朋友關系網絡的實證統計研究

張 愷，馬忠軍，李科贊

(桂林電子科技大學數學與計算科學學院 桂林 541004)

復雜網絡的研究始于20世紀60年代提出的ER隨機圖模型，直到小世界網絡模型[1]及無標度網絡模型[2]的提出，才真正令復雜網絡的研究成為一個令人矚目的領域。用復雜網絡的觀點和矩陣、圖論等數學工具來研究社會中存在的各種關系，近幾十年來一直是復雜網絡中的研究熱點[3-4]。

朋友網作為一種典型的社會網絡，受到了復雜網絡領域諸多學者的關注。顧名思義，朋友網是根據人們之間的朋友關系所建立的網絡，以人為節點，兩人之間若有朋友關系則連接一條邊。一些學者之前對朋友網的研究也獲得了許多成果[5-7]。本文將朋友網絡的統計描述及各網絡之間的數據對比等作為研究重點。

隨著科技的發展，關于朋友網絡的研究主要集中于在線交友網站中的好友關系。如美國的Facebook[8]，Tw itter[9]；中國的QQ[10]，微博[11]，人人網[12]等，都取得了顯著的成果。廣大學者之所以將研究的興趣集中于在線網絡，而不是真實網絡，原因在于現實朋友網絡的數據不易進行大范圍的有效收集且成本較高，而在線交友網絡卻擁有大量易收集的數據。盡管每個人都能感受到虛擬世界的好友關系與現實生活中的朋友關系很不一樣，但在線朋友關系網絡卻展現了很多與現實朋友關系網絡一致的特點。上面的一些文獻也很好地驗證了這一點，更多在線網絡的相關內容可參考文獻[13-15]。

以上文獻雖然取得了不錯的成果，但關于真實朋友網絡的研究并不多見(文獻[6]是研究真實朋友網絡的并不多見的成果之一)，且實證網絡的研究中又往往將研究對象限于一個固有網絡，沒有涉及在網絡節點不變的情況下節點動力學行為是否影響網絡拓撲結構這一問題。本文以具有31個節點的真實朋友關系網為實例，通過研究發現，對于不同親密度的朋友關系網絡，對應的網絡拓撲結構亦會明顯不同。通過對網絡各項統計特征的對比研究，揭示了這一變化的內在原因。

1 朋友關系網絡的構建

朋友關系網是社會與社交網絡的一種，在近年來的研究中愈發受到關注。本文主要研究的對象是基于一個班級內同學之間的朋友關系所構成的真實網絡。

本文研究的數據來源于真實的調查問卷，問卷對象選擇桂林電子科技大學本科部的一個班級。具體操作流程如下：1) 設置問卷。問卷上有全班同學的姓名，采用具名調查方式。按照兩人之間親密程度，將朋友關系劃分為如下4個層次：“普通朋友”“比較好的朋友”“很好的朋友”以及“最好的朋友”；填寫選項只需選擇“是(用√表示)”或“否(用×表示或直接不填寫)”即可。2) 對象選擇。選取一個容量為36人的班級作為調查對象。3) 具體操作。選擇在課間休息時間發放和回收問卷，為了在一定程度上保證問卷答案的真實性，需要同學們在填寫時不要相互交談，避免調查進行中出現“舞弊”現象。

以上得到的只是原始數據，尚需要進行一些必要的處理，具體說明如下：1) 缺席問題。調查時沒有到場的同學，其數據自然作廢，相應的也要刪除其他同學的問卷中與缺席者相關的數據，以保證數據的完整性。2) 隨意填寫現象。有極少同學只填寫“最好的朋友”一欄，且對全部同學皆選擇“是”這一選項，其數據明顯不符合標準，也予以刪除。3) 雖然在實際中得到的網絡都是有向的，但為了方便和統一，如無特別說明，采用的都是無向圖(即每條邊皆按雙向，單向亦按雙向設定)。

最終得到31人的有效問卷數據，以下的分析皆基于本次調查所得到的結果。由于將朋友關系劃分為4個層次，故最終可以得到4個不同的網絡。這些網絡之間并不是毫無關系的，因為所有網絡具有相同的節點。文章的研究重點集中在隨著朋友關系親密程度的增強，網絡拓撲結構與統計性質所發生的變化。

為了對文中的朋友關系網絡在直觀上有一個初步的了解，首先給出它們的拓撲關系圖，為了使圖像清晰簡潔，忽略網絡的有向性，故得到的圖形皆為從有向圖基礎上得到的無向圖。得到4種情況下的網絡拓撲結構圖如圖1所示。

從圖1中可以直觀的觀察到，4個網絡圖首先在拓撲結構上就有了顯著的變化：從復雜變得簡單，從連通變成不連通等。改變源自個人與他人之間朋友關系的親密程度發生了變化，隨之引發了整個網絡拓撲結構的變化。

