基于Logit模型的國債依存度分析

○姜欣

（沈陽工程學院 遼寧 沈陽 110136）

一、引言

從1994年我國中央財政停止向銀行透支以來，財政赤字主要依靠發行國債來彌補，國債發行額迅速增加。1998年以來，我國施行積極的財政政策，中央財政的赤字額不斷擴大，同時促進了國債發行額的迅速膨脹，國債發行額的不斷擴大，必然導致還本付息的壓力不斷增加，反過來推動財政赤字的急劇攀升。隨著財政赤字和國債的不斷增加，我國財政的赤字依存度和國債依存度也在不斷地增加著。赤字依存度是指財政赤字占財政支出的比重。國債依存度是指當年國債發行額占當年財政支出的比重。國際上公認的國債依存度警戒線是20%。

本文就國債依存度超過國際警戒線的概率進行分析，找到logistic曲線的拐點，即當赤字依存度超過多少時，國債依存度超過警戒線的概率會大幅增加。

本文所要估計的是國債依存度超過國際警戒線的概率，這是一個二分類因變量的分析問題，雖然線性回歸模型在定量分析的實際研究中是最流行的統計分析方法，但是線性概率模型（LMP）的OLS估計和預測中存在許多問題，因此對于二分類因變量的分析應使用非線性回歸分析，在非線性回歸分析中Logist回歸模型是最流行的模型。

二、理論與實證分析

1、理論模型

本文的logist模型的推導方法是借鑒王濟川和郭志剛合著的《Logistic回歸模型——方法與應用》一書中的Logistic模型的推導方法，因為logist模型用的是logistic曲線，因此logist模型和logistic模型具有相同的形式，故而有些人稱這個模型是logist，也有人稱其為logistic。

假設連續反應變量yi代表事件發生的可能性，當yt的值跨越一個臨界點（比如c=0），便導致事件發生。于是有：

當yt>0時，yi=1

其他情況下，yi=0

這里yt是實際觀察到的反應變量，yi=1表示事件發生，yi=0表示事件未發生。

假設反應變量yt和自變量xt之間存在一種線性關系，即：

由式（1）得到：

假設ui服從Logistic分布，為了得到一個累積分布函數（CDF），一個變量的概率需小于特定值。因為Logistic分布是對稱的，所以式（2）可以改寫為：

假設ui的方差為π2／3≈3.29，所以得到Logistic函數：

由式（4）可得Logist回歸模型：

假設Pi是第i個案例發生事件的概率，1-Pi則是不發生事件的概率：

圖1 國債依存度的散點圖

圖2 赤字依存度的散點圖

圖3 國債依存度與赤字依存度之間的關系

那么，Logist回歸模型就可以轉換為：

式（7）就是我們所要回歸的模型，在對Logistic函數做了對數變換的好處就在于式（7）具有很多線性模型的性質。

2、實證分析

（1）數據的來源及處理。本文中1981—2009年的財政收入和財政支出摘自《中國衛生統計年鑒2010》，1981—2005年的國債發行額摘自《中國財政年鑒2007》，2005—2009年的國債發行額摘自《中國統計摘要2010》。

在Logist回歸模型中，要求自變量和因變量之間存在非線性函數關系。圖1是國債依存度的散點圖，圖2是赤字依存度的散點圖，兩個圖的橫坐標都是年份，圖3是國債依存度與赤字依存度的關系圖，橫坐標是赤字依存度，縱坐標是國債依存度，從圖1和圖2可以看出國債依存度與赤字依存度存在著相關關系，從圖3可以看出國債依存度與赤字依存度存在著非線性的函數關系，這正好符合了Logist回歸模型的假設，所以可以用Logist模型對國債依存度與赤字依存度的關系進行回歸。

