不含預設裂縫的鋼筋混凝土梁的數值仿真

朱廣富，徐 兵

(鹽城工學院 土木工程學院, 江蘇 鹽城 224055)

0 引 言

結構損傷是引起結構失效的主要原因，而裂紋的出現是損傷的主要表現形式[1]。大量的專家學者從實驗角度研究結構的損傷及斷裂，并取得一定成果。對于建筑結構，混凝土開裂是一個經典結構損傷問題，伴隨著裂縫的擴展會給結構帶來不可恢復的損傷，甚至使結構失去承載力。由于混凝土材料抗拉能力約為抗壓能力的1/10的特性，在結構設計中應盡量避免使混凝土結構承受拉力作用使其最大限度發揮受壓性能[2]。通過眾多專家和學者的研究，目前從設計角度總結了大量的設計經驗并制定了相關設計規范。

傳統有限元方法對結構或者材料開裂通常通過細分網格后利用網格邊界模擬裂縫[3]。這種方法必須依靠單元的邊界而存在，裂縫的開展只能沿著單元邊界進行，對于測裂縫開裂趨勢、裂縫的擴展路徑都無法準確的判斷。此外，密集的單元會造成計算成本增加[4]。

擴展有限元法(XFEM)及其理論的出現，給裂縫的模擬仿真提供了一個新的發展方向。眾多的學者也借助于XFEM對工程問題進行了大量的分析，驗證了XFEM是一種有效的工程斷裂問題的仿真技術。XFEM實現了裂縫在單元內部的任意傳播，克服了傳統方法的諸多缺陷[5-7]。

1 擴展有限元法

擴展有限元是一種新型的裂縫仿真分析的有限元理論，借助于水平集方法對于裂縫的擴展進行計算和仿真，能精確的描述單元內部的裂縫間斷。

1.1 水平集函數

假設圖1中f(x)=0是位于兩個單元內部的裂縫方程，其形式如圖1。

圖1 包含裂縫的單元Fig.1 Element with the crack

(1)

當x處于裂縫位置時，f(x)=0，當x處于其他位置時，則根據裂縫的相對位置判斷f(x)的正負[8-10]。

1.2 擴充形函數

XFEM中的形函數包括3部分，其主要形式(圖2)如下：

(2)

圖2 XFEM擴充單元Fig.2 Enriched element of XFEM

1.3 XFEM的基本方程

XFEM求解方程中的最大難點在于對不連續的形函數進行場積分，在有限元中一般采用子區域積分法進行積分，最終的方程形式為：

(3)

式中：u和q指的是單元的節點自由度和由于單元內部的不連續引發的附加自由度；M是質量矩陣；K為整體剛度矩陣，由材料剛度和集合剛度兩部分組成[8-10]。

2 混凝土材料

混凝土材料是一種準脆性材料，其特征是對拉應力特別敏感,當材料一經開裂就立即失穩擴展,裂紋尖端進入塑性屈服狀態的區域很小。Hillerborg提出了如下假設來分析混凝土的非線性斷裂[9]：

1)材料是彈性的，當最大拉應力達到混凝土材料的拉伸強度ft時，裂紋開始產生,切裂縫的方向垂直于最大拉應力方向;

2)混凝土達到拉伸強度產生新裂紋后，裂尖后存在虛擬裂縫區，該區域裂紋表面應力不為0，而為裂紋張開位移的單調遞減函數。裂縫表面應力隨裂紋張開位移遞減的關系稱為軟化律，其斷裂區單位面積吸收的能量都等于混凝土的斷裂能Gf，即：

(4)

3 受彎構件的受力計算

受彎構件主要承受彎矩作用，是土木工程中最普遍的構件，也是建筑結構中承受荷載和傳遞荷載的重要部分。由于在梁的設計過程中需要滿足承載力極限狀態和正常使用極限狀態的要求，梁的正截面受彎承載力設計值就必須大于彎矩的設計值，由于混凝土材料的抗拉承載力遠遠小于抗壓承載力，因此在混凝土梁中需要配置一定數量的鋼筋使得正截面內配置的受拉鋼筋抵消結構產生的彎曲正應力[10]。

3.1 分析1——四點彎曲梁的非線性仿真

借助于有限元工具ABAQUS建立適筋鋼筋混凝土梁的四點彎曲有限元模型(圖3)。其中：混凝土的彈性模量為29.5 GPa，泊松比為0.2，抗壓強度為24 MPa，抗拉強度2.4 MPa，采用彌散塑性損傷模型本構關系。鋼材彈性模量為190 GPa，泊松比為0.3，屈服強度為210 MPa。各材料材質均勻，并不含有初始缺陷。所施加荷載由Midas/Building按四點彎曲計算得到，符合混凝土結構設計相關規范要求。其變形后梁體和內部鋼筋的應力如圖4。

圖3 四點彎曲梁Fig.3 Four points bending beam

圖4 四點彎曲梁及其應力Fig.4 Stress model of 4-points bending girder

3.2 分析2——四點彎曲梁的開裂模擬

結構尺寸參數及材料參數如前，其中混凝土斷裂能為120 N/m,彈性模量折減系數為0.01，損傷穩定性參數為0.000 1。選用最大主應力判斷準則，即當單元有任一gauss點的最大主應力超過抗拉強度24 MPa時，單元發生破裂。所施加荷載由Midas/Building按四點彎曲計算得到，符合混凝土結構設計相關規范要求。結構開裂方向與單元平均應力的最大主應力方向垂直且貫穿整個梁底部。計算模型中不考慮結構帶有任何的初始裂縫，即裂縫僅是因為受力作用，由材料的強度和斷裂準則判斷其位置。通過計算可以發現變形后在跨中彎矩最大處隨機出現了8條裂縫，如圖5。

