聲矢量陣陣元姿態誤差自校正算法研究

梁國龍，張柯，安少軍，范展

(1.哈爾濱工程大學 水聲技術重點實驗室，黑龍江 哈爾濱150001;2.哈爾濱工程大學 水聲工程學院，黑龍江 哈爾濱150001)

0 引言

近20年來，聲矢量傳感器一直是國內外水聲技術的研究熱點之一。與標量傳感器相比，聲矢量傳感器能夠同步、共點測量聲場中任一點處的聲壓和質點振速信息，這為新的信號處理方法提供了可能;單個聲矢量傳感器即可對目標進行全空間無模糊定向;聲矢量傳感器具有抗各向同性噪聲干擾的能力?；谝陨细鼽c，聲矢量傳感器陣列得到了國內外學者廣泛的關注和研究，基于聲矢量陣的波束形成器及高分辨方位估計算法等研究成果不斷涌現［1-7］，其中包括Capon 算法［1-3］、ML 算法［4］、MUSIC 類算法［5］和ESPRIT 算法［6-7］等。但是，以上算法均是在理想的聲矢量陣陣列流形的基礎上進行研究的。在實際的工程應用中，由于聲矢量陣陣列誤差如陣元位置誤差、幅相誤差、互耦及陣元姿態誤差的存在，這些算法的波達方向(DOA)估計性能將會嚴重下降，甚至失效。所以，在使用聲矢量陣進行DOA估計之前，陣列誤差的校正工作是不可避免的。

在聲矢量傳感器陣列誤差校正方面，國內外學者的研究成果并不多見［8-11］。文獻［8］推導了存在陣元位置誤差、幅相誤差及陣元姿態誤差情況下聲矢量陣波束響應的理論表達式，并就各類陣列誤差對聲矢量陣測向性能的影響做了簡要的理論分析，但未給出任何陣列誤差校正的方法。文獻［9］通過設置方位精確已知的輔助聲源對聲矢量陣相位誤差進行校正，其基本原理與標量陣有源校正算法相同。針對聲矢量陣陣元位置誤差校正問題，文獻［10］利用單矢量傳感器測向技術得到兩個方位未知的Disjoint 源的方位，然后運用特征分解法構造方程組求解陣列位置誤差參數，該方法誤差參數估計性能取決于單矢量傳感器對Disjoint 源的方位估計精度。在可查閱的文獻中，僅文獻［11］對聲矢量陣特有的陣元姿態誤差進行了研究，文中建立了二維聲矢量陣平面旋轉擾動產生的陣元姿態誤差模型，并提出了陣元姿態誤差的有源校正算法。但是，在實際的工作環境中，校正源方位不可能精確已知，且某些特殊陣列(如拖曳陣及柔性陣)的陣元姿態誤差受風浪的影響幾乎是時變的，故有源校正方法并不能滿足實際的工程需求。

針對聲矢量陣陣元姿態誤差校正問題，本文就陣元姿態誤差對聲矢量陣測向性能的影響進行了理論研究，并提出一種陣元姿態誤差的自校正算法，該方法能夠實現聲矢量陣陣元姿態誤差和信源DOA的聯合估計。

1 陣元姿態誤差有源校正算法

考慮二維平面中，M 個陣元構成的聲矢量傳感器陣列放置于各向同性的噪聲環境中，遠場有K 個方位角為θk(k =1，2，…，K)的窄帶平面波入射，則聲矢量陣理想的陣列輸出為

式中:X(t)=［x1(t)，x2(t)，…，xM(t)］T為M×1 維觀測的數據向量;S(t)=［s1(t)，s2(t)，…，sK(t)］T為零均值復高斯信號向量;N (t )=［n1(t)，n2(t)，…，nM(t)］T為M×1 維零均值高斯白噪聲向量，且信號與噪聲相互獨立;A(θ)=［a(θ1，r)，a(θ2，r)，…，a(θK，r)］為3M×K 維理想的陣列導向矢量矩陣，其中a(θk，r)=ap(θk，r)?uk，?表示Kron 積，ap(θk，r)為聲矢量陣聲壓通道的導向矢量，r 為聲矢量陣的陣元位置矢量，uk=［1 cos θksin θk］T為第k 個聲源的單矢量傳感器響應矢量。

圖1 陣元姿態誤差示意圖Fig.1 The attitude error of array sensor

當聲矢量陣中的陣元受到外力而產生二維平面旋轉擾動時，其第m(m=1，2，…，M)個陣元將出現擾動角度為αm姿態誤差，如圖1中所示。此時，第m 個聲矢量傳感器的響應矢量將變為

式中:fc(αm)和fs(αm)分別表示cos αm和sin αm泰勒展開式的高階項。當聲矢量陣存在陣元姿態誤差時，其實際的陣列輸出為

式中:

