沖擊載荷作用下矩形薄板的彈性動(dòng)力屈曲*

毛柳偉，王安穩(wěn)，鄧 磊，韓大偉

(海軍工程大學(xué)理學(xué)院，湖北 武漢 430033)

作為工程結(jié)構(gòu)主要單元之一，板在沖擊載荷作用下的動(dòng)力屈曲問(wèn)題一直受到人們的普遍關(guān)注。已有的研究[1-4]中，大多要求板具有某種形式的初缺陷，且假定屈曲發(fā)生時(shí)結(jié)構(gòu)中各截面處于均勻的軸向受力狀態(tài)，針對(duì)的是沖擊載荷的后期效應(yīng)，此時(shí)考慮結(jié)構(gòu)的整體屈曲，忽略了應(yīng)力波效應(yīng)。近年來(lái)，利用金屬夾心構(gòu)件的失穩(wěn)吸能提高結(jié)構(gòu)抗沖擊性能的研究，受到了重視[5-7]，在抗沖擊機(jī)理研究中，需考慮在應(yīng)力波作用下的動(dòng)力屈曲和后屈曲問(wèn)題。D.G.Vaughn等[8-9]的研究表明，高速?zèng)_擊下板中應(yīng)力波的傳播與屈曲的發(fā)生是耦合的。考慮應(yīng)力波效應(yīng)，施連會(huì)等[10]、韓大偉等[11]對(duì)階躍載荷作用下薄板彈性動(dòng)力屈曲進(jìn)行了研究，假設(shè)屈曲模態(tài)沿y方向?yàn)榘雮€(gè)正弦波，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一維問(wèn)題進(jìn)行求解，然而該方法只能求解垂直于應(yīng)力波傳播方向板的兩個(gè)邊界為簡(jiǎn)支約束的情況，對(duì)于其他邊界條件則無(wú)法求解。

本文中，根據(jù)動(dòng)力屈曲瞬間的能量率守恒準(zhǔn)則，導(dǎo)出應(yīng)力波作用下矩形薄板動(dòng)力屈曲控制方程和波前附加約束條件；采用有限元離散建立求解沖擊載荷作用下考慮應(yīng)力波效應(yīng)薄板彈性動(dòng)力屈曲問(wèn)題的完整解法，定量計(jì)算橫向慣性效應(yīng)對(duì)提高薄板動(dòng)力屈曲臨界應(yīng)力的貢獻(xiàn)，揭示屈曲模態(tài)與沖擊載荷和臨界屈曲長(zhǎng)度之間的關(guān)系，為薄板后屈曲問(wèn)題的求解提供參考。

1 動(dòng)力屈曲平衡方程

圖1 矩形薄板受沖擊載荷作用Fig.1 The rectangular thin plate subjected to in-plane impact load

板在屈曲前保持平面狀態(tài)，與應(yīng)力波傳播方向垂直的截面上應(yīng)力均勻分布。記臨界屈曲的時(shí)間為t0，用ux,y,t0,wx,y,t0=0表示板在t0時(shí)刻的真實(shí)位移。記t1為屈曲發(fā)生的時(shí)間，t1=t0+Δt,Δt為時(shí)間的一個(gè)微小增量，屈曲時(shí)板的面內(nèi)位移為u*x,y,t1、v*x,y,t1，橫向位移為w*x,y,t1。

(1)

以下，將通過(guò)t1-t0時(shí)刻結(jié)構(gòu)能量變化率守恒原理建立屈曲控制方程，為方便計(jì)算，假設(shè)板在同一時(shí)刻t0存在一個(gè)等時(shí)的鄰近位形，為u*x,y,t0、v*x,y,t0、w*x,y,t0。由等時(shí)變分原理可得δw=w*t0-wt0，δu=u*t0-ut0，δv=v*t0-vt0。以下記δw=w1，δu=u1，δv=v1。

應(yīng)力波從沖擊端傳入后，隨著時(shí)間的增加，板中承受軸壓的部分增長(zhǎng)，在受壓段達(dá)到臨界長(zhǎng)度時(shí)，結(jié)構(gòu)發(fā)生橫向屈曲，屈曲時(shí)板的動(dòng)能、外力功和變形能分別為：