圖5 梁彎曲開裂及其應力Fig.5 Stress model of girder after crack

4 有限元仿真結果與討論

對比圖4、圖5可以發現兩次仿真過程中，從應力分布的角度來看梁的應力分布形式大致相同，但是由于分析2中的混凝土在受拉區出現了裂縫，使得梁中性軸上移，梁底部的受拉區也隨之上移。從梁的應力云圖上來看，考慮混凝土開裂后的內部鋼筋應力屈服程度比非線性梁要明顯，這也符合結構設計中配置鋼筋的目的，即在混凝土開裂后由鋼筋承受彎矩所產生的彎曲正應力[10]。

4.1 非線性分析結果分析

從非線性分析的結果中選取跨中混凝土和鋼筋的拉壓節點分別繪制撓度應力曲線(圖6)。由圖6(a)可得，受拉區混凝土的應力達到抗拉極限后，由于未考慮單元失效的影響使其繼續承受拉伸應力作用，在混凝土抗拉本構關系作用下表現為下降段；受壓區的混凝土承受壓應力作用，表現為上升段直至混凝土壓應力達到抗壓極限。圖6(b)中鋼筋受力形態和混凝土相一致，在受拉區混凝土達到抗拉強度后拉力主要由鋼筋承擔，且伴隨著位移增加，拉應力增大直至抗拉強度。受壓區鋼筋的應力伴隨著混凝土壓應力同步增長，在混凝土達到抗壓強度時鋼筋仍未達到屈服極限。

圖6 撓度應力曲線Fig.6 Deflection stress curve

4.2 混凝土開裂分析結果

跨中受拉區混凝土的開裂模式如圖7，伴隨著裂縫的擴展，結構的中性軸逐步上移。

圖7 梁的裂縫擴展Fig.7 Extent of crack

由于初始結構中不含預設裂縫，初始裂縫的出現是由混凝土的斷裂準則判斷的，此時在最大拉應力區初始裂縫的位置是隨機的。初始裂縫出現后，伴隨著外部荷載的增加，受拉區所承受的彎曲拉應力增大，使得裂縫擴展，從圖7中觀察可得梁的最大裂縫深度超過梁高的1/2。從圖7中觀察發現裂縫的擴展是隨機的，符合實際中裂縫擴展的情況。但是這種隨機的裂縫擴展會導致同一單元中出現多條裂縫的現象發生，此時水平集條件不滿足，XFEM退出計算。

提取跨中混凝土和鋼筋的撓度應力曲線(圖8)。其中由于XFEM參數中只考慮混凝土彈性條件下的最大應力開裂問題，所以混凝土拉壓區的應力皆為線性變化。由于混凝土的開裂，中性軸上移，且開裂后的混凝土不能承受彎曲拉應力的作用，因此彎曲拉應力由內部鋼筋承擔，從圖5(b)中可以觀察到最終表現為受拉區和受壓區鋼筋達到拉壓極限，對比圖4發現，利用XFEM仿真得到的結果接近于真實情況下的適筋梁的配置要求，即在混凝土開裂后受拉區的拉應力主要由鋼筋承擔，最終得到的拉壓區的鋼筋應力符合適筋梁配筋的設計要求。

圖8 開裂梁撓度應力曲線Fig.8 Deflection stress curve of beam after crack

4.3 結果對比

通過上述分析，發現兩種方法對鋼筋混凝土適筋梁的計算都是有效的，其結果在某種程度上都是有意義的。但是由于XFEM算法的局限性，混凝土材料只考慮彈性本構，在結果中表現為拉壓區的應力皆為線性變化，但是對于考慮混凝土開裂即裂縫擴展趨勢的預測是準確和可靠的；在結果中考慮混凝土開裂后，鋼筋的應力變化更符合實際情況，并且驗證了鋼筋混凝土結構設計規范中關于鋼筋混凝土配筋的原則要求，即最大程度的發揮鋼筋和混凝土兩種材料的性能使其同時達到破壞極限。

5 結 論

筆者借助于有限元程序ABAQUS中非線性和XFEM裂縫算法計算了四點彎曲的適筋梁在承受荷載作用下的變化規律，通過對比分析得到如下結論：

1)計算所使用的四點彎曲梁在計算前曾經過Midas/Building校核，符合混凝土結構原理中適筋梁的要求。

2)兩種方法都能夠計算得到鋼筋混凝土梁在承受荷載作用下應力、應變和變形的發展，其變化程度和實際所測相符合。由于XFEM考慮了斷裂的影響，其結果更加接近真實值。

3)擴展有限元法能夠更好的解決傳統有限元方法中對于裂縫模擬的不足，通過仿真結果發現變形后鋼筋的應力變化規律，驗證了設計規范的要求，即合理的利用材料特性，使受彎梁破壞時鋼筋同時達到拉壓極限的要求。

4)由于在仿真過程中沒有預設裂縫，所有裂縫的出現都是隨機，中間考慮到裂縫擴展出現了水平集條件失效的問題未能分析至整梁的開裂。由于裂縫出現的隨機性，其結果更加符合實際情況的需要。這也從另外一個方面驗證了XFEM算法對于隨機開裂問題的有效性，也是首次對不含預設裂縫結構的損傷行為的嘗試。

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