融合CDIO教育理念的線性代數(shù)實驗化教學(xué)模式

單 嫻

(中國石油大學(xué)(華東) 理學(xué)院，山東 青島 266580)

0 引 言

CDIO是由美國麻省理工學(xué)院和瑞典皇家技術(shù)學(xué)院等4所工程技術(shù)大學(xué)發(fā)起的一項工程教育改革計劃。CDIO分別代表構(gòu)思(Conceive)、設(shè)計(Design)、實現(xiàn)(Implement)和運作(Operate)4個教育和實踐訓(xùn)練環(huán)節(jié)[1]。它是以培養(yǎng)高素質(zhì)綜合應(yīng)用型人才為目標、以工程實踐過程中產(chǎn)品生命周期為載體、以教育工程化為核心思想的一種新型的教學(xué)模式。2008年教育部高教司成立“CDIO工程教育模式研究與實踐課題組”，確定39所高校作為CDIO試點學(xué)校。自2009年起，工作組每年定期舉行CDIO工作會議和培訓(xùn)班，對CDIO研究和實踐工作進行交流和研討，目前已形成了系統(tǒng)完整的CDIO大綱和標準。國內(nèi)外專家學(xué)者也就CDIO模式下工程教育的熱點問題，如人才培養(yǎng)模式[1]、課程體系建設(shè)[2]、課程教學(xué)改革[3-7]、文化教育等進行了多層次的研究和實踐，取得了豐碩的成果。

CDIO倡導(dǎo)通過“做中學(xué)”和“基于項目的教育和學(xué)習”等方式，將教育過程和具體工程應(yīng)用情境結(jié)合，建立基礎(chǔ)理論知識和具體應(yīng)用實踐之間的聯(lián)系，強調(diào)學(xué)生動手能力和創(chuàng)新意識的培養(yǎng)，并以此全面提高工程類人才的教育培養(yǎng)質(zhì)量。線性代數(shù)是理工科專業(yè)的公共基礎(chǔ)課，是CDIO能力培養(yǎng)過程重要的理論基礎(chǔ)，是CDIO課程體系的重要組成部分，在工程教育中具有至關(guān)重要的作用。通過課程的學(xué)習，能夠使學(xué)生掌握基本的數(shù)學(xué)原理和方法，培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維能力、空間想象能力和分析解決問題的能力，為學(xué)習后續(xù)專業(yè)知識和解決實際問題打下重要基礎(chǔ)。隨著社會的發(fā)展和科技水平的提高，對數(shù)學(xué)教育的要求變得更加多元化和深層化。學(xué)生不僅要理解基本的數(shù)學(xué)理論，更要通過學(xué)習和實踐理解和掌握應(yīng)用數(shù)學(xué)知識和方法解決實際問題的全過程。這就要求線性代數(shù)的教學(xué)設(shè)計中增加與實踐有關(guān)的內(nèi)容，通過實驗促進學(xué)生綜合應(yīng)用能力的培養(yǎng)。

本文在總結(jié)當前工科線性代數(shù)教學(xué)存在問題的基礎(chǔ)上，對CDIO教育理念下線性代數(shù)實驗化教學(xué)的教學(xué)內(nèi)容安排、教學(xué)方案規(guī)劃和考核方式設(shè)計等方面內(nèi)容進行探索和研究，以促進學(xué)生綜合能力的培養(yǎng)。

1 工科線性代數(shù)教學(xué)現(xiàn)狀分析

線性代數(shù)現(xiàn)行的教學(xué)方式和教學(xué)內(nèi)容大多以基本概念、定理、方法為主，注重理論推導(dǎo)、證明和計算，容易使學(xué)生喪失學(xué)習興趣，難以達到預(yù)期的教學(xué)效果。教學(xué)過程中存在的問題主要體現(xiàn)在以下幾個方面[8-9]。

(1) 教學(xué)內(nèi)容重理論，輕實踐。目前大部分高校使用的教材都是圍繞理論講授而編寫，教學(xué)過程強調(diào)理論和方法本身的系統(tǒng)性、完整性和嚴謹性，注重邏輯推理和證明，缺乏與后續(xù)課程的聯(lián)系和理論方法在實際問題中的應(yīng)用。計算以筆算為主，只面向低階、簡單的問題，缺少對復(fù)雜高階實際問題解決方法的說明，弱化了課程本身的計算功能。由于課程內(nèi)容本身所固有的抽象性，容易出現(xiàn)課堂教學(xué)與實際應(yīng)用的脫節(jié)，導(dǎo)致學(xué)生對知識的理解不夠深入，缺乏將數(shù)學(xué)知識應(yīng)用于工程實際問題的意識和能力。

