用CSTBD試樣確定砂巖的動態起裂和擴展韌度*

楊井瑞,張財貴,周 妍,王啟智

(四川大學土木工程及應用力學系，四川 成都 610065)

動態斷裂研究一般分為2類[1]：(1)動荷載作用下裂紋的起始擴展問題；(2)快速運動狀態下裂紋的擴展與止裂問題。一方面,材料慣性效應造成荷載以應力波的形式傳播，使得動態應力強度因子的理論求解十分復雜；另一方面,材料動態斷裂韌度與加載速率和裂紋擴展速度有關，而實現高速加載、精確測量裂紋的擴展速度和確定臨界點等也比較困難[2]。

分離式霍普金森壓桿(split Hopkinson pressure bar， SHPB)實驗裝置可方便地實現實驗室內高速加載，已成為研究高應變率下材料動態力學參數的理想實驗裝置[3-4]。巴西圓盤類試樣可以通過對徑壓縮產生間接拉伸作用的方法測量巖石等準脆性材料的力學參數[5]，如中心直裂紋巴西圓盤(cracked straight-through Brazilian disc， CSTBD)試樣還具有幾何構型簡單、二維模型數值模擬計算量小的特點。J.Zhou等[6]通過徑向沖擊CSTBD試樣研究了高應變率下有機玻璃的Ⅰ型動態起裂韌度；張盛等[7]利用SHPB裝置徑向撞擊2種圓孔裂縫平臺巴西圓盤，對巖石動態起裂韌度的尺寸效應進行了研究；Q.Z.Wang等[8]利用中心直裂紋平臺巴西圓盤試樣對巖石進行了Ⅰ型和Ⅱ型動態起裂韌度的研究；茍小平等[9]利用SHPB裝置對徑沖擊預裂的人字形切槽巴西圓盤試樣，對砂巖的Ⅰ型動態起裂韌度進行了實驗-數值法和準靜態法的對比。而關于動態擴展韌度的實驗研究則相對較少。D.M.Owen等[10]利用高靈敏度應變片測定了2024-T3厚鋁片動態擴展韌度與裂速之間的關系；A.Bertram等[11]利用應變片法在較廣的裂速范圍內對Solnhofen石灰巖的動態擴展韌度進行了研究。

普適函數最初在無限大線彈性體半無限勻速擴展裂紋表面受時間無關荷載作用的條件下通過理論推導所得，隨后又在不同荷載類型作用下和非勻速擴展條件下得到相同的結論[12-17]，該函數表征了裂速不超過Rayleigh波速時裂紋擴展速度對動態應力強度因子的影響[2,18]。普適函數在第二類動態斷裂問題中有一定的應用。H.S.Bhat等[19]通過對玻璃的動態斷裂研究,認為裂紋在一定擴展速度下的動態應力強度因子應等于相同構型下靜止裂紋的動態應力強度因子與該裂速普適函數值的乘積；X.D.Ren等[20]根據數值模擬的結果和應用普適函數，提出了PMMA材料動態斷裂過程中裂紋速度和動態斷裂能之間的關系；謝和平等[21]利用普適函數分析了巖石斷裂分形路徑上擴展裂紋的動態應力強度因子。盡管應用普適函數已有一些成果，但尚未見有利用普適函數測定巖石擴展斷裂韌度的研究。

本文中采用大直徑SHPB裝置徑向沖擊CSTBD砂巖試樣，采用實驗-數值法確定砂巖的動態起裂韌度；在短程裂速均勻化的條件下，結合動態斷裂的普適函數和實驗-數值法確定砂巖的動態擴展韌度，從而擴大普適函數的應用范圍，并充實已有的實驗-數值法。

