鏈式回轉彈倉的自適應魯棒控制

鄒權，錢林方，徐亞棟，蔣清山，劉艷輝

(1.南京理工大學 機械工程學院，江蘇 南京210094;2.齊齊哈爾北方機器有限公司，黑龍江 齊齊哈爾161000)

0 引言

鏈式回轉彈倉由各彈筒串聯而成，其作用是存儲彈丸并根據指令把指定彈丸轉送至彈倉取彈口。如果彈倉定位精度較差，將會給取彈帶來困難，甚至無法可靠取出彈丸，彈倉的定位精度對取彈可靠性有較大的影響。

隨著彈倉中彈丸數量的變化，彈倉的轉動慣量、庫倫摩擦力矩等將會發生較大的變化，滿載時彈倉的轉動慣量約為空載時的2 倍，庫倫摩擦力矩約為空載時的5 倍。即使在彈丸數量不變的情況下，彈倉的轉動慣量也會隨其角位置的變化而變化［1］，摩擦力矩也會隨潤滑條件、工作環境等的變化而變化。此外，彈倉采用鏈傳動結構，多邊形效應以及輪齒嚙合沖擊將會產生附加擾動力矩，且鏈輪齒數越少，附加擾動力矩越大。文獻［1］對鏈式回轉彈倉的動力學方程進行了線性化，提出了一種最優保性能控制算法，使用MATLAB 的LMI 工具箱獲得了定常狀態反饋控制律。文獻［2］根據滿意控制理論，通過狀態反饋配置閉環系統極點，使用MATLB 的NCD 工具箱對控制器參數進行優化，實現了旋轉彈倉的魯棒控制。當彈倉參數發生較大變化時，采用線性定常狀態反饋的控制性能可能會有所下降。

目前，處理模型不確定性的方法有H∞最優控制［3］、擾動觀測器［4］、滑模控制［5］等。自適應魯棒控制［6-7］(ARC)綜合了自適應控制技術和魯棒控制技術的優點，通過參數在線估計補償系統參數變化的影響，同時采用魯棒控制技術處理非線性不確定性的影響，能夠獲得期望的動態性能和穩態性能。文獻［8］針對一類具有參數時變以及非線性不確定性的直線電機位置伺服控制系統，考慮了高頻未建模動態的影響，設計了ARC 控制器，獲得了漸進跟蹤性能。文獻［9］針對一類直流力矩電機控制系統，考慮了庫倫摩擦和黏性摩擦的影響，通過參數在線估計補償了非線性摩擦，改善了控制性能。文獻［10］針對一類參數大范圍變化的直線電機控制系統，考慮了非線性摩擦的影響，針對不同情況分別設計了ARC 控制器，獲得了較好的控制效果。文獻［11］針對一類非線性不確定多輸入多輸出(MIMO)系統，設計了一種具有積分型滑模面的滑模控制器，減小了系統的穩態誤差。

本文受文獻［10 -11］的啟發，提出了一種具有積分型滑模面的自適應魯棒控制算法(ARC-ISS)。在常規ARC 的基礎上引入了積分型滑模面，減小了系統的穩態誤差。常規ARC 采用定常魯棒反饋增益，反饋增益大，系統響應快，但容易引起振蕩;反之，反饋增益小，系統穩定性好，但響應較慢。為了改善系統的控制性能，當誤差較大時，應采用較大的反饋增益以快速減小誤差;當誤差較小時，應采用較小的反饋增益以防止產生超調并抑制振蕩。本文在常規定常魯棒反饋增益的基礎上提出了一種非線性魯棒反饋增益，改善了系統的動態性能以及穩態性能，獲得了較好的控制效果。

1 數學建模及問題描述

鏈式回轉彈倉由工作在力矩控制模式下的永磁直流無刷電機驅動，忽略電流環動態，不考慮永磁直流無刷電機內部的工作方式，鏈式回轉彈倉的動力學方程可以寫為

式中:q 為彈倉主動鏈輪的角位移;u 為控制輸入力矩;J 為系統等效轉動慣量;B 為系統等效黏性摩擦系數;Δ 為不確定之和，包括高頻未建模動態、建模誤差、未知外部擾動以及其他難以建模的動態等;Tf()為非線性摩擦，一種工程上常用的非線性摩擦模型［8，10］可以表示為

式中:Tc為庫倫摩擦力矩;Ts為最大靜摩擦力矩;和ξ 為描述Stribeck 效應的參數;sgn(·)為符號函數，可以表示為

假設參考輸入信號yd有界，且滿足1 階導數和2 階導數均連續且有界，則本文研究的問題可看作:設計有界的控制輸入u，使得鏈式回轉彈倉的輸出角位移y 能夠跟蹤參考輸入信號yd，并且跟蹤誤差盡量小。

