激活經驗 引發內省 理解數學

葛敏輝

一、解讀“周長”

“周長”在數學學習中有著十分重要的地位。它的本質意義可以理解為是封閉圖形一周的長度。但低段學生比較難理解這樣的意義，原因有二：

第一，周長是一種特殊的長度。我們知道，周長是屬于一維空間的，然而它卻存在于二維空間中，所以它很容易與形或面相混淆。兒童比較習慣根據自己的直觀視覺觀察，容易把“大小”拿來作為判斷周長的依據，很難把圖形的“周長”歸納于“長度”的大家庭中。

第二，因為周長是指一周的長度，這“一周”的意義對于兒童來說，有著豐富的個性化理解，有人理解為是一星期，有人認為一個周期，也有的理解為是周圍……要剔除非本質的屬性，把握住概念中的本質內涵，對于兒童來說似乎比較困難。

各版本教材在編排這一內容時，都強調通過看一看、描一描、摸一摸等活動來認識周長。這雖然符合兒童的數學學習規律，但細細想來，還是存在著一些困惑。例如，如果只是觀察，沒有比較歸納，哪怕是有再多的實例，也只是量的疊加，而非質的豐富，也就沒有真正意義上的抽象；如果只是操作，沒有思維參與、沒有內省，盡管五官都動起來，學生也可以“依樣畫葫蘆”，以至于沒有準確理解概念的本質意義。那么如何才能讓學生有了觀察還會自主歸納，有了操作還會體驗內省呢？我們需要為教學尋找一個支點。

二、尋找支點

陶行知先生曾說過：“教育只有通過生活才能產生作用并真正成為教育。”事實上許多數學概念正是從生活形象中抽象出本質特征而形成的。周長這一概念也不例外，其核心意義“一周的長度”，兒童在生活體驗中已經積累了豐富的經驗。比如，學生每天在學校繞操場跑步，經常陪爸爸媽媽繞公園散步，買褲子時要量腰圍，等等。只是在他們的理解中，這種經驗一般以“一圈的長度”來表述。可見，學生在學習周長之前并不是一張白紙，他們有著豐富的生活經驗，如何利用好這些生長點，實現經驗與數學的對接，引導學生將經驗數學提升為學科數學，是我們教師需要思考和努力的。

因此，從學生的經驗出發，讓學生經歷參與、反思、內化、運用等數學活動，實現反省經驗、改造經驗，豐富經驗的目的，從而達到對數學概念本質意義的理解，是我們組織教學的支點！

三、教學實踐

有了以上的分析和思考，我設計并教學了“周長的認識”一課，現擷取幾個教學片斷并加以分析，以期能與同行交流、探討。

1.激活經驗

師（板書：長度）：以前學過嗎？說說看，長度的知識你已經學會了哪些？

生1：我們學過了米、分米、厘米這些長度單位。

生2：我們學過了可以用尺子來測量長度。

師：這里有兩根電線，哪一根電線長一些？

投影：

第1根：■

第2根： ■

生3：第1根電線長一些。因為它現在是彎的，把它拉直了就一定比第2根電線長。

師：今天我們要來認識一種特殊的長度。（板書：周長）

師：誰能來解釋一下“周長”是什么意思？

生4：周長是一星期的時間。

生5：周長應該是指一圈的長度。

師：你們覺得哪一種理解在這里比較合適？你能不能舉個例子說說“一圈的長度”什么意思？

生6：我們繞操場跑一圈，操場一圈的長度是200米。

師：怎樣跑就是操場的一圈？

生7：從哪里開始跑，跑回到起跑的地方就剛好是一圈。

師：你在哪還經歷過這樣的一圈？

生8：我每天吃過晚飯要和爸爸去小區散步，繞小區走一圈。

生9：繞公園走也有一圈，教室也有一圈……

師：操場上跑一圈，這一圈也可以叫做一周；小區里的一圈，教室里跑一圈也叫一周……所以你們說的“一圈”數學上一般叫“一周”，一周的長度就是一圈的長度，叫周長。

生（齊讀）：一周的長度是周長。

[分析與思考]教師在一開始就幫助學生回憶起關于長度的經驗，目的是為后續理解在二維空間中的圖形的周長其實質與一維空間中的長度的意義相同。周長因為是“一周的長度”，因此其第二個核心意義就是“一周”，通過喚醒學生在生活中跑步、散步、買褲子量腰圍的經驗，抽取出其相同的屬性，即“一圈”。對于一圈，學生完全可以找到很多經驗來理解。有了這樣的領悟，由此可使所有的學生在自己原有的經驗基礎上開始轉化。從領悟到轉化，這就實現了經驗向數學的對接，符合兒童的認識規律。

