建立在泊松方程上的空間電荷密度測量技術

程文鋒 汪振

摘 要：本論文以泊松方程的基本公式為中心，通過數學轉換和物理建模，巧妙地解決了泊松方程的邊界條件問題，直接求取了空間電荷密度與電場的關系式。本論文還根據基本的物理學知識對傳感器進行了設計，實現了空間靜電場轉化為電流信號功能，進而轉化為電壓信號，其功能上還能辨識電荷極性。最后通過物理模型的電場分布特性計算了如何通過直流電場對測量裝置進行校正。本論文所設計的空間電荷密度測量技術可應用于大氣電荷研究、電荷移動研究等。

關鍵詞：泊松方程；電荷密度；電極；電場強度；

中圖分類號：TH762 文獻標識碼：A

目前測量空間電荷密度多采取的是間接方式，如聲波、激光、熱脈沖等。這些方法受環境影響較大，精度不高，同時也容易影響被測電荷。本論文所提出的測試方法是建立在最基本的物理方程上進行展開，通過公式推導和巧妙的設計，實現對空間電荷密度的測量。

1 測量裝置的基本原理

物理學中的泊松方程的微分形式為▽2=-ρ/ε，其中ρ代表電荷密度，它在空間上是一個三維方程。若只考慮x方向的泊松方程，則有式（1）。

（1）

圖1為測量裝置的物理模型，模型的上、下電極通過側壁連接，它們之間的距離為d。設裝置里面充滿了電荷密度為ρ的電荷，同時在它的作用下，在上、下電極上形成電壓U0。模型的下電極上裝有靜電式電場傳感器。圖1模型中還建立了x軸坐標，其方向以下電極的表面為起點，向上電極方向為正。所建立的物理模型在x方向上的電場只與電荷ρ有關，與外電場無關，即兩端電極上只有裝置空間的電荷作用，與外電場無關。

解方程（1）得式（2）。

（2）

式（2）等式的du/dx即為上、下電極間的電場強度。對式（2）求解得式電極間的電壓表達式（3）。

（3）

在邊界條件x=0，電壓u=U0；x=d，電壓u=U0時，求得

，c2=U0，將

代入式（2）得兩端間的電場強度Ex。

（4）

當x=0時，；當x=d時，

當x=d/2時，Ed/2=0。

通過上面分析，在x=0處存在空間電荷密度與電極表面的電場強度有直接的線性關系，即

所以只要通過傳感器測量出E0，就可通過計算求出空間電荷密度ρ。

2 傳感器設計

靜電傳感器的設計原理模型是基本上是在靜電場中放置一個導體，導體表面就會產生感應電荷，當電場變化時感應電荷也變化，使導體內部電荷的移動形成微弱電流。根據微弱電流的變化或電荷移動所產生的效應，就可知電場的變化。但在實際測量中，傳感器所在的靜電場中電場基本不變或緩變，不易測量所處在靜電場的變化。

該傳感器的設計方法采用靜電式場強測量方式，采用遮擋片遮擋的形式對一個導體的屏蔽和去屏裝置，可以周期性地實現屏蔽和去屏的動態效果，產生因動態變化感應到的感生電荷。其設計原理如圖2所示。旋轉葉片和固定葉片都是由金屬制作的扇形葉片，旋轉葉片在馬達的帶動下以屏蔽固定葉片電場的方式達到調制作用。

設固定葉片在面積S上的感應電荷，在一定的空間電荷密度ρ作用下，電場E是保持不變的，所以可通過旋轉葉片的調制作用改變S，從而有式（5）。

（5）

通過式（5）將電場信號轉化為電流信號，且電流值與面積的變化率有關。可通過圖3進行分析。

圖3為旋轉葉片開始遮斷電場線示意圖，有

則面積S有式（6）。

（6）

將式（6）式代入（5）式得：

（7）

式（7）中，f表示電動機的頻率。

同理，當旋轉葉片離開固定葉片區域時，調制出的電流方向相反，如此反復，就可得到周期性的方波電流信號，經采樣電阻后又可將電流信號轉化為電壓信號，最后經抗干擾和放大處理后即可被CPU采樣。圖4為傳感器的調制機理時序圖，可見正電荷與負電荷相位相反，通過它即可辨別電荷極性。

3 校正方法的建立

在式（1.4）分析中，上、下電極中間d/2處是沒有與x方向垂直的電場。若在電極中間d/2處，插入一個無厚度的金屬片，如圖5所示，并在金屬片與電極間加直流電壓Us時，則在（0，d/2）范圍內有式（8）。

（8）

當x=0，u=0時，c4=0；x=d/2，u=Us時，。所以（0，d/2）和（d/2，d）的電場強度。

（9）

當電壓Us所建立的電場強度與等效電荷密度建立的電場強度相等時，即式（1.4）在x=0的電場與式（9）相等時，得式（10）。

（10）

通過式（3.3）可計算出電壓Us所等效出的空間電荷密度。

令Us=1kV，d=1cm，有

（庫倫/米），即在1kV直流電壓下所產生的電場與電荷密度為3.54×10-4下所產生的電場等效，即可按此方法進行校正。

結語

通過泊松方程基本公式的簡單求解，并結合物理模型的巧妙設計，解決了泊松方程邊界條件，還得到了空間電荷密度與電場的線性關系。然后通過靜電式傳感器的設計將電場調制成電流信號，再經采樣處理后即可被CPU讀到。最后還介紹了如何利用直流電場對裝置進行校正的原理和方法。

參考文獻

[1]劉志遠，姜晶，趙佳龍，等.小型振動電容式靜電傳感器的設計[J].儀表技術與傳感器，2011（11）.