堆場取箱作業(yè)中倒箱問題的啟發(fā)式算法研究

范 磊，梁承姬

(1.上海海事大學(xué) 物流工程學(xué)院，上海 201306；2.上海海事大學(xué) 物流研究中心，上海 201306)

0 引 言

近些年集裝箱運(yùn)輸快速發(fā)展，與此同時，由于土地的局限性、碼頭規(guī)劃的滯后性等原因，碼頭堆場正承受越來越重的負(fù)荷。因此，為了利用了更多的堆場空間，碼頭堆場的堆垛層越來越高，采用混堆模式的碼頭個數(shù)也隨著增多，這些改變必然的導(dǎo)致倒箱量的增多。倒箱量和倒箱率無疑都是衡量碼頭操作效率的重要指標(biāo)，而在如今這個港口之間競爭如此激烈的大環(huán)境中，高效的運(yùn)作效率無疑是港口增強(qiáng)競爭力的關(guān)鍵因素。倒箱操作，發(fā)生在船舶上的裝船、卸船及在岸邊出口箱裝船、前后方堆場集裝箱提箱、箱區(qū)整理及堆存過程中，幾乎是一個不可避免的環(huán)節(jié)。要徹底解決倒箱問題非常困難，因?yàn)樗c裝船計(jì)劃、堆存計(jì)劃、提箱計(jì)劃都息息相關(guān)。

由于倒箱耗費(fèi)巨大的時間成本和裝卸成本，于是學(xué)者們對于倒箱問題的研究也不斷增多與深入。K.H.Kim[1]在1997年提出倒箱量估計(jì)方法，研究了碼頭進(jìn)口箱區(qū)堆存高度與倒箱量之間的關(guān)系，并針對不同進(jìn)口箱到達(dá)模式，建立了最小化期望倒箱量為目標(biāo)的數(shù)學(xué)模型，利用拉格朗日松弛和次梯度優(yōu)化方法求解出相應(yīng)的最佳堆存高度；在集裝箱碼頭的出口堆場中，通常重箱先于輕箱裝船，基于這一假設(shè)，K.H.Kim，等[2]在2000年以最小化裝船時的倒箱量為目標(biāo)，利用動態(tài)規(guī)劃和決策樹方法研究了進(jìn)口集裝箱堆放位置的確定問題；K.H.Kim，等[3]在2006年利用分支定界和啟發(fā)式方法研究了提箱過程中翻倒集裝箱落箱位置的確定問題；張維英，等[4]建立了龍門式起重機(jī)小車取箱作業(yè)優(yōu)化模型,以龍門式起重機(jī)取箱作業(yè)時倒箱數(shù)量最少為目標(biāo), 以各個取箱階段為節(jié)點(diǎn)、以取箱代價(jià)為邊的權(quán)數(shù), 應(yīng)用最小生成樹和啟發(fā)式算法對優(yōu)化模型進(jìn)行求解；白志江，等[5]提出堆場翻箱問題的整數(shù)規(guī)劃模型，對已知的初始堆碼狀態(tài), 在同一個貝位內(nèi)倒箱, 使其最終堆碼狀態(tài)滿足積載計(jì)劃規(guī)定的裝船次序, 目標(biāo)是使倒箱次數(shù)最少，并提出了以網(wǎng)絡(luò)流模型為基礎(chǔ)的倒箱數(shù)學(xué)模型, 節(jié)點(diǎn)和有向弧對應(yīng)于貝位的時空結(jié)構(gòu), 箱子在時空中的移動用流來表示, 約束指定了所要遵循的物理規(guī)律；李斌[6]利用動態(tài)規(guī)劃方法對倒箱問題進(jìn)行階段性研究。