2.感知周長

師：現在按你的理解，請判斷：螞蟻爬過的路線長度是這片桑葉的周長嗎？（如圖1）。■

生1：不是。因為螞蟻沒有爬回到起點，這樣就沒有一周。

生2：要從起點出發回到起點。

師（投影第二只螞蟻爬。如圖2）：這個呢？■

生：不是。

師：已經爬回到起點了，為什么還不是啊？

生3：它爬到里面去了，這樣不是桑葉的周長。

生4：應該在桑葉的邊緣爬，再回到起點就是了。

師：沿著邊緣爬的路線我們可以叫做“邊線”。（投影第三只螞蟻爬，如圖3）■沿著邊線爬，回到起點這樣正好是一周，這一周的長度就是這片桑葉的周長。（學生動手指一指）

師：靜靜地想一想，那你覺得哪張葉子一周的長度長一些？

生5：桑葉的周長長一些。因為它大一點。

生6：楓葉的周長長一些。因為它的邊線有很多曲折。

師：好像都有道理，有什么辦法能比一比？

生7：我們可以把它們一周的長度拉直來比一比。

師演示兩張樹葉邊線拉直的圖進行比較（如圖4）。得出結論：楓葉的周長長一些。

■

師：通過剛才的比較，你發現了什么？

生8：面大也不一定周長長一些。

生9：周長是一周的長度，不看里面的。

生10：邊線越曲折，它的周長會越長。

……

[分析與思考]研究表明，為學生提供有層次性的、與數學本質一樣的活動情境，讓學生獲得足夠的替代性經驗，可以有效地幫助學生從現實經驗中抽象出數學概念和結構。因此，教師安排了觀察螞蟻爬桑葉來讓學生思考螞蟻爬過的路線長度是不是這片桑葉的周長，很好地使每一個學生在參與觀察、思考、交流的活動中，獲得具體經驗，即要從起點回到起點、要繞邊線，實現了對自己生活經驗的加工改造。然后再讓學生經歷指一指、比一比的活動，促進他們把獲得的經驗進行內化，進一步獲得了合乎邏輯的、抽象的經驗，即周長的實質是一周的長度。把一周的邊線拉直就是以前的長度知識，亦可測量、比較，打通了新舊知識間的聯系。

3.理解本質

師：我們還學過一些平面圖形。

■

圖4

師：你能指出這些圖形（如圖4）的周長嗎？指給同桌看一看。

師：誰上來指長方形的給大家看一看？（讓一名學生上講臺指）

師：有跟他指的不一樣的嗎？（不同指法展示）

師：他們剛才哪里不一樣？

生1：他們指的方向不一樣。

生2：他們指的起點也不一樣。

師：為什么他們指的方向和起點都不一樣也都可以呢？

生3：因為他們都指了長方形的一周。

師：有人說圓這個圖形很難指的，你知道為什么嗎？

生4：我們不知道從哪里開始，指的時候有可能指過頭了，或者還沒有到起點就停下來了。

師：有什么辦法克服嗎？

生5：做個起點的記號。

師：誰來試一試？（學生演示）

師：根據你現在對周長的理解，你覺得下面這個圖形有周長嗎？

■

生6：有周長。

生7：沒有周長。

師：說說你們的想法？

生8：沒有周長。因為回不到起點了。

生9：這個圖形有開口，沒有一周。

師：那你能把這個沒有周長的圖形變成一個有周長的圖形嗎？

（展示學生的作品，如圖5）

■

圖5

師：看來只有像這樣沒有缺口的圖形才有“周長”。像這樣的圖形我們簡稱為封閉圖形（板書：封閉圖形）。只有封閉圖形才有一周的長度。

[分析與思考]對一個概念本質屬性的準確把握，不僅需要豐富的正例，也需要通過將其和反例進行比較，才能剔除非本質的屬性，從而理解概念的本質意義。因此，雖然教師安排了指一指已學過的平面圖形的周長在哪，這樣的活動可以讓學生獲得豐富的正例經驗，但這種經驗很容易受到畫圖經驗的干擾。因為兒童天生喜歡畫圖，在操作時他不一定真正理解并運用周長的本質屬性，而可能只是“照形畫形”。基于這樣的思考，教師安排了比較兩位學生指長方形周長所在的邊的異同和思考圓的周長怎么指的情境，目的是為了排除畫圖經驗的干擾，突出周長概念的本質屬性，即一周的長度。同時，再設置一個反例來引發學生回顧、反思、比較，這可以促使學生把內隱的經驗知識外顯化，在反省、運用已有經驗的過程中實現創造和生長，學生通過同化或順應的方式把周長概念的核心意義建立在自己的認識世界里。可見，加強反省、概括和運用的活動，可以很好地幫助學生理解概念的本質意義。

