基于傳遞矩陣法的磁懸浮軸承轉子的動力學分析*

宋駿琛，歐陽慧珉，張廣明

（南京工業大學，江蘇南京 211816）

基于傳遞矩陣法的磁懸浮軸承轉子的動力學分析*

宋駿琛，歐陽慧珉，張廣明

（南京工業大學，江蘇南京 211816）

轉子是磁懸浮軸承系統旋轉機械的核心部件，其性能與系統穩定性及各項技術指標緊密相連。提升轉子動態性能已成為當務之急。以磁懸浮開關磁阻電機的磁軸承轉子為例，通過普勞爾傳遞矩陣法和MATLAB強大的繪圖功能分別就柔性、剛性兩種不同狀態下的支承，計算出了該軸系的固有頻率及臨界轉速，并得到了相應的主振型圖。

磁懸浮軸承；傳遞矩陣；動態性能；固有頻率；臨界轉速

0 引言

隨著工業技術的不斷飛躍，磁懸浮軸承轉子技術以其無磨損、無接觸、轉速高等特點，已廣泛應用于能源、航空等領域。轉子動力學性能的分析與設計是直接決定整個系統性能的重要內容之一，而磁懸浮軸承轉子動態性能的好壞更直接關系到系統運作的安全性能與工作效率。在磁軸承轉子運轉的過程中，轉子的轉速甚至超過了本身的臨界轉速而發生了共振的危險，因此有效抑制其工作轉速超過臨界轉速的動力學分析研究刻不容緩。

磁懸浮軸承轉子的動態特性通常包括臨界轉速的計算，振型圖的分析及如何動平衡。傳遞矩陣法占據內存少，編程通俗易懂，矩陣的階數不隨系統自由度的增大而增大，特別適用于轉子系列的鏈式系統。本文使用普勞爾傳遞矩陣法對磁懸浮軸承開關磁阻電機的轉子系統進行動力學分析，利用磁懸浮軸承剛度可調節的特點分別針對柔性支承，剛性支承的臨界轉速做出了分析，以達到最優動態特性的穩定懸浮。

1 動力學分析

1.1 模型的建立

磁懸浮軸承轉子系統因其工作狀態下的高速運轉而被視為質量連續分布的彈性系統，具有無窮多個自由度，其支撐方式也視為彈性支撐。傳遞矩陣法通常將磁軸承轉子系統離散為N個軸段，簡化為具有若干集中質量的多自由度系統[1]。該系統由帶彈性支承的多剛性薄圓盤和無質量等截面的彈性軸段組成。以該磁懸浮軸承系統為例，轉子系統主要包括飛輪、兩徑向磁懸浮軸承、主軸變頻電機及主軸本體。磁懸浮轉軸轉速通常狀態比一般轉軸快很多，應對固有頻率進行精細的計算，考慮到簡化模型質量塊越多結果越精細，故不妨簡化為圖1所示多圓盤等截面軸段結構示意圖。

圖1 多圓盤等截面軸段結構示意圖

根據圖1所示結構示意圖，再考慮到由于軸系的固有頻率（臨界轉速）和振型與磁軸承系統質量分布有關，所以簡化后的模型質量，也就是圓盤的集質量應盡量與磁軸承轉子系統質量接近。圖2為磁懸浮轉子系統簡化離散模型。本方法為沿著軸線將轉子離散為27個軸段，即有28個質量單元。按質心不變原則分配到軸段兩端截面上。

圖2 磁懸浮轉子簡化模型

1.2 單元傳遞矩陣的建立

建立單元矩陣之前，需先對圓盤與軸段分別作受力分析，最后再通過兩者結合的組合構件做出分析。

對于磁軸承轉子的第i個截面，設狀態向量為Zi，由徑向位移Yi，撓角αi，彎矩Mi及剪力Qi所組成[2]，滿足關系式Z=[Y,α,M,Q]T。任一軸段左右節點之間的狀態向量都存在一定的關系，即Zi+1=TiZi。為了便于分析計算，圓盤與軸段通常組合成一個統一構件。由達朗貝爾原理可分別得出圓盤與軸段的傳遞矩陣。