隨著集裝箱堆場倒箱問題的不斷凸顯，對于解決倒箱問題的算法的時效性、準(zhǔn)確性也提出了更高的要求。因此，筆者研究了貝位內(nèi)取箱作業(yè)問題，結(jié)合集裝箱的目的港和重量兩個屬性[7-8]，每一個箱子被賦予一個優(yōu)先級別，然后按照優(yōu)先級別進(jìn)行取箱作業(yè)，以倒箱量最少為目標(biāo)，建立龍門吊起重機(jī)取箱作業(yè)(圖1)的數(shù)學(xué)模型，再應(yīng)用基于6條倒箱落位原則的啟發(fā)式算法對數(shù)學(xué)模型進(jìn)行求解；經(jīng)驗(yàn)證，啟發(fā)式算法可獲得較優(yōu)的可行解，穩(wěn)定性強(qiáng)，提高了取箱作業(yè)的效率。

圖1 龍門吊起重機(jī)配合集卡取箱作業(yè)示意Fig.1 Schematic diagram of retrieving operation via the cooperation of gantry crane and container trucks

1 問題描述

在集裝箱堆場中，垂直堆放的一列集裝箱成為一個棧，并排堆放的若干個棧組成一個貝(圖2)。所謂的倒箱，如果要提取的集裝箱不處于所在棧的最高層，就必須首先將堆放在其上的所有集裝箱倒到其它棧，這個過程就稱為倒箱。

圖2 集裝箱箱區(qū)示意Fig.2 Schematic diagram of container blocks

貝位的初始狀態(tài)及各集裝箱的發(fā)箱順序已知，針對不同的集裝箱類型，發(fā)箱順序的確定需要考慮不同的因素。如果是出口箱，目的港和重量是主要考量的因素；如果是進(jìn)口箱，那么預(yù)定的取箱時間是主要考量的因素。假設(shè)貝位初始狀態(tài)如圖3，順序越小，發(fā)箱的優(yōu)先級別越高，即順序?yàn)?的集裝箱是最先發(fā)箱的，0表示空箱位。那么問題就變得異常清晰，即按照各箱子發(fā)箱的優(yōu)先級別依次取箱。確定發(fā)箱順序的目的是使得整個取箱過程中倒箱量最少。

圖3 貝位初始狀態(tài)示意Fig.3 Schematic diagram of initial state of a bay

2 取箱作業(yè)數(shù)學(xué)模型

2.1 模型基本假設(shè)

1)貝位內(nèi)的集裝箱具有相同的尺寸；

2)在堆存初始狀態(tài)已知的情況下，各箱的取箱順序已知；

3)僅對待提箱上方的集裝箱進(jìn)行倒箱操作；

4)堆存為N層，則貝位內(nèi)至少有(N-1)個空箱位被留作倒箱使用，倒箱操作只發(fā)生在貝位內(nèi)，不同的貝位取箱作業(yè)模型一致；

5)提箱過程中，不允許新到集裝箱在相應(yīng)場區(qū)進(jìn)行堆放。

2.2 模 型

2.2.1 參數(shù)設(shè)置

A[m,n]表示m層n棧，用矩陣的形式來表示一個單獨(dú)貝位的堆垛情況，矩陣中的各元素代表該位置上箱子的取箱優(yōu)先級別，以圖3來說明，則是一個6層5棧的貝位;

A(t,i,j)=C表示在t階段A(i,j)箱位上箱子的優(yōu)先級別，其中C表示從0開始的某一整數(shù)；

slot_priority={0,1,2,3,…,C}為由箱子取箱優(yōu)先級別組成的集合；

stack(s)={1,2,…,s}為貝位所有堆垛列組成的集合；

tier(h)={1,2,…,h}為貝位所有堆垛層組成的集合；

stage(t)={1,2,…,t}表示由不同的裝載階段組成的集合，每搬移一次箱子為一個stage；

High_of_stack(s)=h表示s棧的最高堆垛層為h，其中h表示從0開始的某一整數(shù)；

Shelve(s)=h表示s棧中優(yōu)先級別最大的箱子上面箱子的數(shù)量，稱為壓箱量，其中h表示從0開始的某一整數(shù)；

Cost_of_Catch(C)表示取優(yōu)先級別為C的箱子的取箱代價(jià)，即待取箱上面有的需要倒箱的集裝箱數(shù)，其中C是屬于slot_priority的某一整數(shù)；