(2)

(3)

(4)

式中：C=Eh/1-ν2，D=Eh3/121-ν2；采用Karman平板理論中的幾何關(guān)系，εx、εy、γxy表示板中面的應(yīng)變分量，χx、χy、χxy表示板的曲率及扭率。

比較t1-t0時(shí)刻結(jié)構(gòu)動(dòng)能的變化情況，可以得到：

ΔK=Kt1-Kt0=

(5)

式(5)右端第4項(xiàng)可以用中值定理簡(jiǎn)化，認(rèn)為位移滿(mǎn)足一定的連續(xù)條件，只考慮一階小量，有：

(6)

所以，動(dòng)能的變化率為：

(7)

屈曲時(shí)面內(nèi)慣性效應(yīng)與橫向慣性效應(yīng)相比是小量，忽略面內(nèi)慣性效應(yīng)，式(7)可以簡(jiǎn)化為:

(8)

忽略屈曲時(shí)面內(nèi)新增微小載荷和位移，同樣可得，t1-t0時(shí)刻結(jié)構(gòu)應(yīng)變能的變化率為：

(9)

t1-t0時(shí)刻外力功的變化情況為：

(10)

根據(jù)屈曲瞬間能量率守恒定律，有：

(11)

將式(8)～(10)代入式(11),得

(12)

將式(12)右端第1項(xiàng)積分，得到關(guān)于位移w*x,y,t0的控制方程，考慮到wx,y,t0=0，可得：

(13)

式(12)右端第2項(xiàng)表示應(yīng)力波波陣面處的邊界條件，根據(jù)波陣面處的連續(xù)條件，有：

w1ct0,y,t=0

w1,xct0,y,t=0

(14)

將式(14)代入式(12)右端第2項(xiàng)，得波陣面處的附加約束條件為：

w1,xxct0,y,t=0

(15)

由以上推導(dǎo)可知，要滿(mǎn)足屈曲瞬間能量轉(zhuǎn)換和守恒原理，必須同時(shí)滿(mǎn)足控制方程(式(13))和波前附加約束條件(式(15))。

2 應(yīng)力波作用下薄板彈性動(dòng)力屈曲準(zhǔn)則

由于臨界屈曲時(shí)刻應(yīng)力波傳播距離是待定的，目前廣泛采用的商用有限元程序?qū)υ搯?wèn)題無(wú)法求解。而解析法僅對(duì)階躍載荷作用下個(gè)別邊界情況[10-11]可以實(shí)現(xiàn)，當(dāng)壓應(yīng)力波分布不均勻時(shí)，式(13)中屈曲模態(tài)的解析形式不容易得到，因而不易求解。本節(jié)中，采用有限元離散，尋找同時(shí)滿(mǎn)足控制方程(13)和波前附加約束條件(15)的屈曲位移，建立該問(wèn)題的完整解法。

分離變量，將板的屈曲模態(tài)函數(shù)寫(xiě)成：

(16)

將式(16)代入式(12)右端第1項(xiàng)，分離變量，得：

(17a)

(17b)

由式(17b)可以證明，滿(mǎn)足dλ/dl=0(l=ct0),則同時(shí)滿(mǎn)足了附加約束條件(15)。

將板用薄板矩形單元離散，沿寬度方向劃分為m+1個(gè)節(jié)點(diǎn)，沿應(yīng)力波傳播長(zhǎng)度方向劃分為n+1個(gè)節(jié)點(diǎn)，共有n×m個(gè)單元。單元幾何剛度矩陣kσ=?vN(x)CTCdv，彎曲剛度矩陣k=?vBTDBdv，質(zhì)量矩陣(一致質(zhì)量矩陣)m=?vρNTNdv。其中，N為形函數(shù)，C=N,x，D為薄板單元彈性矩陣，B為單元應(yīng)變矩陣。

按照幾何非線(xiàn)性有限元理論，薄板動(dòng)力屈曲控制方程可表述為：

(18)

