引領學生構建基于數學活動經驗的數學模型

張劍

所謂數學模型，是指由字母、數字和其他數學符號構成的等式或不等式，或用圖表、圖像、框圖、數理邏輯等來描述系統的特征及其內部或外部聯系的模型。在教學實踐中，數學模型的建構過程可以滲透于數與代數、空間與圖形等教學內容中，尤其是，在數學綜合運用中，模型建構有著至關重要的作用。同時，數學模型的建構總是與數學探究活動聯系在一起的，如何引導學生構建基于數學活動經驗的數學模型，值得我們進行深入的思考。本文以“物體浸沒水中的體積問題”的教學為例，談一談自己的教學實踐與思考。

一、組織探究活動，獲得數學活動經驗

史寧中教授認為，“基本活動經驗是指學生直接或間接經歷了活動過程而獲得的經驗”。在教學“長方體與正方體體積”后，筆者發現，雖然學生掌握了求長方體、正方體體積的方法，但是對體積公式的綜合運用（如物體浸沒水中的問題），則顯得有些力不從心，例如：一個長方體玻璃魚缸，長25厘米，寬16厘米，高20厘米，在魚缸中放入一個棱長10厘米的正方體鐵塊，使它全部浸沒在水中，水面會上升多少厘米？學生普遍感覺解決此題有困難，因為在這一問題情境中，正方體浸沒水中時存在一個動態變化的過程（即水面上升，總體積的變化），學生由于缺乏相應的數學活動經驗，難以把握情境中的各部分數量間的關系。

要讓學生真正地理解和掌握物體浸沒水中的相關問題，就必須讓學生親歷這一變化過程，為此，教師可引導學生開展如下探究活動：

1.給每個小組準備一個長方體容器，一個雞蛋，引導學生思考，想要測得雞蛋的體積，可以怎么做？

2.學生分小組進行探究實驗，實驗結束后進行交流匯報。

在探究活動中，學生通過參與數學活動，經歷“做數學”的過程和思考的過程，從而將探究“物體浸沒水中”問題的經歷變成了數學活動的經驗。

二、引領數學思考，提煉構建數學模型

《數學課程標準》指出，教師要引導學生從已有的經驗出發，讓學生親身經歷將實際問題抽象成數學模型并進行解釋與應用的過程。

在“物體浸沒水中的體積問題”的教學中，教師可以引導學生借助圖形展開觀察、分析、概括、提煉等一系列數學思考活動：1.將雞蛋浸沒于水中后，雞蛋的體積相當于哪一部分水的體積？2.上升部分水的體積與長方體容器有什么聯系，你怎樣計算上升水的體積？3.如果放入的物體是一個馬鈴薯或其他不規則物體，你能用一個公式表示如何計算它的體積嗎？4.除了將雞蛋浸沒水中，求上升的水的體積外，我們還可以怎樣測得雞蛋的體積？

通過思考與交流，學生不僅發現雞蛋體積的測量方法，還在分析思考中發現了這一方法的普遍適用性，抽象出相應的數學模型V雞蛋=V上升。而“還可以怎樣測得雞蛋的體積”則引導學生實現對數學模型的拓展。

三、變換問題情境，把握模型內在結構

事實上，學生通過對某一個問題情境活動經驗的分析概括，初步地建構數學模型，這樣的模型顯然有一定的局限性。

如在“物體浸沒水中的體積問題”的教學中，教師可設計如下兩個變式問題，讓學生繼續探究，進而逐步把握數學模型的內在結構：

1.在一個棱長10厘米的正方體容器中，放入一個長5厘米、寬4厘米的長方體鐵塊，使其完全浸沒后，水面上升0.6厘米，求長方體鐵塊的高。

2.一個長方體玻璃容器，從里面量，長和寬均為2分米，高是3.5分米。向容器中倒入6升的水，再將一個蘋果浸沒水中。這時量得水深是1.55分米。這個蘋果的體積是多少？

在上述兩個變式的問題情境中，學生發現，無論情境中的條件怎樣變化，鐵塊或蘋果的體積始終等于上升部分水的體積。這樣，學生也就在變式訓練中把握了數學模型的內在結構。

總之，在數學教學中，教師要善于引領學生在數學探究活動中獲得豐富的數學活動經驗，基于數學活動經驗建構數學模型，實現課堂教學效益的最大化。

（作者單位：江蘇南通市通州區通州小學）