2.2.2 變量設(shè)計(jì)

2.2.3 壓箱量的計(jì)算

在某一個階段，貝位中集裝箱的堆垛狀態(tài)已知，每一棧中提箱優(yōu)先級別最大的(即數(shù)值最小)的箱子所在的層數(shù)是確定的，這里的層數(shù)是從上至下增加的，即棧最上面的是第1層，原因是為了和MATLAB語言中讀取這樣一個代表貝位狀態(tài)的矩陣的順序一致；而每一個堆垛棧(stack)的最高堆垛層High_of_stack(s)也是確定的，但是最高堆垛層High_of_stack(s)是從下至上增加的，即棧最下面的為第1層。所以計(jì)算壓箱量shelve(s)時先要進(jìn)行轉(zhuǎn)換。

假設(shè)研究的貝位是m層的，而第s棧中最大優(yōu)先級別的箱在d層，那么轉(zhuǎn)換的式子是e=m+1-d;而壓箱數(shù)shelve(s)=High_of_stack(s)-e;如圖3所示貝位層數(shù)m=6;其中第1棧中，High_of_stack(1)=3，最大優(yōu)先級別的箱子是3，在第5層(d=5)，經(jīng)公式e=m+1-d轉(zhuǎn)換后得e=2;再經(jīng)壓箱數(shù)計(jì)算公式shelve(1)=High_of_stack(1)-e得shelve(1)=3-2=1。更新一個階段后，shelve(s)需要重新更新。

2.2.4 目標(biāo)函數(shù)

(1)

式(1)為目標(biāo)函數(shù)，表示倒箱數(shù)量最少，因?yàn)楫a(chǎn)生倒箱時才產(chǎn)生PutIn。

2.2.5 約束條件

(2)

式(2)表示每一個stage(t),有且僅有一個移動，要么一個箱子被提出，要么一個箱子被放入。

A(t,i-1,j)=0 & A(t,i,j)≠0:PutIn(t+1,i-1,j)=1；?t∈stage,?i∈tier,?j∈stack

(3)

式(3)表示在t這個階段A(i,j)上有箱子并且A(i-1，j)上沒箱子的條件，PutIn(t+1,i-1,j)這個移動才會被執(zhí)行。

A(t,i-1,j)=0 & A(t,i,j)≠0:TakeOut(t+1,i,j)=1；?t∈stage,?i∈tier,?j∈stack

(4)

式(4)表示在t這個階段A(i，j)上有箱子并且A(i-1，j)上面沒箱子的條件，TakeOut(t+1,i,j)這個移動才會被執(zhí)行。

(5)

式(5)表示提箱次數(shù)和取箱次數(shù)的總和組成所有的作業(yè)階段，總和為T。

其中，層tier是從上到下(1,2,…)數(shù)值增大排列的，棧stack是從左到右(1,2,…)數(shù)值增大排列的。

3 貝位內(nèi)取箱作業(yè)啟發(fā)式算法

當(dāng)貝位內(nèi)集裝箱被賦予不重復(fù)的優(yōu)先級別之后，取箱操作(流程如圖4)就轉(zhuǎn)化成一個動態(tài)規(guī)劃問題，一個多階段決策過程的最優(yōu)化問題。取一個優(yōu)先級別的箱子可視為一個階段，而倒箱操作勢必影響前后階段的決策。

動態(tài)規(guī)劃問題求解最優(yōu)解時，要考慮所有可能的鏈結(jié)構(gòu)，復(fù)雜度是隨著問題規(guī)模的增長成指數(shù)增長的。集裝箱碼頭對算法的時效性要求非常高，所以需要用啟發(fā)式來求解。