式中：M為結(jié)構(gòu)整體的質(zhì)量矩陣，K、Kσ分別為結(jié)構(gòu)整體的彎曲剛度矩陣和幾何剛度矩陣，δ為整體節(jié)點(diǎn)位移陣。

令整體節(jié)點(diǎn)位移陣：

(19)

代入式(18)，得:

(20)

式(20)為壓應(yīng)力波作用下薄板發(fā)生動(dòng)力分叉屈曲的特征方程，若λ=0，則轉(zhuǎn)化為薄板靜力失穩(wěn)的特征方程。由式(19)可知，λ>0時(shí)結(jié)構(gòu)存在發(fā)散解。由以上分析可知，λ>0，dλ/dl=0同時(shí)滿(mǎn)足了屈曲控制方程(13)和附加約束條件(15)，因此對(duì)應(yīng)長(zhǎng)度l即為相應(yīng)載荷作用下的臨界屈曲長(zhǎng)度。

可以看出，若屈曲模態(tài)一定，特征參數(shù)λ將直接決定屈曲模態(tài)放大的程度。λ是關(guān)于應(yīng)力波傳播距離l(l=ct0)和軸向分布載荷的函數(shù)，臨界屈曲時(shí)載荷在板中的分布一般是已知的，所以λ將是關(guān)于長(zhǎng)度l的函數(shù)，由dλ/dl=0得到的是一定外載作用下，結(jié)構(gòu)屈曲發(fā)展最快模態(tài)對(duì)應(yīng)的長(zhǎng)度，即由該準(zhǔn)則得到的臨界屈曲長(zhǎng)度是最優(yōu)模態(tài)對(duì)應(yīng)的長(zhǎng)度。

3 薄板彈性動(dòng)力屈曲求解

采用Matlab軟件編制相關(guān)計(jì)算程序，與文獻(xiàn)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，驗(yàn)證本文理論和程序的正確性。計(jì)算時(shí)，將應(yīng)力波傳播長(zhǎng)度劃分為10個(gè)單元，板寬劃分為5個(gè)單元，改變l，每一個(gè)長(zhǎng)度可以得到若干特征值，取其中最大的特征值，繪制λ與l的關(guān)系圖，從圖中找出滿(mǎn)足條件的相關(guān)點(diǎn)。

3.1 算 例

矩形薄板，材料彈性模量E=71 GPa，密度ρ=2 700 kg/m3。矩形截面：h=3 mm，b=250 mm。為方便表示，從受載端開(kāi)始，沿逆時(shí)針?lè)较颍瑢?duì)板的邊界條件進(jìn)行命名，用C表示夾支邊界、S表示簡(jiǎn)支邊界、F表示自由邊界，如四邊夾支板邊界條件為CCCC。對(duì)應(yīng)邊界條件CCCC，板中應(yīng)力波覆蓋部分應(yīng)力為180、150和120 MPa的試件，計(jì)算結(jié)果如圖2(a)所示。

在圖2(a)中標(biāo)示了滿(mǎn)足條件的相關(guān)點(diǎn)，可以看出：對(duì)應(yīng)應(yīng)力180 MPa，當(dāng)l=120 mm時(shí)，λ=0，該點(diǎn)與相應(yīng)長(zhǎng)度薄板靜力失穩(wěn)狀態(tài)對(duì)應(yīng)；當(dāng)120 mm

限于篇幅，本文中僅給出對(duì)應(yīng)應(yīng)力180 MPa的前三階屈曲模態(tài)。由圖2(a)得到結(jié)構(gòu)的臨界屈曲長(zhǎng)度和對(duì)應(yīng)的特征值，該特征值對(duì)應(yīng)的特征參數(shù)即為結(jié)構(gòu)屈曲模態(tài)。計(jì)算屈曲模態(tài)時(shí)，將應(yīng)力波傳播長(zhǎng)度和板寬劃分為40×30的網(wǎng)格，計(jì)算結(jié)果如圖3所示。

對(duì)應(yīng)邊界條件CSCS和CFCF，幾何物理參數(shù)同上，板中應(yīng)力波覆蓋部分應(yīng)力為180、150和120 MPa的試件，計(jì)算所得λ與l關(guān)系如圖2(b)～2(c)所示。