2 模型變換及基本假設

由(2)式可知，非線性摩擦在x2=0 處不連續，而永磁直流無刷電機不能輸出不連續力矩，因此無法使用(2)式補償非線性摩擦。為了解決上述問題，可以采用連續函數(x2)逼近(2)式［9-10］，(x2)定義為

式中:Af＞0為未知參數;Sf(x2)=2arctan(100x2)/π. 定義等效擾動則(3)式中的第2 個式子可寫為

假設等效擾動d 的標稱值為dn，定義未知參數向量集合

則由(3)式、(5)式和(6)式可得線性化模型:

考慮到實際系統中J、B、Af、d 均有界，且其邊界一般可知或可測，因此有如下假設:

假設1:未知參數集合θ 有界且其邊界已知，即存在已知常數θimin、θimax，使得

式 中:θimin= ［θ1min，θ2min，θ3min，θ4min］T;θimax=［θ1max，θ2max，θ3max，θ4max］T;不失一般性，θ1min＞0，θ2min＞0，θ3min＞0.

式中:‖·‖表示·的歐幾里德范數。

式中:Γ 為待定的正定對角矩陣;τ 為任意的自適應律;Proj^θ(θi)=［Proj^θ(θ1)…Proj^θ(θ4)］T為向量不連續投影算子［8，10］，其定義為

對于任意的自適應律τ，不連續投影算子(11)式具有以下性質［6-7］:

3 控制器設計

定義如下的積分型滑模面

式中:e=y-yd為位置誤差;λ ＞0 為待設計的控制器參數。由(13)式可知從滑模函數p 到位置輸出誤差e 的傳遞函數為

(14)式是一個穩定的傳遞函數，因此只要p 趨近于0，則e 也趨近于0，且其動態性能可由λ 調整。由(7)式和(13)式可得

考慮如下的ARC-ISS 控制律:

式中:ua為自適應模型補償項;us為待設計的魯棒控制項。把(16)式代入(15)式可得

魯棒控制律us由兩部分組成，可以表示為

式中:us1為魯棒鎮定項;ks1＞0，α ＞0 為待設計的控制器參數。由(19)式可知，非線性魯棒反饋增益ks1(1 +α|p|)與滑模函數p 有關，當p 遠離零點時，反饋增益增大以使p 快速減小;當p 接近零點時，反饋增益減小以避免劇烈的振蕩，因此能夠改善系統的動態系能。us2為魯棒反饋項，用于消除模型不確定性的影響，滿足以下條件:

式中:ε ＞0 為任意大的常數。一種滿足(20)式的us2［6，10］可選為

式中:h = (‖φT‖‖θmax-θmin‖)2+ ‖δd‖2. 把(21)式代入到(20)式，可得

取如下的Lyapunov 函數

注意到(17)式～(19)式和(22)式，(23)式對時間求導可得

式中:γ=2ks1(1 +α|p|)/θ1max. 因為γ≥2ks1/θ1max，所以當滑模函數p 遠離0 時，采用(19)式的非線性魯棒反饋增益將比常規ARC 具有更快的收斂速度;同時當滑模函數p 接近于0 時，(19)式所示的非線性魯棒反饋增益約等于常規ARC 中的反饋增益ks1，避免了由于反饋增益過大而引起的振蕩。由(24)式可知，V1有界，且其邊界滿足

由于V1和θ1有界，由(23)式可知p 有界;由(19)式可知us1也有界;因為參考信號及其導數有界且未知參數的估計值有界，由(16)式和(21)式可知ua和us2有界，所以控制輸入u 有界;因此系統所有信號有界。由(25)式可知，當控制律取為(16)式，并且us由(18)式、(19)式以及(21)式給出時，對于任意的自適應律(10)式，系統所有信號有界，且以指數速率收斂于0 的某個鄰域內，收斂速度不小于γ，穩態誤差的上界可由設計參數ks1、α 和ε 預先設定。