根據MUSIC 算法原理，可得

式中:H 為共軛轉置;Un為噪聲子空間，由聲矢量陣協方差矩陣的M-K 個小特征值對應的特征向量構成。(7)式可表示為

由(8)式可得到如下關系式:

式中:Π 和Ψ 分別表示(9)式中左邊和右邊的已知矩陣。由(10)式計算出，繼而可得到平面擾動角度正、余弦值的估計值sin和sin(n=1，2，…，∞)，由cos和sin構造姿態誤差矩陣即可對聲矢量陣陣元姿態誤差進行校正，故cos和sin的估計精度決定了陣元姿態誤差校正算法的性能。

2 陣元姿態誤差對波束圖的影響

波束圖是單位功率平面波的空間響應，它只與陣列的導向矢量有關，能夠反映波束形成器及子空間類算法的測向性能。對于存在陣元姿態誤差的聲矢量陣而言，其波束響應為

注意，此時αm是弧度。當αm較小時，可去掉三角函數泰勒級數展開的高階項，可得

若{α1，α2，…，αM}服從均值為δ、方差為σ2的高斯分布，則(13)式可化簡為

由(14)式可得以下結論:

1)聲矢量陣波束圖的主瓣位置及幅度都會受到陣元姿態誤差的影響;

2)當δ=0 時，波束圖的主瓣位置不變，其幅度僅受方差σ2的影響;

3)若δ 和σ2不變，當M 增加時，陣元姿態誤差對波束圖主瓣位置的影響將降低。

3 陣元姿態誤差自校正算法

利用MUSIC 算法的思想，本文提出一種聲矢量陣陣元姿態誤差自校正算法。當聲矢量陣存在陣元姿態誤差且信源方位未知時，可通過將(15)式最小化實現信源方位和陣元姿態誤差參數的聯合估計。

(15)式為自校正算法的目標函數，由子空間原理可知:無噪聲情況下，當J=0 時，可準確得到方位角θk(k=1，2，…，K)和陣元姿態誤差矩陣Φ;當有噪聲存在時，最小化J，可得到相應的估計值和下面給出陣元姿態誤差自校正算法的迭代過程:

1)初始化:設i =0，令α1=α2=… =αM=0 或由已知的陣元擾動信息得到{α1，α2，…，αM}，由此得到陣元姿態誤差向量及陣元姿態誤差矩陣;

2)通過MUSIC 算法由下式獲得K 個信源角度的估計值(k=1，2，…，K)，由此可得到相應的理想導向矢量a(，r)和Ω)，從而得到和，

4)計算

由以上迭代過程可知，當^J 收斂時，其迭代過程才會終止，且該迭代算法的性能和收斂速度取決于步驟2 中信源方位的初始估計值，初始估計值越接近真值，則算法的收斂速度越快，初始估計值與真值偏差的大小取決于陣元姿態誤差的大小。由(14)式可知，當M?max (δ，σ)時，聲矢量陣方位估計偏差不大，上述迭代算法將具有較快的收斂速度。從另一個角度考慮，由于陣元姿態誤差只存在于聲矢量陣的振速通道中，對聲壓通道并無影響，當陣元姿態誤差較小時，聲矢量陣的方位估計的偏差不大，此時該自校正算法具有較高的參數估計精度和較快的收斂速度。該自校正算法的迭代過程是非線性的，其適用條件很難用理論推導進行詳細的說明，經大量仿真實驗表明，本文算法擁有較為寬松的適用條件:

1)由于聲矢量陣的導向矢量不具有范德蒙特性［12］，故本文算法適用于聲矢量均勻線列陣;

2)信源數目(非Disjoint 源)需滿足2≤K ＜M.

4 計算機仿真

4.1 陣元姿態誤差對波束圖及MUSIC 算法的影響

圖2表示不同陣元姿態誤差及陣元數情況下聲矢量陣的波束圖，目標方位θ0= 0°，波束響應取20lg (|P(θ)|).在圖2(a)中，6 元聲矢量陣陣元擾動角度的均值δθ=50°，標準差σθ=50°，從圖中可以看出，在該誤差條件下，聲矢量陣波束圖主瓣的幅度將下降明顯，并且主瓣的極大值點偏差了0.7°;在圖2(b)中，δθ=0°，其他仿真條件不變，圖中波束圖主瓣幅度略有下降，而主瓣的極大值點幾乎無偏差;在圖2(c)中，聲矢量陣陣元數為10，其他條件同圖2(a)，如圖所示，聲矢量陣波束圖主瓣極大值點只偏差了0.2°.上述仿真結果表明，δθ對主瓣極大點值偏差的影響較大，當陣元數增加時，主瓣極大值點偏差將減小，這與文中的結論一致。