由于Logist回歸模型估計中要求因變量必須是二分量，這個變量只能取0或1，并且該模型沒有對自變量的分布做任何要求，即自變量可以是連續變量，也可以是離散變量，還可以是虛擬變量。因為本文要研究國債依存度超過警戒線的概率，國際上通用的國債依存度的警戒線是20%，所以本文中的因變量國債依存度超過20%的為1，其他情況為0。

（2）模型的建立。由于模型中因變量考察的是國債依存度超過國際警戒線的概率，所以因變量的二分類變量在國債依存度大于20%時取值為1，在小于20%的情況下取值為0即：

當DEBTi≥20%時，y=1

當DEBTi≤20%時，y=0

其中，DEBi表示國債依存度的值，單位是百分比。

根據式（7）可以得到Logist回歸模型：

其中，自變量DEFIi表示赤字依存度，Pi表示國債依存度超過國際警戒線的概率。

（3）模型估計。本文所采用的Logist回歸是非線性回歸模型，因為最大似然估計法既可用于線性模型估計，也可用于非線性模型的估計，故本文所采用的模型估計方法是最大似然估計法。

根據式（8）和相關數據，利用SPSS 17.0進行模型回歸估計，得到的結果如下。

首先給出的是模型不含任何自變量，而只有常數項（即無效模型）時的輸出結果。此時的模型為：

表1 方程中的變量

表1輸出的是僅含有常數項的模型的輸出結果，輸出結果中B為模型中未引入自變量時的常數項的估計值，S.E.為標準誤，Wald是對總體回歸系數是否為0進行的統計檢驗。df表示自由度，Sig為相應的p值，Exp（B）為e的β0次方，其實際意義是國債依存度中超過國際警戒線的概率與未超過國際警戒線的概率的比值。根據表1中僅含有常數項模型的計算結果，可預測國債依存度超過國際警戒線的概率是48.3%。

表2 分類表a，b

表2輸出的是模型中僅含常數項時計算的預測分類結果，從表2中可以看出，SPSS預測國債依存度低于國際警戒線的概率是51.7%，所以國債依存度高于國際警戒線的概率是48.3%，和模型計算的結果一樣。因此當模型中不包含自變量時，國債依存度的所有觀測值都被預測為超過國際警戒線，總的預測準確率為48.3%。

表3 不在方程中的變量

表3輸出了未引入模型中的變量的得分檢驗，其意義為向當前不含自變量的模型中引入自變量赤字依存度時，該變量回歸系數是否等于0的得分檢驗。從Sig值的大小可以看出，要拒絕回歸系數為0的原假設，即加入自變量赤字依存度后，其回歸系數不為0。

表4 分類表a

基于僅含有常數項的無效模型，現在開始引入自變量赤字依存度。表4是在引入了自變量赤字依存度后重新擬合的回歸模型進行預測的分類表格，從中可以看出表4與表2的不同，在這里既有對國債依存度超過國際警戒線的預測，也有對國債依存度低于國際警戒線的預測，預測的總準確率是79.3%，顯著高于僅含有常數項時預測的準確率。

表5 方程中的變量

表5輸出了模型中個自變量的偏回歸系數及其標準誤、Wald、自由度、p值及Exp（B）的值。可建立Logist回歸方程如下：

（4）模型的檢驗。為了能對Logist回歸模型進行有意義的解釋，就要求模型中所包含的自變量必須對因變量有顯著的解釋能力，即含有自變量的模型必須要比僅含常數項的模型要好，因此在對模型進行檢驗的時候就只檢驗含有自變量的模型即可，否則就沒有意義了。

第一，Wald 檢驗。Wald 檢驗是通過比較回歸系數值進行的，它是基于回歸系數值服從正態分布的假設，首先求出系數值的標準誤，然后基于正態分布原理求出P值。從表5 的回歸結果中可以看出，赤字依存度的P值是0.017，常數項的P值是0.028，這兩個參數的P值都是小概率事件，所以拒絕系數為0的原假設。