圖4 取箱作業(yè)流程Fig.4 Diagram of retrieving operation process

倒箱問題中，倒箱落位是關(guān)鍵。因?yàn)榈瓜渎湮坏倪x擇決定了2次倒箱甚至多次倒箱的數(shù)量。所謂2次倒箱即堆場機(jī)械由于各種作業(yè)的需要，為取堆存在下面的集裝箱而把上面的箱子移開(此時產(chǎn)生第1次倒箱)，但上方的集裝箱移開后放置的位置可能將導(dǎo)致另一次倒箱[9]。倒箱落位決策中，以最小化總倒箱量為目標(biāo)，同時以盡量避免單次取箱時倒箱操作過多[10]；而文中的啟發(fā)式算法是基于3.1節(jié)的6條倒箱落位原則的。

當(dāng)取箱作業(yè)開始后，找到所有可行箱位，遍歷一遍所有可能，把必倒箱放入所有的可行箱位，并且計(jì)算假如必倒箱放入后的該可行箱位所在的棧的壓箱量，然后出現(xiàn)以下6種情形：

1)必倒箱放入可行箱位后，出現(xiàn)棧的壓箱量為0，而該棧不是空棧，并且這樣的可行箱位不唯一；

2)與情形1情況類似，但這樣的可行箱位唯一；

3)必倒箱放入可行箱位后，出現(xiàn)棧的壓箱量為0，而這樣的可行箱位所在的棧為空棧，并且這樣的棧不唯一；

4)與情形3情況類似，但這樣的可行箱位唯一；

5)必到箱放入所有可行箱位后，前4種可能均不存在，比較下得出的各棧的壓箱量，最小壓箱量所在的棧不唯一；

6)與情形5情況類似，但這樣的可行箱位唯一。

3.1 倒箱落位原則

原則1：若情形1存在，找到出現(xiàn)情形1情況的各可行棧中的最大優(yōu)先級別(數(shù)值最小)，組成一個集合，然后選擇這個集合中優(yōu)先級別最低(數(shù)值最大)的箱子所在的棧，放入必倒箱。

原則2：若情形1不存在，情形2存在，直接將必倒箱放入該可行箱位。

原則3：若情形1、2均不存在，情形3存在，隨機(jī)將必倒箱放入出現(xiàn)可能3情況的可行箱位。

原則4：若情形1～3均不存在，情形4存在，直接將必倒箱放入該可行箱位。

原則5：若情形1～4均不存在，情形5存在，找到出現(xiàn)情形5情況的各可行棧中的最大優(yōu)先級別(數(shù)值最小)，組成一個集合，然后選擇這個集合中優(yōu)先級別最低(數(shù)值最大)的箱子所在的棧，放入必倒箱。

原則6：若情形1～5均不存在，情形6存在，直接將必倒箱放入該可行箱位。

3.2 啟發(fā)式算法步驟

1)確定是否貝位內(nèi)箱子都已被取走。若都已被取走，則取箱作業(yè)結(jié)束；若沒有都被取走，轉(zhuǎn)步驟2)。

2)確定待提箱及其所在棧和層，轉(zhuǎn)步驟3)。

3)確定待提箱上方是否有壓箱。若有壓箱，則轉(zhuǎn)步驟4)；若無壓箱，即進(jìn)行待提箱的取箱作業(yè)。

4)從待提箱最上方的壓箱開始倒箱。找到所有的可行箱位，即不懸空并且不在待提箱所在棧的空箱位，轉(zhuǎn)步驟5)。

5)遍歷所有將倒箱放入可行箱位的情形，并且計(jì)算壓箱量，轉(zhuǎn)步驟6)。

6)運(yùn)用基于6條倒箱落位原則進(jìn)行倒箱落位決策，同時更新貝位狀態(tài)，轉(zhuǎn)步驟3)。

4 仿真算例與結(jié)果分析

4.1 算例1

如圖5，貝位的初始堆放狀態(tài)為3棧3層，其中有6個優(yōu)先級別的箱子要按照它們的優(yōu)先級別被取出。本例中預(yù)留了3個空箱位，完全滿足初始堆垛對最少倒箱的要求。圖中根據(jù)動態(tài)規(guī)劃思想，列出了所有的鏈結(jié)構(gòu)。通過比較，可以得出畫線的方案是基于限制變量的類型方案的最優(yōu)解，最終倒箱量為4。