4.鞏固運用

師：你能用彩筆描出城堡圖（如圖6）周長所在的邊嗎？

■

（展示學生的作品，如圖7）

■

師：這里有兩位同學的描法，你支持誰的想法？

生（交流后得出結論）：要沿圖形的邊線描。

師：現在有一張長方形紙，從這張長方形紙上像這樣剪下一個小正方形（如圖8），你覺得與原來的長方形相比，哪幅圖的“周長”長一些？

■

生1：第（1） 幅圖的周長長一些。

生2：一樣長。

師：其他同學支持誰的觀點？說說你的理由。

生3：我也認為是一樣長。因為可以通過平移的辦法把第（2）幅圖的周長變成和第（1）幅圖一樣。（演示）

師：如果像這樣剪掉一個正方形（如圖9），這時與原來的長方形相比，哪幅圖的周長長一些？

■

生：第（4）幅的周長長一些。

師：這時怎么又不一樣長了？（交流后演示）

師：通過剛才的比較，你發現了什么？

生1：長方形剪掉一個正方形，周長沒有減少。

生2：有時會一樣長，有時還是剪掉后的周長長一些。

生3：我們不能被外表欺騙，因為周長是圖形一周的長度。

……

[分析與思考]通過變式的練習可以幫助學生深刻理解概念的意義。教師通過設置找組合圖形的周長來激發學生的探究欲和思考力，使學生在運用知識來解決新問題的過程中凸顯思維的張力。因為我們的教學絕不僅僅只是為了實現知識的達成，數學思維能力的培養同樣要滲透在教學過程中。教師最后安排了“在一張長方形紙上剪掉一個正方形，比較這時的周長與原來圖形的周長”的學習活動，是為了通過“面積”的大小變化來干擾學生對“周長”的判斷，試圖進一步拓展學生對“周長”概念的本質理解，以便能區分“周長”與“面積”的不同內涵。學生在觀察、比較、想象、操作、歸納等活動中，不僅積累了豐富的認知經驗，同時也發展了空間觀念和抽象思維。最后學生的小結更讓我們欣喜地看到，他們在這樣的過程中也收獲了情感體驗和認識的提升。

（責編 金 鈴）

生8：面大也不一定周長長一些。

生9：周長是一周的長度，不看里面的。

生10：邊線越曲折，它的周長會越長。

……

[分析與思考]研究表明，為學生提供有層次性的、與數學本質一樣的活動情境，讓學生獲得足夠的替代性經驗，可以有效地幫助學生從現實經驗中抽象出數學概念和結構。因此，教師安排了觀察螞蟻爬桑葉來讓學生思考螞蟻爬過的路線長度是不是這片桑葉的周長，很好地使每一個學生在參與觀察、思考、交流的活動中，獲得具體經驗，即要從起點回到起點、要繞邊線，實現了對自己生活經驗的加工改造。然后再讓學生經歷指一指、比一比的活動，促進他們把獲得的經驗進行內化，進一步獲得了合乎邏輯的、抽象的經驗，即周長的實質是一周的長度。把一周的邊線拉直就是以前的長度知識，亦可測量、比較，打通了新舊知識間的聯系。

