貴陽市城市獨立坐標系與國家坐標系的平面轉換

胡 君， 崔文剛 ， 張玉彪

（1.貴州師范大學 地理與環境科學學院，貴州 貴陽550001）

貴陽市位于貴州省中部，東經106° 07′E ～107°17′E，北緯26°11′N～27°22′N，屬于高原山地地形，平均高程1 175 m。根據高斯投影的長度變形原理可以發現，其投影變形超過2.5 cm/km[1,2]，因此建立了以北京54為基礎，取108°E經線為中央子午線，將橢球面抬升至1 175 m的貴陽市城市獨立坐標系。建立獨立坐標系后，坐標值不再與國家坐標重合。由于各種需要，往往需要將貴陽市城市獨立坐標轉換成北京54等國家坐標系。平面坐標轉換模型較多，本文以同時具有城市獨立坐標系和北京54坐標系成果的某市政道路GPS控制網為例，分別采用3種常見的平面坐標轉換方法將貴陽市城市獨立坐標轉換為北京54坐標。將控制網的北京54坐標當成真值，將得到的坐標轉換成果與之進行比較，希望從中總結出不同平面坐標轉換模型的優點與不足，作為平面坐標轉換工作的借鑒。

1 常見的平面坐標轉換方法

1.1 直接參數法

直接參數法是將已知公共點中的某點作為基準點，再通過已知公共點計算兩套坐標系之間的平移參數、尺度因子以及方位角旋轉參數，將其他待轉換的坐標轉換到新坐標。設X，Y為原坐標系，x，y為目標坐標系，其轉換模型如下[3]：

根據以上模型可以看出，直接參數法需要求兩個已知公共點，當有多余的公共點時，一般以其他公共點作為檢核條件，通過最小二乘法求取最合適的轉換參數。

1.2 相似變換法

相似變換是坐標轉換中最常用的一種方法 。三維坐標可以采用7參數模型，平面坐標則一般采用4參數模型。二維平面相似變換模型如下[4]：

式中，x0、y0為平移參數；α為旋轉參數；k為尺度參數；x、y表示轉換后所得坐標；X、Y表示原坐標系坐標。

相似變換能較好地解決不同坐標系之間定義上的差異。坐標系統局部形變系統性誤差往往未能反映到轉換模型中，相似變換法是將原坐標系經過平移、旋轉及伸縮而變換到新的坐標系統中，能保持原有坐標網的幾何形狀，避免轉換過程中因原坐標網變形而產生的網中坐標點的相對位置變化[5]。

1.3 多項式逼近法

設X、Y表示原坐標系坐標，x、y表示新坐標系坐標。為了便于計算，選取中央位置某點（x0，y0）作為坐標轉換的基點，以方便多項式計算與系數求解。

式（3）為2階多項式，有a0，a1，…，a5，b0，b1，…，b5共12個待定系數，至少需要6個已知公共點才能求解。當坐標轉換區域較大、已知公共點數量較多時，可以選擇階數較高的多項式進行擬合。對于式（1），若有m個公共點，可以列出誤差方程：

通過誤差方程可以解出待定系數a0，a1，…，a5，b0，b1，…，b5，代入式（1）即可列出坐標轉換多項式。當已知公共點數量超過必要公共點數量時，可采用最小二乘多項式擬合公共點。

多項式逼近法在于選取多項式逼近待求的新舊坐標變換函數。多項式逼近任意連續函數時，從理論上講，選擇適當的多項式階數和系數，可以逼近到任意程度，并保證點與點之間一一對應、連續變換的特性[7]。

2 算例分析

貴陽市某市政道路施工控制網的等級為公路4等，采用GPS進行布設，并與貴陽市城市CORS網及項目區附近國家B級點和C級點各1個進行聯測。嚴格按照交通部JTJ/T 066—98《公路全球定位系統（GPS）測量規范》進行內外業操作，最終平差獲得貴陽市城市獨立坐標系及北京54坐標系成果，如表1。

表1 某市政道路施工控制網貴陽市城市獨立坐標與北京54部分公共點坐標

現將該成果中部分點作為已知點，分別采用“直接參數法”、“相似變換法”及“多項式逼近法”將貴陽市城市獨立坐標轉換成北京54坐標。假設GPS控制網北京54坐標成果是真值，用剩余公共點作為檢核條件，以分析坐標轉換精度。3種坐標轉換方法分別得到的坐標轉換成果及坐標轉換誤差如表2、表3所示（表中加粗數字為坐標轉換采用已知點，其余點為檢核點）。

表2 3種不同轉換方法轉換北京54坐標成果

表3 3種不同坐標轉換方法轉換誤差分析

3 結 語

經過以上分析比較不難發現：

1）對于直接參數法，在坐標轉換已知點上其轉換成果與已知點重合。通過檢核點可以發現，小區域內（一般指不大于20 km范圍）能夠滿足一般坐標轉換的精度需要。同時發現，其轉換誤差隨距離的增加而變大，當超過一定距離時誤差會成比例遞增，所以不適合大范圍的坐標轉換。

2）對于相似變換，2個坐標轉換已知點上都存在一定的間隙。同時，隨著距離的增加，坐標轉換精度呈現上升趨勢，但在小區域內（一般指小于20 km）能夠滿足一般坐標轉換的精度要求。當坐標轉換范圍較大時，需先進行相似變換，然后對轉換結果中存在的間隙進行多項式擬合，減小坐標轉換誤差。

3）對于多項式逼近法，由于是采用解誤差方程獲得的結果，6個參與坐標轉換的公共點轉換成果與已知點都重合。6個公共點控制范圍內的坐標轉換精度符合精度要求，且精度略高于直接參數法與相似變換成果；但是在轉換區域邊緣，由于6個公共點過于集中在項目區中央，導致項目區邊緣多項式的病態，使1308、9102、H087上誤差精度超限。

由前文實驗和分析，可以得出以下結論：

1）當坐標轉換范圍較小時，通過對已知公共點的合適選擇，直接參數法、相似變換法與多項式逼近法都能達到0.020 m以內的轉換精度。但是，多項式逼近法根據擬合的階數要求的公共點數量較多，計算也較為復雜，直接參數法與相似變換法計算較為簡便。

2）當坐標轉換范圍較大時（一般指大于20 km），可以先采用相似變換法，解決坐標系統定義上的差異，再通過多項式擬合減小相似變換后存 在的間隙。也可以采用多項式逼近法，選取合適的多項式階數，同時合理選擇公共點的數量與分布。

3）無論采用哪種坐標轉換方法，都需要有多余的檢核條件，對坐標轉換的結果進行檢核，才能保證坐標轉換的準確性。

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