圖1 網絡拓撲結構圖

為了敘述方便，分別將圖1a～圖1d四個網絡稱為“網絡1”、“網絡2”、“網絡3”和“網絡4”。

2 網絡的基本統計特征

隨著近些年對復雜網絡研究的逐步深入，學者提出了大量概念和度量方法[16-19]，用于衡量一個網絡的復雜性。

2.1 無向網絡的度與平均度

度(degree)是復雜網絡的一個基本且重要的統計特征。第i個節點的度ki指的是與該節點相連接的其他節點的數目，其數值可以在一定程度上反映該節點在整個網絡中的重要程度。全部節點的度的算術平均值稱之為網絡的平均度，用ák?來表示，即

式中，N表示網絡中的節點數目；ki表示第i個節點的度值。在朋友網絡中，k表示一個人的朋友數，則表示網絡中平均每人有多少朋友。經過計算，得到4個網絡的平均度分別為27.806, 15.903, 6.322 6和1.806 5。

可見，隨著朋友關系的親密度逐漸增加，網絡的平均度也在逐漸下降，從平均每個人大約有28個普通朋友到平均每個人只有不到2個最好的朋友。數據的差異也說明了圖1中網絡從復雜變的愈發簡單的根本原因。

2.2 無向網絡的平均路徑長度

最短路徑長度指的是從節點i到j要經歷的邊的最小數目，記作d(i,j)。平均路徑長度(average path length)指的是網絡中所有節點對之間最短路徑長度的算術平均值，即：

式中，N是節點數目。

若按有向圖研究，則網絡2、網絡3和網絡4這3個都不是強連通圖，平均路徑長度也就無從談起；若按無向圖研究，則只有網絡4是不連通的。若按無向圖考慮，則網絡2、網絡3亦可計算平均路徑長度，但網絡4由于有4個點與其他點無相連(這從上面給出的網絡拓撲圖中可以清晰的看出來)，故無法求其平均路徑長度。將網絡1、網絡2和網絡3按無向圖進行處理，可得到其平均路徑長度分別為1.008 6，1.311 8、1.311 8。

數據的變化不難理解，朋友少了，兩個人之間的“距離”也就拉大了。數據的變化也暗合了中國的俗語“多一個朋友多一條路”。

2.3 無向網絡的集聚系數

集聚系數(clustering coefficient)也稱群聚系數、集群系數或聚類系數，用來描述節點的鄰點之間也互為鄰點的比例。節點i的集聚系數Ci等于所有與它相連的節點相互之間所連的邊的數目除以這些節點之間可以連出的邊數的最大值，即：

式中，ki表示節點i的度；ei表示節點i的所有鄰接點之間實際存在的邊數。顯然Ci是一個介于0與1之間的數。Ci越接近1，表示這個節點附近的點越有“抱團”的趨勢。整個網絡的聚集系數C為所有點聚集系數的算術平均值，即：

式中，N為網絡中的節點數目。通過計算，得到4個網絡的集聚系數C分別為0.928 6、0.590 14、0.325 65和0.156 45。

從數據中可以看出，網絡1的集聚系數高達0.928 6，在上文中還得到網絡1的平均路徑長度為1.008 6。網絡1的集聚系數與平均路徑長度的值都接近1，這表明其接近完全耦合網絡。文獻[1]揭示，小世界網絡模型的統計特征為高集聚系數和低平均路徑長度，由于網絡1具有上述特征，故網絡1(即普通朋友網絡)顯然是一個小世界網絡。隨著朋友關系親密度的增加，網絡的聚集系數逐漸變小，逐漸喪失了小世界特性，最終網絡變得不連通。

2.4 無向網絡的介數

介數[16,20](betweenness)亦稱邊介、中心等，通常分為邊介數和節點介數兩種，反映了節點或邊的作用和影響力。本文中所探討的是點介數，節點i的介數B(i)具體算法[20]如下：

通過計算，得到網絡中各節點點介數如圖2所示。從圖2中可以觀察到各網絡介數值最大的節點，如表1所示。

表1 各網絡中介數最大點

介數值最大的節點對于整個網絡的拓撲結構有著重要的影響。網絡1介數值最大的為第21個和第17個，網絡2則對應第21個，網絡3變成了第3個，而網絡4則變成了第26個。由下文中的圖3可以看出，它們并不一定是度最大的節點(有向網絡里節點的出度與入度中較大的那個值等于對應無向化網絡對應節點的度)。這個研究結果表明，介數值最大的節點不一定是度最大的節點，反之亦然。此外，這也從一個側面表明，網絡的拓撲結構有重大變化。隨著朋友關系親密程度的增加，網絡中最“親密的人”也發生改變。

圖2 網絡j中的各節點的點介數(j=1,2,3,4)

