小樣本條件下雙應力步降加速退化試驗優化設計

呂 萌,蔡金燕,梁玉英,潘 剛,張國龍,孟 軍

（軍械工程學院，河北 石家莊 050003）

小樣本條件下雙應力步降加速退化試驗優化設計

呂 萌,蔡金燕,梁玉英,潘 剛,張國龍,孟 軍

（軍械工程學院，河北 石家莊 050003）

針對小樣本條件下高可靠性長壽命產品的性能往往受到多個應力的影響，且在加速退化試驗中該類產品在有限試驗時間內難以獲得大量性能退化信息的問題，提出一種小樣本條件下雙應力步降加速退化試驗優化設計方法。采用Monte-Carlo對加速試驗進行仿真模擬，在樣本量大小一定的條件下，以監測頻率、應力水平數、監測次數作為設計變量，以總的試驗費用作為約束條件，以正常使用應力下的p階分位壽命漸進方差估計作為目標函數，建立小樣本條件下雙應力步降加速退化試驗優化設計模型。通過仿真實例，驗證該方法的有效性、可行性。

小樣本；性能退化；雙應力步降加速退化試驗；優化設計

0 引言

加速退化試驗是解決高可靠性、長壽命產品可靠性評估的一個重要技術途徑，Shuo-Jye Wu等[1]對在費用約束條件下的退化試驗優化設計進行研究；LC Tang等[2]以試驗費用最少為目標，對隨機過程分布下的步進加速退化試驗設計方法進行了研究；Zheng-zheng Ge等[3]在試驗截尾時間和樣本量大小的約束下，以正常使用應力下的p階分位壽命可靠度漸進方差估計為目標，對布朗運動模型下步進加速退化試驗優化設計進行研究；Jing-Rui Zhang等[4]以試驗費用作為約束，以正常使用應力下產品可靠度均方誤差為目標，對布朗運動模型下的步降加速退化試驗優化設計進行研究；Hong-F Yu[5]對倒數weibull分布退化率下的加速退化試驗優化設計進行了研究；Xiao-yang Li等[6]對競爭失效模型下的步降加速退化試驗優化設計進行了研究，潘正強等[7]對基

于Wiener過程的多應力加速退化試驗設計進行了研究。然而小樣本條件下以費用作為約束的雙應力步降加速退化試驗的優化設計研究相對較少，對小樣本量條件下電子產品的試驗優化問題沒有較為完善的理論支持。因而本文將采用Monte-Carlo仿真的方法對雙應力步降加速退化試驗進行模擬，在小樣本條件下以費用作為約束，對混合效應模型下的雙應力步降加速退化試驗進行分析。

1 小樣本條件下雙應力步降加速退化試驗方法

文獻[8]對雙應力步進加速退化試驗統計分析方法進行了研究。設有兩組應力水平S1和S2，每組應力組合包含一系列應力水平，為后續方便分析，在此假定兩組應力水平數及應力組合數大小均為k。

在滿足上述假設的前提下對試驗過程具體描述如下：

在試驗樣本大小n一定的條件下，首先給出k個監測周期T1，T2，T3，…，Tk；其次將選取的樣本置于最高應力水平組合下監測T1小時；然后放入下組應力水平組合下監測T2小時；如此試驗下去，直到最后一組應力水平組合其中Ti是應力組合水平持續的時間。

2 模型假設

2.1 退化模型假設

假設在第i個應力組合下樣本的退化軌跡可用以下混合效應模型描述：

其中i=1，2，…，k；j=1，2，…，k；l=1，2，…，n；hi=1，2，…，mi。

式中：Φ——退化量；

βil＞0——第i個應力水平組合下第l個樣品的隨機特征，βihi-1～Weibull（m，ηi），m為形狀參數，ηi為分布參數；

tihi——i個應力組合水平下的監測時間點；

α＞0——固定常數。

εikhi（ti，k）——測量誤差，相互獨立且服從標準正態分布

2.2 物理模型假設

退化軌跡參數中的隨機效應參數βil服從GΘ（·）分布，分布參數中ηi與應力存在如下關系：

3 優化問題描述

3.1 設計變量

（1）應力水平組合數k；（2）加速應力水平組合下的監測頻率；（4）gij為監測次數，且gij≥2，因而試驗的總時間其中tu為單位時間（小時）。從而試驗方案可表示為