仿真程序采用MATLAB7.9.0 R2009b 開發(fā)，所得結(jié)果在CoreTM2Duo,CPU2.00GHz,2.00GB內(nèi)存平臺下測得，見圖6。

圖5 仿真算例Fig.5 A sample of simulation

圖6 MATLAB仿真結(jié)果Fig.6 Results of optimization via the software of MATLAB

MATLAB仿真結(jié)果和動態(tài)規(guī)劃所得的最優(yōu)解完全相同，計(jì)算時間非常短。若對圖5和圖6進(jìn)行補(bǔ)充解釋，則整個取箱過程異常清晰，先將(2,3)位置上優(yōu)先級別為5的箱子TakeOut，然后PutIn到(1,2)；然后TakeOut(3,3)位置上的優(yōu)先級別為1的箱子；緊接著是TakeOut(1,2)位置上優(yōu)先級別為5的箱子PutIn到(3,3)位置上；然后TakeOut(2,2)位置上優(yōu)先級別為4的箱子PutIn到(2,3)位置上；接著TakeOut(3,2)位置上優(yōu)先級別為2的箱子；然后TakeOut(2,1)上優(yōu)先級別為6的箱子PutIn倒(3,2)位置上；然后TakeOut(3,1)上優(yōu)先級別為3的箱子；然后TakeOut(2,3)上優(yōu)先級別為4的箱子，然后TakeOut(3,3)上優(yōu)先級別為5的箱子；然后TakeOut(3,2)上優(yōu)先級別為6的箱子。整個貝位取箱作業(yè)結(jié)束，總的倒箱量為4次；圖5中顏色較深的貝位結(jié)構(gòu)說明此階段該貝位內(nèi)沒有倒箱作業(yè)；圖5中運(yùn)用動態(tài)規(guī)劃所得的最優(yōu)解的鏈結(jié)構(gòu)已用顏色較深的箭頭標(biāo)出表明。仿真這個案例的同時，倒箱落位原則5得到證明，可以得到較優(yōu)解。

4.2 算例2

針對更大規(guī)模的計(jì)算，文中所敘述的啟發(fā)式算法經(jīng)驗(yàn)證，均可得到較優(yōu)解，算法的求解時間很短。因此再舉一個6棧6層有25個箱子的初始貝位的算例，如圖7。