2.5 無向網絡的度相關性

度相關性(degree correlations)[14]描述的是網絡中不同節點之間的連接關系，用r表示。如果度大的節點傾向于連接度大的節點，則稱網絡是正相關的；反之，如果度大的節點傾向于和度小的節點連接，則稱網絡是負相關的。文獻[21-22]給出了一種相關性的計算方法，即計算網絡節點度的Pearson相關系數r：

式中，ji，ki分別表示連接第i條邊的兩個頂點 j和k的度；M表示網絡的總邊數；r的取值范圍為時，網絡是負相關的；當r=0時，網絡是不相關的。文獻[21-22]還指出網絡對應的度相關性與其類型有關，如演員合作網、中學生的朋友關系網等社會網絡往往是正相關的，而電力網、因特網、海洋食物鏈網等技術和生物網絡往往是負相關的[22]。其后的研究表明，并非所有社會網絡的度相關性都為正[16]。

本文中，r>0表示朋友多的同學更容易和朋友多的同學結成朋友關系，而r＜0表示朋友多的同學更容易和朋友少的同學結成朋友關系。經過計算得到4個網絡的相關系數分別為-0.079 249、-0.105 34、-0.159 57和0.116 12。

通過對比數據發現：在前3個網絡中，其r值均為負，與通常所說的社會網絡往往正相關相悖。事實上，文中所研究的朋友關系網絡是一個節點數只有31的小網絡，與演員網絡、科研合著網絡等動輒幾百上千個節點的實證網絡是無法比擬的，更無法與在線網絡千萬級的節點數作比較。因此，自身的網絡規模決定了所研究的網絡與文獻中已有內容的不同。且上文也提及，不一定所有的社會網絡其r參數都取正，負相關的結論也可為之提供些參考價值。另一方面，朋友關系網絡是一個復雜的實證網絡，朋友的結成并不如在線網絡那樣純粹而直接，同鄉、同宿舍、同愛好等諸多原因影響了朋友關系的建立，各種錯綜復雜的因素結合在一起，使網絡呈現出與其他網絡截然不同的統計特征。第4個網絡的r值又變回正值，也從一個側面反映了網絡的復雜性。

2.6 有向網絡的出度與入度

上述討論都基于所有網絡是無向的這一假設。但在實際中，兩人之間的朋友關系并不是相互的，即網絡是有向的。朋友網絡中一個節點的出度表示本節點對應的人所認可的朋友數，入度表示把該節點對應的人作為朋友的人數。分析所獲得的有向網絡模型，統計并繪制各網絡節點的出度與入度分布如圖3所示。(“○”表示出度，“×”表示入度)

從圖3中可以明顯看出，大多數節點的出度與入度值相差很小，但也有一些節點，兩者的值差距很大。特別是第22個節點，出度分別為30、30、30、6，而入度卻分別只有27、12、3、0，其在各個網絡中都是對應出度最大的節點之一，而出度與入度的差值是最大的。尤其在很好朋友網絡和最好朋友網絡中，入度更是減少到了3和0。

圖3 各網絡中節點的出度與入度

3 結 論

本文基于復雜網絡理論，對某班級同學之間的朋友關系網絡進行了研究和探討。通過對4個不同網絡的分析比較，發現個人的朋友選擇行為(個體的動力學行為)對于整個朋友網的構成(網絡的拓撲結構)有著重要的影響。

直觀看無向化后得到的拓撲圖，網絡結構從復雜變得簡單，由連通圖轉化為不連通圖；從統計性質看，網絡的平均度和集聚系數愈變愈小；平均路徑長度越來越大，直至出現網絡的不連通性；度相關性亦由負相關變為正相關。網絡的節點沒有發生變化，而網絡從具有小世界特性到逐漸消失該特性。普通朋友網絡是小世界的，而最要好朋友的網絡是不連通的。若考慮有向圖，則有些節點雖具有較大的出度，但入度很小。

雖然本文只選取了一個僅有36人容量的班級作為研究對象，且最后得到的有效數據只有31個，但可以為研究更大規模朋友網絡的拓撲性質提供參考。

雖然采集數據量較少，希望以后可以有機會和條件研究具有更多節點的網絡。 本文只是對朋友關系網絡進行的一個初步實證研究, 還有更多的網絡性質變化情況在本文中并未涉及，這也是將來繼續要做的工作。除此之外，對于該網絡上的各種動態行為，如同學之間流言的傳播能力、興趣由個人到群體的擴散過程、各種影響朋友關系網絡的形成等尚待進一步深入研究。

[1] WATTS D J, STROGATZ S H. Collective dynamics of small-world Networks[J]. Nature, 1998, 393(4): 440-442.

[2] BARABáSI A L, ALBERT R. Emergence of scaling in random networks[J]. Science, 1999, 286(5439): 509-512.