第二，似然比檢驗（Likelihood Ratio Test）。本文中的Logit模型的估計采用的是最大似然法，可以用似然比進行檢驗。似然比檢驗的基本原理是使模型的似然函數L 達到最大值。在回歸結果中-2 對數似然值（-2lnL）被稱為偏差（Deviance）記為D，模型預測效果越好，則L 越大，D值也越大。從表6可以看出D值很大，這就表示模型的預測效果很好。

表6 模型匯總

第三，比分檢驗（Score Test）。比分檢驗是以未包含一個（或幾個）參數的模型為基礎，保留模型中參數的估計值，并假設新增加的參數為0，計算似然函數的一階偏導數（又稱有效比分）及信息矩陣，兩者相乘即為比分檢驗統計量S。該檢驗最常用于篩選變量表3即比分檢驗的輸出結果，可以看出，加入自變量赤字依存度是可行的。

以上三種檢驗，似然比檢驗是基于整個模型的擬合情況進行的，結果最為可靠，似然比檢驗結果表明模型預測效果很好；比分檢驗的結果是應該在模型中加入自變量；檢驗結果最不可靠的就是Wald檢驗，它考慮各因素的綜合作用，當因素間存在共線性的時候，結果不可靠，但是本文只含有一個自變量，所以Wald檢驗具有可信性。從檢驗的結果來看，本文中的回歸模型擬合得較好，同時模型預測的預測效果也很好。

（5）回歸結果分析。在logist模型中αi并不是邊際系數，即DEFI增加1%所帶來的DEB超過20%的概率增加α2%，因此在logist模型中要想知道DEFI的增加量對DEB超過20%的概率的影響就要單獨計算。

根據張曉峒老師所講授的離散選擇模型與受限因變量模型一章中內容，可知，Logist模型中邊際系數的求解公式如下：

其中，α0=-2.079，α1=31.731

由于logist模型的圖形是S型曲線，在不同的點曲線的斜率即邊際系數不同，所以要想知道哪個點的邊際系數，就要單獨求。筆者根據相關數據計算了各年份的的邊際系數。從計算結果可知，當赤字依存度高時，它使得國債依存度超過國際預警線的概率就高，反之，則較低。

另外還有一種方法可以表示國債依存度超過國際預警線的概率與赤字依存度的關系，那就是如果我們以pi=0.5為分界線，求出此時的赤字依存度為DEFI=6.56%，這就表示當DEFI大于6.56%時，DEB大于20%的概率就大于50%，可以看成是確定性事件，即DEB一定會大于20%。

三、總結

從上面的實證分析中可以看出，我國的赤字依存度對國債依存度的影響很大，因為目前我國赤字主要靠發行國債來彌補，這種情況的出現在一定程度上是由我國當前的國情決定的。從國際上來看我國的赤字依存度與發達國家相比還不算太高，但是國債依存度卻很高，我國的國債依存度是發達國家的3—10倍。因此，我國應該控制國債依存度，但是控制國債依存度并不一定非得控制國債總量。要既能降低國債依存度，又能充分發揮我國國債規模的潛力。具體怎樣能夠發揮我國國債規模的潛力，又能降低國債依存度，還要進行研究才能找到合適的方法。

[1]張瀾：我國國債規模控制及國際比較[J].合作經濟與科技，2010（3）.

[2]陳建奇：對《馬約》赤字率、債務率參考標準的反思[J].廣東商學院學報，2009（9）.

[3]王濟川、郭志剛：Logistic回歸模型——方法與應用[M].北京：高等教育出版社，2001.

[4]張文彤、董偉：SPSS統計分析高級教程[M].北京：高等教育出版社，2004.

[5]路萬忠、董逢谷、李凍菊：影響我國中央政府國債依存度因素的實證分析[J].財經研究，2003，29（9）.

[6]張裕民：關于我國財政赤字政策的幾點思考[J].科技信息，2010（4）.

[7]林雙林：中國財政赤字和政府債務分析[J].經濟科學，2010（3）.