FRP加固具單裂紋RC梁疲勞分析

劉 鋒，陳得良

(1.長沙理工大學 土木與建筑學院，湖南 長沙 410014；2. 湖南大學 機械與運載工程學院，湖南 長沙 410082)

0 引 言

橋梁這類工程結構，常承受不同類型、不同重量和不同速度車輛的作用。RC(鋼筋混凝土梁)梁在運營的過程中易產生裂紋，而FRP(纖維增強復合材料)具有質輕、高強、抗疲勞等特性，因此用FRP對該類帶裂紋RC構件進行加固是橋梁加固的有效方法[1-3]。

FRP復合材料運用于橋梁加固的時間相對較短，現還鮮有關于FRP加固具單裂紋RC梁疲勞性能的研究報道。且現有的研究成果主要集中于實驗研究。為了研究FRP加固RC梁后的疲勞性能，G.Williams，等[4]對加固后的Vintage橋進行了長期監控，并將數據與實驗測試的結果進行對比研究。黃培彥，等[5-6]對FRP加固RC梁的疲勞主裂紋擴展速率和主裂紋的應力強度因子進行了相關研究。國內學者研究了CFL(碳纖維薄板)增強RC梁在循環載荷作用下的疲勞性能，并對其在隨機變幅疲勞荷載下進行了相關實驗研究[7-8]。裂紋導致的應力集中效應在國內外現有關于具單裂紋加固梁的研究還鮮有報道。在對具單裂紋加固梁進行疲勞分析時，筆者通過引入裂紋影響因子來描述裂紋尖端附近的應力集中現象，并結合加固梁對外載荷的位移響應，分析加固梁的疲勞性能。

1 動力學方程的建立

圖1為FRP加固具單裂紋RC簡支梁模型圖，在梁上作用大小為Psinωt的簡諧載荷，xC為裂紋距梁左端支座的距離，xP為載荷作用點距離梁左端支座的距離，AS1，AS2分別表示受壓鋼筋和受拉鋼筋的截面面積,b表示梁寬的一半，d為梁高的一半，l表示梁的全長。

圖1 FRP加固具單裂紋RC梁模型Fig.1 Model of cracked RC beam strengthened with FRP

FRP加固具單裂紋RC梁由混凝土、鋼筋和FRP復合材料3種材料組成。為便于問題的研究，筆者將以上材料視為均質的彈性材料，并引入以下假設：

1)FRP上的應力不沿厚度方向發生變化[9]；

2)應變沿梁截面高度線性變化；

3)鋼筋與混凝土、FRP與混凝土不產生相對滑移；

4)忽略梁的剪切效應以及黏結層的作用；

5)只研究裂紋發生較小擴展的情況。

基于以上假設，加固梁的位移模式可表示為：

(1)

(2)

式中:xC為裂紋的位置;a，d分別為裂紋的深度和梁高的1/2;α為裂紋沿尖端應力的衰減率,本模型中α=1.276[11]；m為應力沿橫向線性變化的斜率。

對于不超過中性軸的微小裂紋，加固梁中性軸以上的應力、應變可以忽略裂紋對其的影響，其中Heaviside 函數u(d-a-z)為：

(3)

通過Hamilton能量變分原理，具單裂紋加固梁的動力學方程為：

(4)

式中：T，U和V分別為系統的動能、應變能和外力勢能;δ為變分符號;t為時間變量。

混凝土、鋼筋和FRP的動能分別為：

(5)

(6)

(7)

式中：ρC，ρS，ρF分別為混凝土、鋼筋和FRP的密度；AC為混凝土梁截面面積；AS1，AS2分別為受壓鋼筋和受拉鋼筋的截面面積；AF為FRP截面面積；VC，VS，VF分別為混凝土梁、鋼筋和FRP的體積。

對于細長梁，式(5)～式(7)的第二項可以忽略不計，對式(5)～式(7)沿截面高度積分可得：

(8)