3.2 優化目標

選用正常使用應力水平下p階分位壽命漸近方差的局部估計值作為目標函數，即

3.3 約束條件

在樣本量一定的條件下，因費用主要由監測方面的費用組成，故可以用費用函數來代替時間函數對試驗中的設計變量進行約束，具體如下：

式中：gij≥2，fij＞0，且n和gij均為正整數；

Cm——監測單個樣本監測一次所需的費用；

Cs——單個樣本費用；

Ce——單位時間的操作費用[1]。

4 優化設計方法

4.1 優化算法

圖1為小樣本條件下雙應力步降加速退化試驗優化設計流程圖。

第1步 在樣本量n給定的條件下，由式（4）可計算得試驗應力水平組合數ku=[（Cb-nCs）/（Ce+2nCm）]，監測頻率fu=[（Cb-nCs-2knCm）/（kCe）]的上限，[·]為取整函數；利用式（4）尋找所有的gi，構造應力水平并計算各應力水平大小其中i=1，2，…，k；j=1，2，…，k。通過對上述變量計算完成對試驗方案集的構造。

圖1 小樣本條件下雙應力步降退化試驗優化設計流程圖

第2步 在備選方案集D中選取一個試驗方案其中R為備選方案的個數。

第3步 利用Monte-Carlo方法，模擬雙應力步降加速退化試驗Q次，得到Q組模擬試驗數據：

第4步 通過對ycilhi進行統計分析，計算目標函數值fq，r（d）。

將其作為目標函數值fr。

第6步 返回第2步選取另一個試驗方案重復第2～5步，直至第R個方案完成，目標函數集為f= {fr，r=1，2，…，R}；

第7步 選取使得目標函數值fr達到最小的方案作為最優試驗方案d*。

4.2 目標函數的計算

目標函數的計算主要涉及p階分位壽命ξp的推導、數學模型及物理模型中先驗參數的估計及AVar（ξp）的計算。其中模型中相關參數的估計比較簡單，可以參照文獻[1]給出的最小二乘估計方法進行求解，這里重點給出AVar（ξp）的計算方法。

首先給出對數似然函數如下：

然后通過對式（6）求二階偏導可得到局部Fisher矩陣：

其中，l為對數似然函數，矩陣各項為l的二階偏導數在的值。

根據文獻[5]可很容易推導出p階分位壽命的極大似然估計為

則p階分位壽命ξp0的漸近方差估計為

其中

5 實例分析

采用文獻[5]中的實例進行分析，發光二極管（LED）的使用壽命受到溫度和電流影響，其中該型LED的正常使用溫度為278K，最低加速應力溫度為298 K，最高為378 K；正常使用電流25 mA，最低加速電流為28 mA，最高為40 mA。費用參數分別為：Cb=2 000元/h，Cs=55元/h，Cm=0.3元/h，Ce=0.6元/h。試驗樣品的先驗信息如下：

為簡化優化問題，特對試驗變量做以下假設：

（1）為了簡化計算方便分析在此將應力設置為等間隔，即

（2）在溫度最高為378K，最低為298K，電流最高為40mA，最低為28mA的應力水平組合下，樣本大小n=5和n=8時，按照本文提出的方法對雙應力步降加速退化試驗優化設計進行分析。具體情況如表1、表2所示。

比較分析表1與表2，可以得到如下結論：

（1）在試驗費用（試驗截尾時間）及樣本量大小一定的條件下，目標函數的值隨著應力水平數的增加呈現先減小的趨勢。

（2）樣本量大小及應力水平數一定的條件下，目標函數的值隨著試驗費用（試驗截尾時間）的增加呈現減小的趨勢。

在實際試驗時，還需考慮應力水平大小對優化試驗方案的影響，表3給出了n=8，k=3時最高應力水平變化時的優化試驗方案。

表1 小樣本條件下雙應力步降加速退化試驗優化設計結果（n=5)