3.理解本質

師：我們還學過一些平面圖形。

■

圖4

師：你能指出這些圖形（如圖4）的周長嗎？指給同桌看一看。

師：誰上來指長方形的給大家看一看？（讓一名學生上講臺指）

師：有跟他指的不一樣的嗎？（不同指法展示）

師：他們剛才哪里不一樣？

生1：他們指的方向不一樣。

生2：他們指的起點也不一樣。

師：為什么他們指的方向和起點都不一樣也都可以呢？

生3：因為他們都指了長方形的一周。

師：有人說圓這個圖形很難指的，你知道為什么嗎？

生4：我們不知道從哪里開始，指的時候有可能指過頭了，或者還沒有到起點就停下來了。

師：有什么辦法克服嗎？

生5：做個起點的記號。

師：誰來試一試？（學生演示）

師：根據你現在對周長的理解，你覺得下面這個圖形有周長嗎？

■

生6：有周長。

生7：沒有周長。

師：說說你們的想法？

生8：沒有周長。因為回不到起點了。

生9：這個圖形有開口，沒有一周。

師：那你能把這個沒有周長的圖形變成一個有周長的圖形嗎？

（展示學生的作品，如圖5）

■

圖5

師：看來只有像這樣沒有缺口的圖形才有“周長”。像這樣的圖形我們簡稱為封閉圖形（板書：封閉圖形）。只有封閉圖形才有一周的長度。

[分析與思考]對一個概念本質屬性的準確把握，不僅需要豐富的正例，也需要通過將其和反例進行比較，才能剔除非本質的屬性，從而理解概念的本質意義。因此，雖然教師安排了指一指已學過的平面圖形的周長在哪，這樣的活動可以讓學生獲得豐富的正例經驗，但這種經驗很容易受到畫圖經驗的干擾。因為兒童天生喜歡畫圖，在操作時他不一定真正理解并運用周長的本質屬性，而可能只是“照形畫形”。基于這樣的思考，教師安排了比較兩位學生指長方形周長所在的邊的異同和思考圓的周長怎么指的情境，目的是為了排除畫圖經驗的干擾，突出周長概念的本質屬性，即一周的長度。同時，再設置一個反例來引發學生回顧、反思、比較，這可以促使學生把內隱的經驗知識外顯化，在反省、運用已有經驗的過程中實現創造和生長，學生通過同化或順應的方式把周長概念的核心意義建立在自己的認識世界里。可見，加強反省、概括和運用的活動，可以很好地幫助學生理解概念的本質意義。

4.鞏固運用

師：你能用彩筆描出城堡圖（如圖6）周長所在的邊嗎？

■

（展示學生的作品，如圖7）

■

師：這里有兩位同學的描法，你支持誰的想法？

生（交流后得出結論）：要沿圖形的邊線描。

師：現在有一張長方形紙，從這張長方形紙上像這樣剪下一個小正方形（如圖8），你覺得與原來的長方形相比，哪幅圖的“周長”長一些？

■

生1：第（1） 幅圖的周長長一些。

生2：一樣長。

師：其他同學支持誰的觀點？說說你的理由。

生3：我也認為是一樣長。因為可以通過平移的辦法把第（2）幅圖的周長變成和第（1）幅圖一樣。（演示）

師：如果像這樣剪掉一個正方形（如圖9），這時與原來的長方形相比，哪幅圖的周長長一些？

■

生：第（4）幅的周長長一些。

師：這時怎么又不一樣長了？（交流后演示）

師：通過剛才的比較，你發現了什么？

生1：長方形剪掉一個正方形，周長沒有減少。

生2：有時會一樣長，有時還是剪掉后的周長長一些。

生3：我們不能被外表欺騙，因為周長是圖形一周的長度。

……

[分析與思考]通過變式的練習可以幫助學生深刻理解概念的意義。教師通過設置找組合圖形的周長來激發學生的探究欲和思考力，使學生在運用知識來解決新問題的過程中凸顯思維的張力。因為我們的教學絕不僅僅只是為了實現知識的達成，數學思維能力的培養同樣要滲透在教學過程中。教師最后安排了“在一張長方形紙上剪掉一個正方形，比較這時的周長與原來圖形的周長”的學習活動，是為了通過“面積”的大小變化來干擾學生對“周長”的判斷，試圖進一步拓展學生對“周長”概念的本質理解，以便能區分“周長”與“面積”的不同內涵。學生在觀察、比較、想象、操作、歸納等活動中，不僅積累了豐富的認知經驗，同時也發展了空間觀念和抽象思維。最后學生的小結更讓我們欣喜地看到，他們在這樣的過程中也收獲了情感體驗和認識的提升。

（責編 金 鈴）

生8：面大也不一定周長長一些。

生9：周長是一周的長度，不看里面的。

生10：邊線越曲折，它的周長會越長。

……

[分析與思考]研究表明，為學生提供有層次性的、與數學本質一樣的活動情境，讓學生獲得足夠的替代性經驗，可以有效地幫助學生從現實經驗中抽象出數學概念和結構。因此，教師安排了觀察螞蟻爬桑葉來讓學生思考螞蟻爬過的路線長度是不是這片桑葉的周長，很好地使每一個學生在參與觀察、思考、交流的活動中，獲得具體經驗，即要從起點回到起點、要繞邊線，實現了對自己生活經驗的加工改造。然后再讓學生經歷指一指、比一比的活動，促進他們把獲得的經驗進行內化，進一步獲得了合乎邏輯的、抽象的經驗，即周長的實質是一周的長度。把一周的邊線拉直就是以前的長度知識，亦可測量、比較，打通了新舊知識間的聯系。