1 實驗過程

1.1 試樣制備

共制作了10個CSTBD試樣，試樣材料為砂巖，楊氏彈性模量E=17.67 GPa，泊松比μ=0.21，密度ρ=3 055 kg/m3。試樣直徑D=(147.7±0.1) mm，厚度B=(58.6±1) mm，半裂紋長度a=(46.7±1) mm，裂紋寬度為1 mm，裂紋尖端采用打磨的較薄鋼鋸條精加工，裂尖寬度為0.1 mm。試樣上應變片4(背面為6號)與應變片3，應變片5(背面為7號)與應變片8的距離均為s=10 mm。CSTBD試樣簡圖及應變片粘貼位置如圖1所示。

1.2 實驗裝置

采用大直徑SHPB加載裝置，壓桿直徑100 mm，入射桿長4.5 m，透射桿長2.5 m，SHPB加載裝置簡圖如圖2所示，入射桿上的應變片到試樣與入射桿接觸端的距離為l1= 2.5 m，透射桿上的應變片到試樣與透射桿接觸端的距離l2= 0.5 m。SHPB壓桿的材料為42CrMo，彈性模量為210 GPa，泊松比為0.3，密度為7 850 kg/m3，一維縱波理論波速為5 172 m/s，實測波速為5 240 m/s。

圖2 SHPB加載裝置示意圖Fig.2 Schematic diagram of SHPB loading device

SHPB加載裝置中的炮彈選用梭形炮彈，以獲取良好的半正弦波，來減小應力波沿壓桿傳播時由于彌散效應產生的震蕩現象[22]。為了延長加載波上升沿，實驗中采用電話卡作為波形整形器[23]。放置試樣時在試樣及壓桿端面涂抹黃油以減小試樣與端面線接觸部位的受力不均勻。

1.3 實驗數據的處理

根據一維應力波假定,由式(1)得到試樣入射端面荷載PL(t)和透射端面荷載PR(t)，為消除試樣兩端荷載的時間不均勻性和空間不均勻性，荷載P(t)取左右端荷載的平均值[24]，如圖3所示。

(1)

式中:Eb、Ab分別為Hopkinson壓桿的彈性模量和橫截面積,εi(t)、εr(t)、εt(t+ts)分別為桿上相應應變片記錄的入射應變、反射應變和透射應變,ts為應力波在試樣中的傳播時間。

圖3 CSTBD-1-3試樣疊加后的加載波形Fig.3 Superposed loading wave of CSTBD-1-3

圖4 CSTBD-1-3試樣tf 、 tp和tf-p的確定Fig.4 Determination for tf , tp and tf-p of CSTBD-1-3

試樣入射端裂紋起裂后擴展至距離s處的應變片8所用時間tf-p=tp-tf，以該段內的平均擴展速度va=s/tf-p作為應變片8處裂紋的擴展速度。所測速度的準確性與應變片之間的間距有關，間距越小結果越精確[26]。各個CSTBD試樣的實驗數據如表1所示。材料的膨脹波波速cd、剪切波速cs以及Rayleigh波速cR分別為[1,27]

(2)

根據式(2)，求解得到cd=2 551.6 m/s,cs=1 546.0 m/s,cR=1 411.0 m/s。

表1 CSTBD試樣的實驗數據Table 1 Experimental data of the CSTBD specimens

2 普適函數和動態斷裂準則

在時間無關或在時間相關荷載作用下，以任意速度擴展的任何Ⅰ型裂紋，其動態應力強度因子均可表示為裂尖瞬時裂速的普適函數與相同裂紋尺寸、相同荷載作用下靜止裂紋的應力強度因子之積[18,27]

(3)

通過式(3)可以看出，裂紋擴展速度v對動態應力強度因子KⅠd(t)的影響，已從其他影響因素中分離出來，并用普適函數k(v)來確定。無限大線彈性體含半無限勻速擴展裂紋的普適函數值可由如下近似計算公式求得[18,27]：

(4)

v=va時的計算結果k(va)列于表1之中。

(5)

實驗中各CSTBD試樣的幾何尺寸和裂尖形狀均相同，若不考慮外界溫度的影響，則材料的動態起裂韌度僅與動態加載率有關，動態擴展韌度只與裂紋擴展速度有關，動態起裂和動態擴展準則分別為

