模數轉換器電容失配誤差的數字校準算法研究與實現

閆淑君 思 旭 李雪梅 黃 麗

（北京電子科技術職業學院，中國 北京100016）

0 引言

模數轉換器可以分為直接轉換法和間接轉換法兩個大類。本文所研究的逐次逼近型模數轉換器是一種直接型模數轉換器，功耗低、外觀尺寸小，不僅轉換結果速度快、精度高，并且輸出模擬信號與輸入數字信號延時很小，因而分辨率分布從8位到16位，采樣速率可以從幾十千赫茲到幾十兆甚至上百兆赫茲，范圍分布廣，品種多。針對電容失配誤差的校準算法[1]，提出了一種基于通訊信道理論的數字校準系統，其中結合了線性二乘自適應濾波器的運用，將適應性的有限沖激響應的通訊原理結合到校準算法之中去，并進行了仿真與分析。

1 電容失配誤差的原理分析

模數轉換過程中的誤差有：比較器電壓失調誤差、有限增益放大器誤差、開關失調誤差與開關偏移誤差以及電容失配誤差。為了減少電容失配誤差沒有將校準網絡的速度提高，而是降低了輸入到權電容網絡中的輸入信號的采樣速率。輸入信號采樣頻率降了下來，自然而然權電容網絡的運算速度也降低了。那么就可以在相對較低的速率下，對權電容網絡的失配誤差加以校準。接下來對失配誤差的機理進行簡要分析。

對于權電容網絡中相鄰的兩個電容，其電容極板（上極板或是下極板）上的電壓（稱之為殘壓）的表達式可以表達如下：

C1與C2分別是相鄰的那兩個電容，并且C2的容值是C1的二倍。Vr是逐次逼近型模數轉換器的參考電壓，Vos是模數轉換器比較器的輸入失調電壓，而Cx是轉換開關引入的寄生電容。A是運算放大器的有限增益倍數。這個式子是殘差電壓的模擬表達式。當模擬信號被轉換為數字信號，并且將式子中的模擬量變為數字量，那么該式就變為如下所示：

由相鄰電容之間關系所得到的殘差電壓表達式，可以依次地遞推到下一相鄰兩個電容，因此從第一比特的電容直到最后一個比特的電容，都可以得到各自殘差電壓的大小表達式。

而當電容出現失配情況時，電容之間比例的偏移就會使得殘差電壓的實際值與理想值之間產生偏離，在仿真時就能看到明顯的噪聲干擾。

2 數字校準算法的系統框架設計

逐次逼近型模數轉換器的數字校準算法的整體框圖[3]，如圖1所示。

輸入模擬信號由左端Vin輸入，同時進入兩條支路。可以說，整個算法的校準原理就是基于兩個不同支路上相同信號的差異。上面的一條支路稱之為比較支路，信號進入該支路后，首先對其進行M倍的降采樣，將信號的速率降低下來。隨后進入一個低速模數轉換器。降采樣之后的數字信號經過慢速并且精確的模數轉換器轉換之后，得到的是一個相對來說較為精確的數字信號。由于速度要求不高，因此轉換過程中因器件不精確而帶來的誤差相對來說小了很多。這一支路所得到的信號輸出我們稱之為“基準信號”。

下面的一條路稱之為校準支路，因為這一條支路是真正意義上地對輸入模擬信號進行校準。輸入模擬信號直接進入到一個高速但卻不十分精確的逐次逼近型模數轉換器中，這就是我們要進行校準的目標。轉換而得的數字信號并沒有直接輸出，而是緊接著輸入到一個濾波器中。高速輸出地數字信號在經過M倍的降采樣，才能與剛才所得到的基準信號加以比較。二者比較之所得即為我們所需的誤差e。從第二條校準支路所得到的輸出信號中減去誤差e，就可以得到校準過后的、更為精確的校準結果。

圖1 逐次逼近型模數轉換器的數字校準算法的整體框圖

3 最小均方自適應濾波器的研究與構建

最小二乘算法實現的自適應濾波器模塊通過模仿現代通信理論中信道均衡的算法與硬件構造，有效地在逐次逼近型模數轉換器的后端加入了數字電路模塊，可以大大改善以往模擬電路對環境敏感的不足，以及受器件精度影響而無法提高速度的現狀，是整體數字校準算法的重點與核心之一。最小均方自適應濾波器[4]算法直接來源于最速下降算法實現的維納濾波器，而改進的入手點就是目標函數每次的下降程度。最速下降算法每次的降落高度是目標函數的導數值，而導數值的表達式中涉及到相關矩陣的計算，這也是計算量過大的直接原因。回顧導數的表達式如下：

那么最小均方算法所做出的改變，就是將相關矩陣P和R的計算替換為結果相近，但是計算量大大減少的替代品。相關陣中期望（也就是平均值）的計算需要將大量數據求平均之后才能得出結果，費時費力。如果我們將多次平均的結果直接替換為某一次數據的計算值，那么雖然所得的某一個值距離平均值稍有偏差，可是從計算量上來講卻是極大的節省。因此我們做出替換如下所示：

將均值計算替換為一次計算之后，將原來自相關矩陣與互相關矩陣的準確值替換為新的估計值，并帶入到梯度表達式中，我們得到新的梯度估計值的表達式如下：

梯度值也就是每次自適應濾波器抽頭系數的變化量，所以我們得到了更新過的抽頭系數迭代公式，如下：

以上公式就是最小二乘算法對于自適應濾波器抽頭系數更新的核心公式。該公式明確指出了濾波器抽頭系數更新的依據，下一時刻濾波器抽頭系數的估計值由以下若干個變量加以表達：當前濾波器抽頭系數的估計值、輸入信號序列及其厄米轉置、輸出信號序列的復共軛以及迭代步長。這就為我們硬件實現自適應濾波器提供了很好的理論支持。

4 結論

本文提出了一種基于數字化處理的校準系統，對上述電容失配誤差有著良好的校準效果。創建一條與模數信號轉換相并行處理的信號通路，對兩條通路均加以設計并實現，且比較同一模擬信號通過兩種信號處理方式后的差異。非精確與精確轉換結果的比較通過最小均方自適應濾波器加以實現，確定最小均方算法為該濾波器的實現方式，并給出最小均方自適應濾波器的具體實現方法。

［1］李福樂，李冬梅，張春，王志華.一種用于流水線模數轉換器的電容失配校準方法[J].電子學報，2002，30（11）：1-3.

［2］Yun Chiu,Cheongyuen W.Tsang,Borivoje Nikolie and Paul R.Gray.Least Mean Square Adaptive Digital Background Calibration of Pipelined Analog-to-Digital Converters [J].IEEE TRANSACTIONSON CIRCUITSAND SYSTEMS—1: REGULAR PAPERS,VOL.51,NO.1,JANUARY 2004:38-46.

［3］W.Liu and Y.Chiu.Background digital calibration of successive approximation ADC with adaptive equalisation[J].ELECTRONICS LETTERS 23rd April 2009 vol. 45 No.9:1-3.

［4］張旭東，陸明泉.離散隨機信號處理[M].北京：清華大學出版社，2005：70-280.