表2 小樣本條件下雙應力步降加速退化試驗優化設計結果（n=8)

從表3中可以得出，當最低應力水平Tmin、Vmin一定時，目標函數值AVar（ξp0）隨著最高應力水平Tmax、Vmax的減小呈現先減小后增大得趨勢。

表3 小樣本條件下雙應力步降加速退化試驗優化設計結果（n=8)

6 結束語

本文對小樣本條件下雙應力步降加速退化試驗優化設計進行了討論，給出在小樣本量條件下雙應力步降加速退化優化設計的一般方法，分析不同小樣本量條件下，在不同費用約束下的最優試驗方案；同時以n=8，k=3為例分析一定費用條件下應力變化對最優試驗方案的影響，得出一些指導小樣本下雙應力步降加速退化試驗的有用結論，補充和完善了加速退化試驗優化設計理論框架。

[1]Wu S J，Chang C T.Optimal design of degradation tests in presence ofcostconstraint[J].Reliablity Engineering and System Safety，2002，76（2）：109-115.

[2]Tang L C，Yang G Y，Xie M.Planning of step-stress accelerated degradation test[C]∥ RAMS，Los Angeles，USA，2004：278-292.

[3]Ge Z Z，Li X Y，Zhang J R.Planning of step-stress accelerated degradation test with stress optimization[C]∥Advanced Materials Research，Germany，2010：118-120，404-408.

[4]Zhang J R，Jiang T M，Li X Y，et al.Optimization of step stress accelerated degradation test plans[C]∥17th Interna tional Conference on Industrial Engineering and Engineering Management，IE and EM 2010，China，2010（10）：947-951.

[5]Yu H F.Designing an accelerated degradation experiment with a reciprocal weibull degradation rate[J].Journal of Statistical Planning and Inference，2006，136（1）：282-297.

[6]Li X Y，Jiang T M.Optimal design for step-stress accel erated degradation with competing failure modes[C]∥Annual Reliability and Maintainability Symposium，2009：64-68.

[7]潘正強、周經倫，彭寶華.基于Wiener過程的多應力加速退化試驗設計[J].系統工程理論與實踐，2009，8（29）：64-71.

[8]汪亞順，莫永強，張春華，等.雙應力步進加速退化試驗統計分析研究——模型與方法[J].兵工學報，2009，30（4）：451-456.

Optimization design of double-step-down-stress accelerated degradation test for small sample

Lü Meng，CAI Jin-yan，LIANG Yu-ying，PAN Gang，ZHANG Guo-long，MENG Jun
（Ordnance Engineering College，Shijiazhuang 050003，China）

Performance of the high reliability and long life products on the condition of the small sample are affected by several stresses and it is hard to get the performance degraded information in limited test time in accelerated degradation test.This paper presented a method of optimal designs for the double-step-down-stress accelerating degradation test on condition of small sample.Simulating procedure of the test with Monte-Carlo and on the condition of the sample size was specified.Numbers of stress and inspection frequency were considered as variables. Asymptotic variance estimation of 100pth percentile of the lifetime distribution of the product at use condition was considered as goal function under the constraint of the total experiments cost. Finally，optimal designed model of the double-step-down-stress accelerated degradation test on condition of the small sample was established.Simulation results verify feasibility and the validity of this method.

smallsample； performance degradation； double-step-down-stressaccelerated degradation test；optimal design

TH123+.4；TJ206；TB114.3；TP277.3

：A

：1674-5124（2014)03-0129-04

10.11857/j.issn.1674-5124.2014.03.034

2012-08-05；

：2012-10-11

河北省重點基金項目（109635529D）

呂 萌（1984-），男，河北石家莊市人，博士研究生，研究方向為武器性能檢測與故障診斷。