(2) 教學(xué)模式單一，缺乏多樣性。傳統(tǒng)的線性代數(shù)教學(xué)采用以“教師為中心”的課堂講授方式，教學(xué)手段以板書和PPT為主。學(xué)生課上在教師的指導(dǎo)下被動地學(xué)習概念、定理和公式的具體內(nèi)容，課下進行枯燥的證明和筆算。整個學(xué)習過程缺乏主動思考和合作交流。無論工科專業(yè)的后續(xù)課程，還是工程實際問題，均存在大量的復(fù)雜計算問題無法直接套用課本知識用筆算完成。脫離計算機的數(shù)學(xué)計算，不符合課程現(xiàn)代化的要求，更難以達到理想的教學(xué)目的。

(3) 考核方式不夠靈活。線性代數(shù)多數(shù)仍沿用“作業(yè)-期中測試-期末測試”的考試方式，缺乏對學(xué)生實踐能力和綜合運用能力的考查，容易導(dǎo)致學(xué)生采用死記硬背為主的被動學(xué)習方式，無法提高學(xué)生的動手能力和創(chuàng)新意識。

從上述分析可以看出，目前的線性代數(shù)教學(xué)缺少對學(xué)生實踐能力和創(chuàng)新能力的必要指引，忽視了對學(xué)生溝通合作能力的培養(yǎng)。CDIO教學(xué)理念強調(diào)學(xué)習的內(nèi)容以學(xué)生為中心，以實現(xiàn)學(xué)生的知識、能力、素質(zhì)的一體化培養(yǎng)為目標。將CDIO理念融入線性代數(shù)教學(xué)，不僅可以提高學(xué)生的學(xué)習效率，而且對于貫徹創(chuàng)新教育思想，培養(yǎng)高素質(zhì)創(chuàng)新人才具有重要的意義。

2 基于CDIO理念的工科線性代數(shù)實驗化教學(xué)模式構(gòu)建

CDIO理念要求在同一教學(xué)實踐過程中完成知識的傳遞和學(xué)生能力的培養(yǎng)。在線性代數(shù)教學(xué)中，要緊扣線性代數(shù)基本要求，結(jié)合CDIO培養(yǎng)目標，將認知目標、情感目標、行為目標進行有機結(jié)合，加強知識和實際的聯(lián)系，重視學(xué)生主動學(xué)習，形成由數(shù)學(xué)素養(yǎng)與理論方法、應(yīng)用技能、實踐創(chuàng)新3個方面構(gòu)成的線性代數(shù)實驗化教學(xué)模式。

2.1 構(gòu)建理論與實踐相結(jié)合的實驗化教學(xué)內(nèi)容

CDIO倡導(dǎo)“基于項目的教育與學(xué)習”。線性代數(shù)教學(xué)過程中的項目均以實驗的形式體現(xiàn)，對學(xué)生知識內(nèi)化和能力轉(zhuǎn)化均有著至關(guān)重要的作用。線性代數(shù)課程不僅要求學(xué)生理解理論、公式的由來，能夠通過套用現(xiàn)成理論證明和計算，還要求學(xué)生能夠結(jié)合基本的理論、思想和方法，運用計算機和軟件工具解決實際問題。因此，結(jié)合CDIO工程教育能力大綱，吸收國內(nèi)外線性代數(shù)課程教學(xué)經(jīng)驗，從教材、教學(xué)內(nèi)容、教師自身和學(xué)生的需求出發(fā)，從現(xiàn)代工程技術(shù)和現(xiàn)代科學(xué)中選取有實際意義的實驗項目，對理論教學(xué)進行有益補充，使得教學(xué)內(nèi)容更加系統(tǒng)、精煉和實用。

通過分析線性代數(shù)基本教學(xué)內(nèi)容的結(jié)構(gòu)、性質(zhì)和深度，提出5×3×3的理論與實踐教學(xué)體系。將所需知識歸納為“行列式”、“矩陣”、“向量組”、“線性方程組”、“二次型”5個知識模塊。每個知識模塊按照概念與基礎(chǔ)、技術(shù)與方法、綜合與應(yīng)用3個層次設(shè)計理論教學(xué)體系。其中，“概念與基礎(chǔ)”側(cè)重于基本知識點的教學(xué)內(nèi)容；“技術(shù)與方法”偏向于每個知識點的計算方法和初步應(yīng)用；“綜合與應(yīng)用”則是基本理論在實際問題中的拓展應(yīng)用。對于3個層次理論教學(xué)體系分別設(shè)計“理論傳授型實驗”、“操作技能型實驗”和“綜合應(yīng)用型實驗”3類相應(yīng)的實踐教學(xué)內(nèi)容[10-12]。