圖3 圓盤軸段的組合件分析

帶彈性支撐有質量的圓盤單元傳遞矩陣為：

無質量等截面的彈性軸段傳遞矩陣為：

上兩者組合公式為Ti=BiDi即為：

m為單元薄圓盤的集質量，l為單元軸段的長度，Jp、Jd分別為單元直徑轉動慣量，單元極轉動慣量，w為轉子角速度，K為支撐處剛度，這里v為考慮剪切影響的系數，a為截面系數，考慮到該磁軸承轉子系統為實心圓軸，故取a=0.886；A為截面積，EI為材料彈性模量與軸段截面矩之積。

1.3 固有頻率的計算

基于本文所建立的模型，加上磁懸浮轉子系統轉軸兩端均為自由端，可知狀態向量符合邊界條件：由軸段與圓盤組合建立的矩陣可知任一截面有Zn=Tn-1Tn-2...Z1，將Z1、Zn帶入上表達式可得出：

綜合（4）（5）可知任一截面均需要滿足邊界條件Mn=0，Qn=0，那么磁懸浮軸承轉子系統同步正進動時的頻率方程式即為

此頻率方程式通常使用頻率掃描法來分析求解[3]，即按一定步長選定試探頻率。通過矩陣連乘及剩余量的計算公式（6），便可求得對應于上述各試算頻率的剩余量Δ(w2)。

如果相鄰兩試探頻率的剩余量異號，則說明Δ(w2)和試探頻率的關系曲線和試探頻率為橫坐標的w軸相交，那么必有一個頻率方程式的根，為轉子的各階臨界轉速。即為一個滿足邊界條件的ω值。用二分法仔細搜索就可以逐步逼近求出臨界轉速。采用上述方法計算臨界轉速可通過觀察Δ(w2)-w曲線來證明曲線的連續性，故只要選取合適的步長，便可用頻率掃描法算出在指定頻率范圍內的所以臨界轉速。

1.4 支撐剛度對磁懸浮軸承轉子系統的臨界轉速分析

徑向磁懸浮軸承的支承剛度對磁懸浮軸承轉子系統的固有頻率的變化具有一定的影響，而磁懸浮軸承較普通軸承具有支承剛度可變的優勢[4]。不同的徑向剛度的數值對轉子系統的各階臨界轉速也有不同的影響。這里分別對所設計的磁軸承系統柔性、剛性支承做出考慮。

1.4.1 柔性支承狀態下的固有頻率分析

使用MATLAB編程計算臨界轉速和振型圖，考慮到磁懸浮軸承轉子工作狀態下的高速運轉，飛輪直徑150 mm，軸長為440 mm。使用本文開頭所示離散方法劃分節點。取前后支承剛度為40 000 N/m，計算結果與振型如圖4所示。

圖4 基于柔性的磁懸浮軸承系統振型彎矩圖

表1 基于柔性支撐的前幾階固有頻率

如表1和圖4可知前兩階模態表現為剛性，2階彎曲發生微變，3階呈現彎曲模態振型，而磁軸承轉子系統最高轉速已高于前兩階臨界轉速，故發生共振的幾率大。

1.4.2 剛性支承狀態下的固有頻率分析

采用與上述同樣的MATLAB編程，使用傳遞矩陣法，改變參數支撐剛度K的大小，設前后支承的徑向位移為0，前后剛度都為10e6 N/m，彎矩圖及表格見圖5和表2。

Analyzing Dynamic Characteristic of High Speed Motorized Spindle on Magnetic Bearing Rotor

SONG Jun-chen，OUYang Hui-min，ZHANG Guang-ming
（Nanjing Tech University，Nanjing211816，China）

With its high speed，high effiency，the magnetic bearings-rotor system has become the core of modern rotating machinery system，Taking the magnetic bearing rotor of the bearingless switched reluctance motor as an example，by using Prohl transfer matrix method and the drawing function of MATLAB，according to the rigid support and flexible support respectively,the free frequency and critical speed of the spindle system was got,and the relative main vibration model was found.

magnetic bearings-rotor；transfer matrix；dynamic characteristics；free frequency；critical speed

圖5 基于剛性的磁懸浮軸承系統振型彎矩圖

TH133.3

：A

：1009－9492(2014)11－0011－03

10.3969/j.issn.1009-9492.2014.11.003

*國家自然科學基金項目（編號：51277092）江蘇省基礎研究計劃（自然科學基金）資助項目(編號：BK20130938)

2014－05－09