含單裂紋混凝土梁、鋼筋和FRP的應變能分別為：

(9)

(10)

(11)

將式(1)代入式(9)～式(11),并沿截面積分，得：

(12)

式中：EC，ES，EF分別為混凝土、鋼筋和FRP的彈性模量，其中：

(13)

式中：zSi(i=1,2)，zF分別為中性軸到鋼筋和FRP形心的距離。

加固梁總的動能和應變能為：

(14)

加固梁的外力勢能V為：

(15)

式中：q(x,t)為分布荷載，簡介q。

將方程(14)和方程(15)代入方程(4)，可得：

(16)

對式(16)進行分部積分后可得：

(17)

簡支梁的邊界條件為：在x=0 和x=l處δw=0，δw″=0。

根據分離變量法，假設式(17)的解為：

w=W(x)T(t)

(18)

(19)

將式(18)和式(19)代入式(17)，可得：

(20)

式中：α1=ECf(x)+ES[fS1(x)+fS2(x)]+EFfF(x)；α2=ρCAC+ρS(AS1+AS2)+ρFAF。

(21)

整理后為：

(22)

將式(22)寫成矩陣的形式：

(23)

式中：T=[T1,T2,…,Tn]T為n階列向量。

質量矩陣M、剛度矩陣K和廣義力矩陣Q可以寫成：

(24)

(25)

(26)

式中：[I] 為n×n單位矩陣。

2 疲勞壽命計算公式推導

現有研究成果表明，當FRP加固RC梁發生以鋼筋疲勞斷裂為主導的破壞方式時，能最大限度地發揮加固梁上各材料的材料性能[12]。因此，筆者對加固梁進行疲勞性能分析也是基于此種破壞方式。現假設當加固梁的裂紋擴展到一定的深度時，由于剛度的減小梁會產生較大的變形，隨即鋼筋相繼發生脆性斷裂，同時加固梁完全喪失承載能力。

根據材料力學的相關知識，加固梁上任意一點的應變可表示為：

(27)

式中：Ei和Ii分別表示彈性模量和慣性矩；i=C、S1、S2、F分別表示混凝土、受壓鋼筋、受拉鋼筋和FRP；M為點所在截面處的彎矩；y為中性軸到所要計算應變點的距離。

因此，梁上任意一處的應力可表示為：

(28)

加固梁上任意一處彎矩的大小可表示為：

M=∑EiIiw″

(29)

將式(29)代入式(28)可得：

σC=ECyw″

(30)

將FRP加固具單裂紋RC梁在Psinωt作用下的位移響應式(18)代入式(30)可得:

(31)

根據斷裂力學的相關理論，加固梁裂紋處的裂紋應力強度因子可表示為：

(32)

式中：F(ξ)為是應力強度因子修正系數[13]，其與梁的形狀、加載方式和邊界條件有關，且

F(ξ)=1.017-2.120ξ+7.710ξ2-13.55ξ3+14.25ξ4

(33)

式中：ξ=a/h；a為裂紋長度；h為梁的高度。

將式(31)代入式(32)可得：

(34)

根據相關疲勞裂紋擴展速率研究成果，假設加固梁疲勞主裂紋的穩定擴展速率為da/dN，通過Paris-Erdogan方法，其可以表示為：

(35)

式中：C和m為材料常數，C=0.902，m=5.74[13]。

故，式(35)可表示為：

(36)

式中：ΔK為梁在最大交變應力σmax和最小交變應力σmin時計算得到的應力強度因子值之差：

ΔK=Kmax-Kmin

(37)

對式(36)進行積分可計算出加固梁的疲勞壽命：

(38)

式中：a0為裂紋的初始長度；aC為裂紋臨界長度；N0為a0時載荷作用的周期數；NC為aC時載荷作用的周期數。

為了提高計算精度，現將初始裂紋到臨界裂紋的長度平均劃分成m段，即：

(39)