取如下的Lyapunov 函數

假設未知參數θi(i =1，2，3，4)是常數或慢時變的，即≈0(i =1，2，3，4)。注意到(20)式、(27)式對時間求導得

如果自適應律取為

把(29)式代入(28)式，可得

由(30)式可知，當自適應律取為(29)式時，由(7)式、(16)式、(18)式、(19)式以及(21)式構成的閉環系統是穩定的。

4 仿真分析

某鏈式回轉彈倉由永磁直流無刷電機驅動，位置誤差要求小于0.4°，控制系統采樣周期1 ms. 電機力矩常數為0.057 N·m/A，電機轉子轉動慣量為1.54× 10-4kg·m2;減速裝置等效轉動 慣量為0.36×10-4kg·m2，傳動比為219.4;彈丸質量為48 kg，彈筒質量為10 kg，滿載時彈丸數量為20 個，主動鏈輪節圓半徑為95 mm. 由以上參數可得未知參數集合的邊界為θTmin=［10.5，1，50，-100］T，θTmax=［20，30，250，100］T，未知參數初始值取為(0)=［15，20，50，0］T. 非線性摩擦模型(2)式中的參數取為s=0.1°/s，ξ=2. 由(25)式可知，系統動態誤差與初始狀態有關，為了減小動態誤差，有必要對參考信號進行規劃以滿足:x1(0)= yd(0)，x2(0)=本文中采用點到點(PTP)運動軌跡規劃，期望位移120°，最大速度66.67°/s，最大加速度333.34°/s2. 由于彈倉中彈丸數量的情況較多，本文僅考慮3 種特殊情況，即:空載(彈倉不裝彈丸)，半載(彈倉裝載10 發彈丸且連續排列)，滿載(彈倉裝載20 發彈丸)。為了驗證本文提出的ARC-ISS 算法的有效性，針對上述3 種特殊情況分別對常規ARC 以及ARC-ISS 進行了仿真測試。常規ARC 控制器采用PD 型滑模面，即滑模函數取為p=+λe，控制器參數設置為:λ=10，ks1=1，α=0，ε=10 000，γ1=0.2，γ2=1，γ3=20，γ4=10;ARCISS算法采用積分型滑模函數(13)式，控制器參數設置為:α=5，其余參數同常規ARC.

圖1～圖3分別為空載、半載、滿載時鏈式回轉彈倉的位置跟蹤誤差，可見常規ARC 和ARC-ISS 均可以獲得滿意的控制性能;與常規ARC 相比，ARCISS 不僅減小了系統的穩態誤差，并且明顯地改善了系統的動態性能，具有更快的收斂速度以及更好的控制性能。此外還可以看出，系統參數變化對ARC-ISS 的影響較小，在空載、半載、滿載3 種情況下的位置誤差均小于常規ARC.

圖1 空載時彈倉位置跟蹤誤差Fig.1 Position tracking errors of shell magazine for empty-loading

圖2 半載時彈倉位置跟蹤誤差Fig.2 Position tracking errors of shell magazine for half-loading

圖3 滿載時彈倉位置跟蹤誤差Fig.3 Position tracking errors of shell magazine for full-loading

圖4～圖7分別為系統未知參數θ1、θ2、θ3、θ4的估計值，可以看出，在空載、半載、滿載3 種情況下參數估計值均能保持在有界閉集Ωθ之內，保證了系統的穩定性。

圖4 θ1的估計值Fig.4 Estimated values of θ1

圖5 θ2的估計值Fig.5 Estimated values of θ2

圖6 θ3的估計值Fig.6 Estimated values of θ3

由仿真結果可知，與常規ARC 相比，ARC-ISS采用非線性魯棒反饋增益，當誤差較大時，通過引入附加的魯棒反饋項-α|p|p 使誤差快速減小，而當誤差趨近于0 時，ARC-ISS 退化為常規ARC，有效避免了高增益可能引起的振蕩，ARC-ISS 具有更好的控制性能。在常規ARC 中，需要采用較大的自適應速度以便有效地補償模型不確定性，但自適應速度過大時，容易引起參數估計不收斂，而ARC-ISS 采用非線性反饋增益，有效地克服了這一缺點，即使采用較小的自適應速度也能夠獲得滿意的控制效果。

圖7 θ4的估計值Fig.7 Estimated values of θ4

5 結論

在自行火炮彈藥自動裝填系統中，隨著彈丸數量的變化，鏈式回轉彈倉的轉動慣量、摩擦力矩等將會發生較大的變化;在彈倉高速轉動過程中，齒輪與鏈輪嚙合沖擊以及鏈傳動的多邊形效應會產生附加擾動力矩;為了解決上述問題，本文提出了一種具有積分型滑模面的自適應魯棒控制算法，采用積分型滑模面減小了系統的穩態位置誤差;使用非線性增益魯棒反饋技術，改善了系統的控制性能，大大提高了系統的響應速度。由于非線性魯棒反饋增益的作用，即使采用較小的參數估計速度，也能有效地抑制模型不確定性的影響，明顯地減小了系統動態跟蹤誤差。針對空載、半載和滿載3 種典型情況進行了仿真實驗，結果表明ARC-ISS 比常規ARC 具有更好的控制精度以及更快的響應速度。

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