好。

生3：可我也是2次啊。

生5：這里是6瓶，要是7瓶的話，你怎么分2份啊？

（生3抓頭，回答不上）

師：剛才生4說，分成3份的話，第1次可以淘汰4個，分成2份的話，第1次只能淘汰3個，分成6份的話，第1次淘汰幾個？

生：2個。

師：你有沒有想過，為什么分成3份淘汰得多？這里是巧合呢，還是有規律的？

生6（迫不及待地）：我知道了，我知道了，天平有兩個托盤，各放1份，旁邊再放1份，這樣找，每次有2份被淘汰，就最快了。

師（抓住不放）：是這樣的嗎？

（給學生足夠的時間思考，慢慢地，點頭、若有所思的學生越來越多。）

評析：在5個被測物品的基礎上，再加1個，找到次品，至少測幾次一定能找到？學生的第一印象是3次。因為5個是2次，被測物品多了，找的次數當然也多了。是這樣的嗎？學生通過研究發現這是錯覺。在6個被測物品中找1個次品，是對教材進行解讀后補充進去的。用意有三：一是讓學生進一步明確，把被測物品分成3份，淘汰得越快。至此，學生已經初步形成“分三份”的意識。二是，讓學生初步感知，找的次數并不一定隨著被測物品數量的增多而增加。三是當數量是6時，分3份剛好平均分，這是非常重要的，為接下去研究在9個物品中找1個次品埋下伏筆。

【片斷三：明確三等分】

教學例2：在9個零件里有1個是次品（次品輕一些），用天平稱，至少稱幾次就一定能找出次品來？

生1：我分成3份：1個、1個、7個，……共要3次。

生2：我也分成3份：2個、2個、5個，……共要3次。

生3：我也分成3份：3個、3個、3個，……只要2次。

生4：我也分成3份：4個、4個、1個，……共要3次。

生5（欲言又止，在教師的鼓勵下）：我分成4份：2個、2個、2個、3個，……共用3次。

（先討論，排除生5的回答。）

師：同樣都是分成3份，可是找的次數卻不一樣，你發現什么？

生6（舉手的越來越多）：我發現9是3的倍數，當是3的倍數時，平均分最好了，這樣淘汰得快，所以用的次數就少了。剛才6個就是這樣的。

師（追問）：要不是3的倍數呢？

生6：也要分3份，讓其中的2份一樣多，另一份要最接近，就是只能差1個，這樣用天平測，淘汰得才快！（太好了！）

評析：至此，用天平找次品的方法學生已經明了！這是學生操作、畫圖、感悟的結果。這里的成功因素主要有兩點：一是暗示起到了較好的作用。從課始的討論“為什么分3份”，學生有了一個模糊的意識，隨著課的推進，這個意識逐漸清晰、明了，并主導著學生分的方法。二是腦中有天平。天平的特征是能同時稱2份，當學生理解這一特征時，他們就時時想天平：要想找得快，就要淘汰得快。當上面兩個因素合二為一時，學生輕易得出了找的方法。這樣的設計，目標明確，難點分化，層層推進，感悟充分，水到渠成！“三等分”（或分三份）的模型已在學生認知結構中清晰建立起來。

（責編 金 鈴）

師：大家對生3的回答有什么看法？

生4：如果分2份的話，第1次淘汰3個；如果分3份的話，第1次可以淘汰4個，還是分3份好。

生3：可我也是2次啊。

生5：這里是6瓶，要是7瓶的話，你怎么分2份啊？

（生3抓頭，回答不上）

師：剛才生4說，分成3份的話，第1次可以淘汰4個，分成2份的話，第1次只能淘汰3個，分成6份的話，第1次淘汰幾個？

生：2個。

師：你有沒有想過，為什么分成3份淘汰得多？這里是巧合呢，還是有規律的？

生6（迫不及待地）：我知道了，我知道了，天平有兩個托盤，各放1份，旁邊再放1份，這樣找，每次有2份被淘汰，就最快了。

師（抓住不放）：是這樣的嗎？

（給學生足夠的時間思考，慢慢地，點頭、若有所思的學生越來越多。）

評析：在5個被測物品的基礎上，再加1個，找到次品，至少測幾次一定能找到？學生的第一印象是3次。因為5個是2次，被測物品多了，找的次數當然也多了。是這樣的嗎？學生通過研究發現這是錯覺。在6個被測物品中找1個次品，是對教材進行解讀后補充進去的。用意有三：一是讓學生進一步明確，把被測物品分成3份，淘汰得越快。至此，學生已經初步形成“分三份”的意識。二是，讓學生初步感知，找的次數并不一定隨著被測物品數量的增多而增加。三是當數量是6時，分3份剛好平均分，這是非常重要的，為接下去研究在9個物品中找1個次品埋下伏筆。

【片斷三：明確三等分】

教學例2：在9個零件里有1個是次品（次品輕一些），用天平稱，至少稱幾次就一定能找出次品來？

生1：我分成3份：1個、1個、7個，……共要3次。

生2：我也分成3份：2個、2個、5個，……共要3次。

生3：我也分成3份：3個、3個、3個，……只要2次。

生4：我也分成3份：4個、4個、1個，……共要3次。

生5（欲言又止，在教師的鼓勵下）：我分成4份：2個、2個、2個、3個，……共用3次。

（先討論，排除生5的回答。）

師：同樣都是分成3份，可是找的次數卻不一樣，你發現什么？

生6（舉手的越來越多）：我發現9是3的倍數，當是3的倍數時，平均分最好了，這樣淘汰得快，所以用的次數就少了。剛才6個就是這樣的。

師（追問）：要不是3的倍數呢？

生6：也要分3份，讓其中的2份一樣多，另一份要最接近，就是只能差1個，這樣用天平測，淘汰得才快！（太好了！）

評析：至此，用天平找次品的方法學生已經明了！這是學生操作、畫圖、感悟的結果。這里的成功因素主要有兩點：一是暗示起到了較好的作用。從課始的討論“為什么分3份”，學生有了一個模糊的意識，隨著課的推進，這個意識逐漸清晰、明了，并主導著學生分的方法。二是腦中有天平。天平的特征是能同時稱2份，當學生理解這一特征時，他們就時時想天平：要想找得快，就要淘汰得快。當上面兩個因素合二為一時，學生輕易得出了找的方法。這樣的設計，目標明確，難點分化，層層推進，感悟充分，水到渠成！“三等分”（或分三份）的模型已在學生認知結構中清晰建立起來。

（責編 金 鈴）