故加固梁總的疲勞壽命為：

(40)

3 數值分析結果與討論

圖1中FRP加固具單裂紋RC簡支梁在簡諧荷載作用下模型的參數如表1。

表1模型的參數Table 1 Parameters of modeling

將理論計算結果與有限元計算結果進行對比。為了準確模擬裂紋對梁的影響，梁用SOLID95單元模擬，鋼筋用LINK8單元模擬，而FRP片材用SHELL63單元模擬。ANSYS模型未考慮鋼筋與混凝土、FRP與混凝土間的滑移，同時忽略黏結層的作用。

3.1 加固梁應力強度因子分析

圖2為加固梁在跨中分別作用頻率為ω=10 Hz，大小為P=1，2，3 kN的正弦載荷時，理論計算與數值模擬的應力強度因子與裂紋深度關系曲線對比圖。

圖2 不同方法分析的應力強度因子與裂紋深度的關系曲線Fig.2 Relation curve of stress intensity factor and crack depth analyzed by different methods

從圖2可看出，與數值模擬的結果相比理論計算的應力強度相對較小，但兩者具有相同的變化趨勢；當a=0.04 m時兩種方法計算的應力強度因子均達到最大值，而當a>0.04 m時，兩種方法計算的應力強度因子均隨裂紋深度的增加而減小，這是因為隨著裂紋不斷擴展，FRP復合材料將逐漸發揮其對梁的加固作用；當施加的載荷較大時，兩種方法計算的結果吻合得較好。

3.2 加固梁疲勞主裂紋擴展壽命分析

圖3為加固梁在跨中分別作用頻率為ω=10 Hz，大小為P=1，2，3 kN的正弦載荷時，理論計算與數值模擬加固梁疲勞主裂紋擴展壽命預測值曲線。

圖3 不同方法分析的疲勞主裂紋擴展壽命與裂紋深度的關系曲線Fig.3 Relation curve of fatigue life of crack propagation and crack depth analyzed by different methods

從圖3可看出，對加固梁疲勞主裂紋擴展壽命進行計算時，理論計算的結果與數值模擬的結果變化趨勢相一致，但數值模擬的結果較理論值小；加固梁在較小的載荷作用時，兩種方法計算的結果差值較大，而當加固梁所受到的載荷較大時，理論值與數值模擬的結果吻合的較好；同時隨著裂紋深度的增加，理論值與數值模擬結果的差值逐漸增大。

4 結 論

為研究FRP加固具單裂紋RC梁在循環載荷作用下的疲勞主裂紋擴展壽命，筆者先求出加固梁對載荷的位移響應，再運用材料力學和斷裂力學的相關理論計算裂紋的應力強度因子，最后采用Paris-Erdogan方法對加固梁進行疲勞壽命分析，并將該種方法計算的結果與有限元模擬的結果進行了對比。通過分析得出了以下結論：

1)裂紋尖端處的應力強度因子隨裂紋深度的增加呈現先上升后下降的變化趨勢，且隨載荷的增加逐漸變大。

2)加固梁的疲勞壽命對載荷的變化較為敏感。加固梁的疲勞剩余壽命隨著裂紋的擴展先緩慢減少，而當a>0.15 m時裂紋梁的疲勞剩余壽命加速減少，當a>0.55 m時梁的疲勞主裂紋擴展壽命曲線變緩。

3)對加固梁進行應力強度因子計算時，數值模擬的結果與理論方法計算的結果具有相同的變化趨勢，但理論值均小于數值模擬的結果。當加固梁受到較大的載荷作用時，兩者的計算結果吻合得較好。

4)對加固梁進行疲勞主裂紋擴展壽命分析時，理論值與數值模擬的結果具有相同的變化趨勢，但數值模擬的結果較理論值小。

[1] 王作虎,劉晶波,杜修力.FRP加固鋼筋混凝土結構尺寸效應的研究進展[J].建筑科學與工程學報,2011,28(3)：45-55.