圖2 特征參數(shù)與傳播距離的關(guān)系Fig.2 Characteristic parameters versus propagation distances

圖3 邊界條件CCCC下薄板屈曲模態(tài)Fig.3 The buckling modes of thin plate under boundary condition CCCC

3.2 與文獻(xiàn)結(jié)果的對(duì)比

陳鐵云等[13]對(duì)四邊夾支矩形薄板靜力失穩(wěn)進(jìn)行研究，得到四邊夾支矩形薄板的臨界載荷近似為：

(21)

由式(21)得到，邊界條件CCCC下相應(yīng)薄板彈性靜力失穩(wěn)的臨界載荷分別為193、162和129 MPa，本文計(jì)算得到相應(yīng)板的軸向壓力為180、150和120 MPa，最大誤差為7.4%。

為方便對(duì)比，引進(jìn)量綱一量：

(22)

表1 臨界力參數(shù)和動(dòng)力特征參數(shù)Table 1 Critical-load parameters and dynamic characteristic parameters

韓大偉等[11]對(duì)所述CSCS邊界板進(jìn)行研究，得到了一階臨界力參數(shù)和動(dòng)力特征參數(shù)的解析解，換算到本文中為：

(23)

由式(23)計(jì)算得到邊界條件CSCS下一階臨界力參數(shù)分別為15.26、13.99和12.75，本文計(jì)算得到的分別為14.10、13.12和11.90，最大誤差為7.6%；由式(23)計(jì)算得到一階動(dòng)力特征參數(shù)分別為4.08、3.62和3.14，本文計(jì)算得到的分別為3.87、3.48和2.99，最大誤差為5.2%。這驗(yàn)證了本文理論和程序的正確性。

由表1可以看出：(1) 由于屈曲時(shí)的橫向慣性效應(yīng)，應(yīng)力波作用下薄板臨界力參數(shù)遠(yuǎn)大于相應(yīng)邊界板的靜力失穩(wěn)臨界力參數(shù)。一階動(dòng)力屈曲臨界力參數(shù)是相應(yīng)邊界薄板彈性靜力失穩(wěn)臨界力參數(shù)的1.5倍，可見(jiàn)橫向慣性效應(yīng)大大提高了結(jié)構(gòu)的屈曲臨界力。(2) 比較不同邊界條件薄板同階的臨界力參數(shù)和動(dòng)力特征參數(shù)，可以發(fā)現(xiàn)對(duì)應(yīng)邊界條件CCCC、CSCS和CFCF，臨界力參數(shù)逐漸減小，動(dòng)力特征參數(shù)逐漸增大。這是因?yàn)椋宓倪吔缂s束逐漸減弱，因而屈曲需要的作用載荷逐漸減小，屈曲時(shí)慣性效應(yīng)逐漸增大。

4 結(jié) 論

根據(jù)動(dòng)力屈曲瞬間的能量率守恒準(zhǔn)則，導(dǎo)出了應(yīng)力波作用下矩形薄板動(dòng)力屈曲控制方程和波前附加約束條件；采用有限元離散建立了求解考慮應(yīng)力波效應(yīng)時(shí)薄板彈性動(dòng)力屈曲問(wèn)題的屈曲準(zhǔn)則和完整解法，揭示了屈曲模態(tài)與沖擊載荷和臨界屈曲長(zhǎng)度之間的關(guān)系，定量計(jì)算了橫向慣性效應(yīng)對(duì)提高薄板動(dòng)力屈曲臨界應(yīng)力的貢獻(xiàn)。計(jì)算結(jié)果表明：板的厚寬比一定時(shí)，臨界屈曲長(zhǎng)度隨沖擊載荷的增大而減小；由于屈曲時(shí)的橫向慣性效應(yīng)，應(yīng)力波作用下薄板一階臨界力參數(shù)是相應(yīng)邊界板的靜力失穩(wěn)臨界力參數(shù)的1.5倍；隨著邊界約束逐漸減弱，板臨界力參數(shù)逐漸減小，動(dòng)力特征參數(shù)逐漸增大。

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