(6)

3 結果與討論

3.1 動態斷裂韌度的確定

為確保本文動態有限元計算結果的精度，對經典的“Chen問題[28-29]”進行了有限元分析，并和Chen的有限差分結果進行對比，發現2種結果非常吻合。在此基礎上，根據試樣和荷載的對稱性選取有限元平面應變1/2模型，計算起裂韌度時，將有限元模型1的裂尖分別置于應變片4和應變片5位置；計算擴展韌度時，將有限元模型2的裂尖分別置于應變片4和應變片8位置，如圖5所示。

圖5 CSTBD的有限元1/2模型Fig.5 Half finite element models of CSTBD

數值模型實體采用plane 82單元，裂紋尖端用平面1/4節點奇異單元描述，如圖6所示，時間子步步長設置為0.1 μs，2種模型均共有5 522個單元、16 871個節點。動態應力強度因子的時間歷程按下式進行計算[30]：

(7)

式中:E、μ分別為材料的彈性模量和泊松比，rOB為奇異單元邊長rOA的1/4，vA(t)為圖6中節點A在y方向的位移的時間歷程，vB(t)為圖6中節點B在y方向的位移的時間歷程。

圖6 裂尖坐標和1/4節點奇異單元Fig.6 Crack tip coordinate system and singular element with quarter points

圖7 實驗-數值法所得CSTBD-1-3的計算結果Fig.7 Results of CSTBD-1-3 by experimental-numerical method

從圖7中曲線4可以看出,在試樣入射端裂紋起裂時刻，對應的應力強度因子有一定的躍變，這種躍變是由計算過程中采用了1.3節中入射端裂紋起裂后便以裂速va勻速擴展的假設所引起的。首先該假設造成了入射端裂紋一旦起裂，裂紋擴展速度便由0躍變為va，然后由式(4)計算的相應裂速普適函數值也由k(0)躍變至k(va)，最后由式(5)計算的應力強度因子也隨之發生躍變。由于實驗采用的是普通應變片測量裂速，不能精確地獲得裂紋擴展速度的變化曲線，因而無法確定裂紋起裂時是否的確存在裂速和動態應力強度因子的躍變。將本文中的起裂韌度計算結果與文獻[9]中同種材料同時制作的CSTBD試樣的全模型計算結果進行了對比，最大誤差為2.81%，也說明了本文數值計算的可靠性。CSTBD試樣的計算結果見表2。

表2 CSTBD試樣的計算結果Table 2 Results of the CSTBD specimens

3.2 起裂韌度與動態加載率的關系

圖8 實驗-數值法所得動態起裂韌度與動態加載率Fig.8 Dynamic initiation toughness and dynamic loading rate obtained by experimental-numerical method

圖9 實驗-數值法所得擴展斷裂韌度和擴展速度Fig.9 Crack growth toughness and crack speed obtained by experimental-numerical method

3.3 擴展斷裂韌度與裂紋擴展速度的關系

4 結 論

(1)采用實驗-數值法將實驗中動荷載施加于數值模型得到動態應力強度因子的時間歷程，以實驗中記錄的起裂時刻對應的動態應力強度因子作為材料的動態起裂韌度。首次嘗試將普適函數應用于確定材料的動態擴展韌度，即用裂紋擴展速度的普適函數值對數值計算的動態應力強度因子時間歷程進行修正，以實驗中記錄的擴展裂紋的通過時刻的速度va所對應的動態應力強度因子作為材料在該裂速下的動態擴展韌度。

(2) 利用CSTBD試樣測定了砂巖的動態起裂韌度和動態擴展韌度。砂巖的動態起裂韌度隨動態加載率的提高而增加，動態擴展斷裂韌度隨裂紋擴展速度的提高而增加。動態斷裂韌度隨加載率和裂紋擴展速度的變化規律與已有文獻用其他方法所得到的結論一致。

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