Wang Zuohu,Liu Jingbo,Du Xiuli.Research progress of size effect on reinforced concrete structures strengthened with FRP[J].Journal of Architecture and Civil Engineering,2011,28(3):45-55.

[2] Heffernan P J,Erki M A.Fatigue behavior of reinforced concrete beams strengthened with carbon fiber reinfoeced plastic laminates[J].Journal of Composites for Construction,2004,8(2):132-140.

[3] Wu Z J,Bailey C G,Fracture resistance of a cracked concrete beam post-strengthened with FRP sheets[J].International Journal of Fracture,2005,135:35-49.

[4] Williams G,Higgins C,ASCE P E M.Fatigue of diagonally cracked RC girders repaired with CFRP[J].Journal of Bridge Engineering,2008,13(1):24-33.

[5] 黃培彥,劉健,郭馨艷,等.FRP加固RC梁疲勞主裂紋擴展速率研究[C]//中國力學學會學術大會2009論文摘要集.北京：中國力學學會，2009:1-6.

Huang Peiyan,Liu Jian,Guo Xinyan,et al.Study on fatigue crack propagation rate of RC beams strengthened with fiber reinforced polymer [C]// Proceedings of the 2009 Chinese Society of Theoretical and Applied Mechanics Academic Conference.Beijing:Chinese Society of Theoretical and Applied Mechanics,2009:1-6.

[6] 黃培彥,吳承華,鄭小紅,等.FRP加固RC梁主裂紋的應力強度因子[C]// 第十四屆全國疲勞與斷裂學術會議論文集.北京：中國機械工程學會，2008:1811-1814.

Huang Peiyan,Wu Chenghua,Zheng Xiaohong,et al.Stress intensity factor of the main crack in RC beam strengthened with FRP[C] //Proceedings of the 14th National Conference on Fatigue and Fracture.Beijing:Chinese Mechanical Engineering Society,2008:1811-1814.

[7] 姚國文,黃培彥.循環載荷下纖維薄板增強板RC梁的疲勞性能研究[J].土木工程學報,2006 ,39(4):35-38.

Yao Guowen,Huang Peiyan.A study on the fatigue behavior of RC

beam strengthened with fiber laminates[J].China Civil Engineering Journal,2006,39(4):35-38.

[8] 韓強,黃培彥,趙琛,等.隨機變幅疲勞荷載下CFL增強RC梁疲勞壽命的試驗研究[J].建筑技術,2009,40(4):317-320.

Han Qiang,Huang Peiyan,Zhao Chen,et al.Experimental study on fatigue life of RC beams strengthened with CFL under random-amplitude fatigue load[J].Architecture Technology,2009,40(4):317-320.

[9] Wu Zhishen,Niu Hedong.Study on debonding failure load of RC beams strengthened with FRP sheets[J].Journal of Structural Engineering,2000,46(A):1431-1441.

[10] Christides S,Barr A D S.One-dimensional theory of cracked Bernoulli-Euler beams[J].International Journal of Mechanical Sciences,1984,26:639-648.

[11] Shen M H H,Pierre C.Free vibrations of beams with a single-edge crack[J].Journal of Sound and Vibration,1994,170(2):237-259.

[12] 汪鎮江.FRP加固RC疲勞性能研究[D].北京:北京交通大學,2006:13-15.

Wang Zhenjiang.Study on the Fatigue Characteristics of RC Beam Strengthened with FRP[D].Beijing:Beijing Jiaotong University,2006:13-15.

[13] Huang Peiyan,Liu Guangwan,Guo Xinyan,et al.Experimental study on the fatigue crack propagation rate of RC beam strengthened with carbon fiber laminat[C] // Proceedings of the International Society for Optical Engineering.Nanjing:The International Society for Optical,2008.