[3] 周濤, 汪秉宏, 韓筱璞, 等. 社會網絡分析及其在輿情和疫情防控中的應用[J]. 系統工程學報, 2010, 25(6): 742-754.

ZHOU Tao, WANG Bing-hong, HAN Xiao-pu, et al. Social network analysis and its application in the prevention and control of propagation for public opinion and the epidemic[J]. Journal of Systems Engineering, 2010, 25(6):742-754.

[4] BORGATTI S P, MEHRA A J, BRASS D J, et al. Network analysis in the social sciences[J]. Science, 2009, 323(5916):892-895.

[5] BALL B, NEWMAN M E J. Friendship networks and social status[DB/OL].[2012-05-30]. http://arxiv.org/abs/1205.6822.

[6] YIN Hai-ping, RONG Zhi-hai, YAN Gang. Development of friendship network among young scientists in an international summer school[J], Physica A, 2009, 388(17):3636-3642.

[7] EAGLE N, PENTLAND A, LAZER D. Inferring friendship network structure by using mobile phone data[J].Proceedings of the National Academy of Sciences, 2009,106(36): 15274-15278.

[8] GOLDER S A, WILKINSON D, HUBERMAN B A.Rhythms of social interaction: messaging w ithin a massive online network[C]//Proceedings of the Third Communities and Technologies Conference. London: Springer, 2007: 41-66.

[9] KWAK H, LEE C, PARK H，et al. What is tw itter, a social network or a new s media?[C]//Proceedings of the 19th International Conference on World Wide Web. New York:ACM, 2010: 591-600.

[10] 楊洪勇, 李凱旋, 林娜. 基于復雜網絡的學生交流網絡模型[J]. 控制工程, 2008, 15(4): 437-439.

YANG Hong-yong, LI Kai-xuan, LIN Na. Student intercommunication model based on complex networks[J].Control Engineering of China, 2008, 15(4): 437-439.

[11] 尹書華. 基于復雜網絡的微博用戶關系網絡特性研究[J].西南師范大學學報(自然科學版), 2011, 36(6): 57-61.

YIN Shu-hua. A research of user relations properties based on a complex network of m icroblog[J]. Journal of Southwest China Normal University(Natural Science Edition), 2011, 36(6): 57-61.

[12] FU Feng, CHEN Xiao-jie, LIU Liang-huan, et al. Social dilemmas in an online social network: the structure and evolution of cooperation[J]. Physics Letters A, 2007,371(1-2): 58-64.

[13] 劉晶, 李永先, 薛偉蓮. 國內外在線社會網絡研究綜述[J]. 農業網絡信息, 2011(3): 66-68, 86.

LIU Jing, LI Yong-xian, XUE Wei-lian. Review of online social network research at home and abroad[J]. Agriculture Network Information, 2011(3): 66-68, 86.

[14] 胡海波. 在線社會網絡的結構、演化及動力學研究[D].上海: 上海交通大學, 2010.

HU Hai-bo. Research on the structure, evolution and dynamics of online social networks[D]. Shanghai:Shanghai Jiao Tong University, 2010.

[15] HU Hai-bo, WANG Xiao-fan. Evolution of a large on line social network[J]. Physical Letters A, 2009, 373(12/13):1105-1110.

[16] 何大韌, 劉宗華, 汪秉宏. 復雜系統與復雜網絡[M]. 北京: 高等教育出版社, 2009.

HE Da-ren, LIU Zong-hua, WANG Bing-hong. Complex systems and complex networks[M]. Beijing: Higher Education Press, 2009.

[17] 汪小帆, 李翔, 陳關榮. 復雜網絡理論及其應用[M]. 北京: 清華大學出版社, 2006.

WANG Xiao-fan, LI Xiang, CHEN Guan-rong. Complex network theory and its applications[M]. Beijing: Tsinghua University Press, 2006.

[18] 周濤, 柏文潔, 汪秉宏, 等. 復雜網絡研究概述[J]. 物理,2005, 34(1): 31-36.

ZHOU Tao, BAI Wen-jie, WANG Bing-hong, et al. A brief review of complex networks[J]. Physics, 2005, 34(1):31-36.

[19] COSTA L D F, RODRIGUES F A, TRAVIESO G, et al.Characterization of complex networks: a survey of measurements[J]. Advances in Physics, 2007, 56(1):167-242.

[20] BARTHéLEMY M. Betweenness centrality in large complex networks[J]. The European Physical Journal B -Condensed Matter and Complex Systems, 2004, 38(2):163-168.

[21] NEWMAN M E J. Assortative m ixing in networks[J].Physical Review Letters, 2002, 89(20): 208071.

[22] NEWMAN M E J. M ixing patterns in networks[J].Physical Review E, 2003, 67(8): 026126.2010.

編 輯 蔣 曉