圖7 6棧6層的貝位初始狀態(tài)Fig.7 Initial state of a bay with 6 stacks and 6 tiers

應(yīng)用啟發(fā)式算法求解后，得到的模擬結(jié)果是首先TakeOut(2,2)位置上優(yōu)先級別為1的箱子；然后TakeOut(3,2)位置上優(yōu)先級別為11的箱子，將之PutIn(2,5)的位置上；接著TakeOut(4,2)上優(yōu)先級別為13的箱子，將之PutIn(2,4)的位置上；然后TakeOut(5,2)位置上優(yōu)先級別是5的箱子，將之PutIn(1,5)位置上；然后TakeOut(6,2)位置上優(yōu)先級別為2的箱子；然后TakeOut(4,1)上優(yōu)先級別為12的箱子，將之PutIn(6,2)的位置上；然后TakeOut(5,1)上優(yōu)先級別為3的箱子；然后TakeOut(4,3)上優(yōu)先級別為14的箱子，將之PutIn(5,1)的位置；然后TakeOut(5,3)位置上優(yōu)先級別為6的箱子，將之PutIn(4,1)位置上；然后將TakeOut(6,3)位置上優(yōu)先級別為4的箱子；然后TakeOut(1,5)位置上優(yōu)先級別為5的箱子；然后TakeOut(4,1)位置優(yōu)先級別為6的箱子；然后TakeOut(2,4)位置上優(yōu)先級別為13的箱子，將之PutIn(4,1)位置上；然后TakeOut(3,4)位置上優(yōu)先級別為9的箱子，將之PutIn(3,1)位置上；然后TakeOut(4,4)位置上優(yōu)先級別為7的箱子；然后TakeOut(2,5)位置上優(yōu)先級別為11的箱子，將之PutIn(4,4)位置上；然后TakeOut(3,5)位置上優(yōu)先級別為10的箱子，將之PutIn(5,2)位置上；然后TakeOut(4,5)位置上優(yōu)先級別為8的箱子；然后TakeOut(3,1)位置上優(yōu)先級別為9的箱子；然后TakeOut(5,2)位置上優(yōu)先級別為10的箱子；然后TakeOut(4,4)位置上優(yōu)先級別為11的箱子；然后TakeOut(6,2)位置上優(yōu)先級別為12的箱子；然后TakeOut(4,1)位置上優(yōu)先級別為13的箱子；然后TakeOut(5,1)位置上優(yōu)先級別為14的箱子；然后TakeOut(6,1)位置上優(yōu)先級別為15的箱子；然后TakeOut(5,4)位置上優(yōu)先級別為16的箱子；然后TakeOut(5,5)位置上優(yōu)先級別為17的箱子；然后TakeOut(6,4)位置上優(yōu)先級別為18的箱子；然后TakeOut(6,5)位置上優(yōu)先級別為19的箱子；然后TakeOut(1,6)位置上優(yōu)先級別為20的箱子；然后TakeOut(2,6)位置上優(yōu)先級別為22的箱子；然后PutIn(6,1)位置上；然后TakeOut(3,6)位置上優(yōu)先級別為21的箱子；然后TakeOut(6,1)位置上優(yōu)先級別為22的箱子；然后TakeOut(4,6)位置上優(yōu)先級別為23的箱子；然后TakeOut(5,6)位置上優(yōu)先級別為24的箱子；然后TakeOut(6,6)位置上優(yōu)先級別為25的箱子；整個取箱過程結(jié)束。系統(tǒng)記錄的完成時間僅僅為0.094s，總倒箱次數(shù)為11次。

5 結(jié) 語

以龍門吊起重機(jī)在貝位內(nèi)取箱作業(yè)過程中倒箱量最少為目標(biāo)，建立了龍門吊起重機(jī)取箱作業(yè)數(shù)學(xué)模型，使用MATLAB編譯的啟發(fā)式算法對數(shù)學(xué)模型進(jìn)行求解。啟發(fā)式算法基于6條倒箱落位原則，以整個取箱過程中倒箱數(shù)量最少為目標(biāo)，每次的倒箱落位決策都基于二次倒箱數(shù)量最少。大量的隨機(jī)生成不同規(guī)模的初始貝位狀態(tài)，使用啟發(fā)式算法進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)。

文中通過2個不同規(guī)模的算例進(jìn)行了說明，算例1中貝位的初始堆放狀態(tài)為3棧3層共6個箱子，經(jīng)啟發(fā)式算法求解得到的較優(yōu)解與經(jīng)動態(tài)規(guī)劃求解得到的最優(yōu)解相同；算例2中貝位的初始堆放狀態(tài)為6棧6層共25個箱子，經(jīng)啟發(fā)式算法求解得到的較優(yōu)解總倒箱量為11，求解時間為僅0.094 s。提高了取箱作業(yè)的效率，符合碼頭作業(yè)的時效性。因此驗(yàn)證了文中的取箱作業(yè)啟發(fā)式算法提高了取箱作業(yè)的效率并且符合碼頭作業(yè)的時效性。

然而在配載圖已知的情況下，對于出口箱而言，在堆場貝位內(nèi)進(jìn)行取箱作業(yè)，多個箱子的優(yōu)先級別相同的情況是符合事實(shí)的。針對這種情況，基于相同的倒箱落位原則，筆者也設(shè)計(jì)了新的啟發(fā)式算法，經(jīng)驗(yàn)證效果也很好。實(shí)際上由于假設(shè)3的存在，注定了文中提出的啟發(fā)式算法是屬于貪心算法的范疇，求解得到的最優(yōu)解可能不是整體最優(yōu)解，因此下一步的研究將是非限制變量的類型方案。

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