基于Delphi的螺旋錐齒輪齒廓實體建模關鍵算法研究

王英杰，趙 巍，胡德計，潘 鑫

（天津職業技術師范大學天津市高速切削與精密加工重點實驗室，天津 300222）

基于Delphi的螺旋錐齒輪齒廓實體建模關鍵算法研究

王英杰，趙 巍，胡德計，潘 鑫

（天津職業技術師范大學天津市高速切削與精密加工重點實驗室，天津 300222）

根據成形法銑削螺旋錐齒輪切齒原理，推導出螺旋錐齒輪齒槽曲面的一元四次方程，通過求解一元四次方程得到齒槽上的關鍵點。為在Delphi+OpenGL環境下，利用所求得的關鍵點完成齒坯模型的建立，為仿真銑削過程的建立提供數據點。本文對比了在Delphi和Matlab下求解一元四次方程的不同，同時驗證了本文算法的正確性。

一元四次方程；關鍵點；Delphi+OpenGL；Matlab

螺旋錐齒輪因其傳動具有承載高、重疊系數大、傳動平穩、傳動效率高、噪聲低以及安裝誤差對其的影響減小等特點，廣泛應用于礦山、石油、煤礦機械、機床、鐵路機車等機械工程領域。但作為一種局部點接觸的不完全共軛的齒輪副，設計和加工過程非常復雜。在正式生產前往往需要通過調整、試切來初步驗證所使用的加工調整參數的合理性，延長了生產周期、增加了生產成本、造成資源的浪費。采用虛擬仿真將很好地解決上述問題，然而目前對于錐齒輪的建模主要是在現有的商業工程軟件基礎上進行二次開發，在三維軟件中，通過齒面方程得到齒面上的離散點，最后擬合成螺旋錐齒輪曲面，這種開發方式需要高昂的商業工程軟件支持，不具備自主知識產權而且重用性差，一旦改變參數就必須從頭開始。本文即針對上述問題，利用Delphi+OpenGL面向對象的開發軟件，基于半滾切法加工的齒輪，建立了推導弧齒錐齒輪齒廓曲面關鍵點的一元四次方程，并在Delphi里求解其關鍵點。為實體建模奠定基礎。

1 錐齒輪齒坯結構及參數確定

基于成形法加工的大輪，建立弧齒錐齒輪齒廓曲面關鍵點的方程，刀具、機床和工件的坐標系如圖1所示。

1）在機床坐標系0M-xMyMzM下的背錐面方程：

2）在機床坐標系0M-xMyMzM下的面錐方程：

其中：KM為齒面寬，aj為節錐角。

3）內外刀面在0M-xMyMzM坐標系下方程：

H、V分別為刀盤中心到機床坐標原點的水平距離和垂直距離，a1為外刀齒形角，a2為內刀齒形角，R為刀具的公稱半徑，W為刀錯距。

圖1 切齒坐標系

4）求出交點

分別將方程（1）、（2）與（3）聯立求出背錐、面錐與內（外）刀面的交點，即為一個一元四次方程，簡記為：

2 Delphi下求解一元四次方程

求解一元四次方程有數值迭代法求解和解析法求解兩類方法，數值迭代法需要對區間進行搜索，計算量比較大也比較浪費時間[1]。解析法求解一般有兩種方法，分別是笛卡爾算法[2]和費拉里解法[3-5]。通過比較計算精度和穩定性，本文采用費拉里解法。在Delphi下編寫求解一元四次方程的程序，并通過離散點數，最終可以得到齒槽上一系列的點，通過建立點的數據結構，實現對齒坯的實體建模。

首先將一元四次方程兩邊同時除以最高項系數，然后移項得

式中：y是一參數，不論取什么值，（6）式總成立。特別地，若所取值使等式右邊關于的二次三項式也能變成一個完全平方式，則對式（6）兩邊同時開方可以得到次數較低的方程。為使（6）式右邊關于的二次三項式也能變成一個完全平方式，使它的判別式為0，即

這是一個關于y的一元三次方程，利用一元三次方程的求根公式解出值，代入式（6）后兩邊開方，即可將四次方程降次成為一元二次方程，再通過一元二次方程的求根公式求解，最終能解出此一元四次方程的四個根，再根據系統需要對根進行取舍。Delphi下求解根流程圖如圖2所示。

圖2 求解過程流程圖

3 實驗驗證

通過運行程序可以解出一元四次方程的解，由于每個齒槽有4條線組成，分別是內外刀面與面錐和根錐的交線，在 Delphi下求得的交點坐標為（1.90989236825379e+2，-3.48033964838081e+1，-1.67596083394905e+1）。本文在每條交線上取20個離散點。在Matlab里解非線性方程組的方法通常是牛頓迭代法，需要初值。結果表明，不論初值多少，在機床坐標系下求得的交點均為（1.909912e+2，-3.47978e+ 1，-1.67460e+1），與Delphi里求解結果一致，即驗證了在Delphi下求解的正確性。表1列出2種算法的計算結果。

表1 Matlab與Delphi求得交點分析

求出齒槽上的關鍵點后，建立點鏈表和輔助鏈表的數據結構，通過三角片的連接原理和機床刀具的調整參數（表2）最終完成齒坯的實體造型如圖3所示。

表2 加工調整參數

圖3 大輪與刀盤嚙合

4 結語

根據成形法加工螺旋錐齒輪的切齒原理，建立了螺旋錐齒輪及銑齒刀內、外刀面的數學模型，在Delphi下通過求解一元四次方程，得到了建模所需的關鍵坐標點，并在Matlab里驗證了該方法的正確性，基于Delphi+Opengl建立了仿真銑削的界面和仿真模型，實現了仿真切削，為后續的螺旋錐齒輪數字化加工奠定了堅實的基礎。

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The study on the key algorithm of spiral bevel gear tooth profile modeling based on Delphi

WANG Ying-jie，ZHAO Wei，HU De-ji，PAN Xin
（Tianjin Key Laboratory of High Speed Cutting&Precision Machining，Tianjin University of Technology and Education Tianjin300222，China）

According to the principle of forming milling spiral bevel gear teeth，a yuan quartic equation of the spiral bevel gear tooth surface is derived and the key points on the tooth are got by solving a quartic equation.The Gear blank model is established by using the obtained key points Under Delphi+OpenGL circumstance，providing data points for the establishment of the simulation of milling process.This article compares the differences to solve equation of four times a yuan under Delphi and Matlab，at the same time，the algorithm in this paper proved to be correct.

a yuan quartic equation；key points；Delphi+OpenGL；Matlab

TH132；TP311

A

2095－0926（2014）04－0001－04

2014-07-10

天津市應用基礎及前沿技術研究計劃項目：跨平臺數控系統運行機理及結構研究（10JCYBJC06900）

王英杰（1988—），女，河南商丘人，碩士，研究方向為螺旋錐齒輪仿真算法；趙 ?。?976—），女，副教授，博士，研究方向為數字化制造。