圖3表示陣元姿態誤差對MUSIC 算法的影響，仿真條件為:6 元聲矢量均勻線陣，陣元間距為半波長，兩個相互獨立的窄帶高斯信號，中心頻率為2 000 Hz，帶寬為40 Hz，它們的方位分別為θ1=-15°和θ2=20°，噪聲是與信號相互獨立的高斯白噪聲，信噪比為20 dB，快拍數為100.圖3(a)中，δθ=0°，σθ∈［0°，90°］，從圖中可以看出，MUSIC 譜的峰值隨著σθ的增大而減小。在圖3(b)中，δθ=20°，其他條件同圖3(a)，如圖所示，MUSIC 譜的峰值同樣隨著σθ的增大而減小，但是MUSIC 譜的初始峰值(σθ=0°時)僅為1.5 dB.在圖3(c)與圖3(d)中，δθ∈［0°，90°］，σθ分別為0°和20°，δθ∈［0°，90°］，MUSIC 譜隨δθ的變化情況分別與圖3(a)與圖3(b)中MUSIC 譜隨σθ的變化情況相似。從圖3可以看出，當δθ和σθ較大時，MUSIC 譜的峰值下降嚴重，但是MUSIC 算法估計的方位變化不大，故自校正算法DOA 估計的初始值偏差不大，所以本文自校正算法能夠擁有較快的收斂速度和DOA 估計精度。

4.2 陣元姿態誤差自校正算法性能仿真分析

圖2 不同條件下的聲矢量陣波束圖Fig.2 Beam patterns of AVSA in different conditions

在圖4中，δθ=80°，σθ=20°，信噪比為10 dB，其他仿真條件同圖3.在圖4(a)中，當i =0 時，陣列處于未校正狀態，MUSIC 譜峰值約為-9 dB，此時MUSIC 算法估計出的方位偏差較大;當i =1 時，MUSIC 譜峰值約為14 dB，譜峰較尖銳，方位估計偏差較小;當i =2 時，MUSIC 譜峰值上升為19 dB，譜峰已非常尖銳，方位估計精度與有源校正基本相同;當i=3 時，自校正算法收斂，自校正算法(i =3)、自校正算法(i=2)以及有源校正后的陣列MUSIC 譜圖曲線已經重合在一起，在圖4(b)(圖4(a)中G 處放大圖)中可以非常清楚地看出這3 條曲線。另外，當σθ不變，δθ減小時(如δθ=30°)，自校正算法只需4 次迭代就能夠收斂，這表明該自校正算法具有較快的收斂速度。

圖3 陣元姿態誤差對MUSIC 算法的影響Fig.3 The influence of attitude errors on MUSIC algorithm

圖4 有源校正與自校正MUSIC 譜Fig.4 MUSIC spectra of off-calibration andself-calibration

為分析自校正算法對聲矢量陣陣元姿態誤差參數及DOA 的估計性能，定義陣元擾動角度正、余弦估計值及DOA 估計值的均方根誤差(RMSE)分別為

式中:N 為蒙特卡洛仿真次數。

圖5表示不同信噪比條件下有源校正及自校正算法的RMSEsc隨快拍數變化的曲線圖。其中，N =100，信噪比分別為5 dB、10 dB、15 dB 和20 dB，快拍數從20 變化到200，間隔為20，其他仿真條件同圖4.從圖中可以看出，在不同信噪比及快拍數的條件下，兩種算法的RMSEsc曲線幾乎完全重合，這表明自校正算法擁有與有源校正算法相同的陣元姿態誤差參數估計性能，這與圖4中的仿真結果一致。

圖5 RMSEsc隨快拍數的變化曲線圖Fig.5 RMSEsc versus SNR and the number of snapshots

圖6表示不同信噪比情況下不存在陣元姿態誤差時MUSIC 算法及存在陣元姿態誤差(δθ=80°，σθ=20°)時自校正算法的RMSEθ隨快拍數的變化曲線圖，其中N=200，其他仿真條件同圖5.從圖中可以看出，在不同信噪比和快拍數條件下，自校正算法(存在陣元姿態誤差時)的DOA 估計精度略遜于無陣元姿態誤差時的MUSIC 算法，這表明本文自校正算法具有良好的信源DOA 估計性。

圖6 RMSEθ 隨快拍數的變化曲線圖Fig.6 RMSEθ versus SNR and the number of snapshots

5 結論

針對聲矢量陣陣元姿態誤差校正問題，理論分析了陣元姿態誤差對聲矢量陣波束圖的影響，得到了一些有價值的結論，并提出了一種聲矢量陣陣元姿態誤差自校正算法。該算法能夠實現陣元姿態誤差參數和信源方位的聯合估計，適用于聲矢量均勻線陣且具有較快的收斂速度。更重要的是，該自校正算法擁有與有源校正算法相近的陣元姿態誤差參數估計性能，并且該算法的DOA 估計精度與無誤差時的MUISC 算法相差無幾。在實際工程中，校正源方位很難準確獲得，對于某些特殊陣列(如拖曳陣及柔性陣)，陣元姿態誤差是時變的，故本文提出的自校正算法更符合實際的工程需求。

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