3.理解本質

師：我們還學過一些平面圖形。

■

圖4

師：你能指出這些圖形（如圖4）的周長嗎？指給同桌看一看。

師：誰上來指長方形的給大家看一看？（讓一名學生上講臺指）

師：有跟他指的不一樣的嗎？（不同指法展示）

師：他們剛才哪里不一樣？

生1：他們指的方向不一樣。

生2：他們指的起點也不一樣。

師：為什么他們指的方向和起點都不一樣也都可以呢？

生3：因為他們都指了長方形的一周。

師：有人說圓這個圖形很難指的，你知道為什么嗎？

生4：我們不知道從哪里開始，指的時候有可能指過頭了，或者還沒有到起點就停下來了。

師：有什么辦法克服嗎？

生5：做個起點的記號。

師：誰來試一試？（學生演示）

師：根據你現在對周長的理解，你覺得下面這個圖形有周長嗎？

■

生6：有周長。

生7：沒有周長。

師：說說你們的想法？

生8：沒有周長。因為回不到起點了。

生9：這個圖形有開口，沒有一周。

師：那你能把這個沒有周長的圖形變成一個有周長的圖形嗎？

（展示學生的作品，如圖5）

■

圖5

師：看來只有像這樣沒有缺口的圖形才有“周長”。像這樣的圖形我們簡稱為封閉圖形（板書：封閉圖形）。只有封閉圖形才有一周的長度。

[分析與思考]對一個概念本質屬性的準確把握，不僅需要豐富的正例，也需要通過將其和反例進行比較，才能剔除非本質的屬性，從而理解概念的本質意義。因此，雖然教師安排了指一指已學過的平面圖形的周長在哪，這樣的活動可以讓學生獲得豐富的正例經驗，但這種經驗很容易受到畫圖經驗的干擾。因為兒童天生喜歡畫圖，在操作時他不一定真正理解并運用周長的本質屬性，而可能只是“照形畫形”。基于這樣的思考，教師安排了比較兩位學生指長方形周長所在的邊的異同和思考圓的周長怎么指的情境，目的是為了排除畫圖經驗的干擾，突出周長概念的本質屬性，即一周的長度。同時，再設置一個反例來引發學生回顧、反思、比較，這可以促使學生把內隱的經驗知識外顯化，在反省、運用已有經驗的過程中實現創造和生長，學生通過同化或順應的方式把周長概念的核心意義建立在自己的認識世界里。可見，加強反省、概括和運用的活動，可以很好地幫助學生理解概念的本質意義。

4.鞏固運用

師：你能用彩筆描出城堡圖（如圖6）周長所在的邊嗎？

■

（展示學生的作品，如圖7）

■

師：這里有兩位同學的描法，你支持誰的想法？

生（交流后得出結論）：要沿圖形的邊線描。

師：現在有一張長方形紙，從這張長方形紙上像這樣剪下一個小正方形（如圖8），你覺得與原來的長方形相比，哪幅圖的“周長”長一些？

■

生1：第（1） 幅圖的周長長一些。

生2：一樣長。

師：其他同學支持誰的觀點？說說你的理由。

生3：我也認為是一樣長。因為可以通過平移的辦法把第（2）幅圖的周長變成和第（1）幅圖一樣。（演示）

師：如果像這樣剪掉一個正方形（如圖9），這時與原來的長方形相比，哪幅圖的周長長一些？

■

生：第（4）幅的周長長一些。

師：這時怎么又不一樣長了？（交流后演示）

師：通過剛才的比較，你發現了什么？

生1：長方形剪掉一個正方形，周長沒有減少。

生2：有時會一樣長，有時還是剪掉后的周長長一些。

生3：我們不能被外表欺騙，因為周長是圖形一周的長度。

……

[分析與思考]通過變式的練習可以幫助學生深刻理解概念的意義。教師通過設置找組合圖形的周長來激發學生的探究欲和思考力，使學生在運用知識來解決新問題的過程中凸顯思維的張力。因為我們的教學絕不僅僅只是為了實現知識的達成，數學思維能力的培養同樣要滲透在教學過程中。教師最后安排了“在一張長方形紙上剪掉一個正方形，比較這時的周長與原來圖形的周長”的學習活動，是為了通過“面積”的大小變化來干擾學生對“周長”的判斷，試圖進一步拓展學生對“周長”概念的本質理解，以便能區分“周長”與“面積”的不同內涵。學生在觀察、比較、想象、操作、歸納等活動中，不僅積累了豐富的認知經驗，同時也發展了空間觀念和抽象思維。最后學生的小結更讓我們欣喜地看到，他們在這樣的過程中也收獲了情感體驗和認識的提升。

（責編 金 鈴）