理論傳授型實驗是基于基本的線性代數(shù)理論和方法，由生產(chǎn)生活中的實際問題經(jīng)過適當簡化得到的實驗項目。教師能夠借助于軟件工具，將實驗結(jié)果形成圖形、視頻等，將抽象的數(shù)學(xué)概念具體化、形象化、可視化，對理論知識進行輔助講解。學(xué)生在教師的引導(dǎo)下，通過對實驗內(nèi)容的演算、演示和分析，認識理論的形成過程；通過猜想、歸納總結(jié)，發(fā)掘潛在的數(shù)學(xué)規(guī)律，理解解決問題的思路和方法。例如，利用實驗“二元一次線性方程組解的存在性和解的表示”可以定義2階行列式并引入克萊姆法則，進而推廣到高階行列式；為建立對“矩陣的定義和運算”的理解，將“學(xué)生成績統(tǒng)計表的生成”融入實驗教學(xué)內(nèi)容；在講授“n維空間”內(nèi)容時，可以從二三維空間的解析幾何知識出發(fā)，將坐標系定義、坐標定義、坐標系相互轉(zhuǎn)換關(guān)系推廣到n維空間的基、坐標、基變換等抽象概念；在研究正交變換的性質(zhì)時，可以運用Matlab畫圖功能繪制出二次型和對應(yīng)標準型的幾何圖形，通過直觀觀察發(fā)現(xiàn)正交變換法化二次型為標準型可以保持幾何形狀不變。

操作技能型實驗是理論傳授型實驗的延伸，基于課程基本理論和方法，通過軟件工具實現(xiàn)數(shù)學(xué)定理的證明和重要公式的計算。線性代數(shù)中4階以下的計算可以通過筆算完成，但復(fù)雜高階的問題必須使用計算機才能實現(xiàn)。操作技能型實驗主要是培養(yǎng)學(xué)生的計算機技能和初步的系統(tǒng)分析設(shè)計能力。Matlab作為矩陣語言，對于矩陣的加法、減法、數(shù)乘、乘法、特征值、特征向量等線性代數(shù)基本的公式和計算方法均有相應(yīng)的命令函數(shù)。通過變量定義和簡單的函數(shù)調(diào)用即可實現(xiàn)手工計算時復(fù)雜、繁瑣甚至難以實現(xiàn)的大型計算問題。通過此類實驗，不僅能夠方便快捷地進行計算和分析，而且能夠使學(xué)生在熟悉數(shù)學(xué)軟件使用方法的同時，加深學(xué)生對基礎(chǔ)理論知識的理解，鞏固和熟練所學(xué)的基本方法。

綜合應(yīng)用型實驗是將線性代數(shù)理論知識、思想方法、數(shù)學(xué)模型和計算機操作結(jié)合為一體的實驗，是在理論基礎(chǔ)上對學(xué)生應(yīng)用能力的進一步培養(yǎng)[13-15]。要與線性代數(shù)理論知識緊密結(jié)合，能夠體現(xiàn)線性代數(shù)在工程學(xué)、計算機科學(xué)、物理學(xué)等多個學(xué)科中的典型應(yīng)用。例如可以選擇平面圖形的幾何變換，環(huán)境治理的投入與收益問題、城市交通流量問題、植物基因的分布等內(nèi)容作為實驗項目，不但能夠通過實驗使學(xué)生充分了解線性代數(shù)的應(yīng)用領(lǐng)域和應(yīng)用方法，而且可以為學(xué)生的自由思維與發(fā)展留下廣闊空間。

前兩類實驗項目屬于工程基本能力訓(xùn)練項目，主要以線性代數(shù)原理、方法以及知識為主，目的是培養(yǎng)工程師必備的基本能力、素質(zhì)和方法。第三類實驗項目屬于綜合能力訓(xùn)練項目，主要是為了實現(xiàn)線性代數(shù)基本理論思想、方法與工程實際的融會貫通，培養(yǎng)學(xué)生解決實際問題的能力。

這3個層次的實驗體系，旨在對低年級大學(xué)生進行初步的C-構(gòu)思、D-設(shè)計、I-實施、O-運行能力進行訓(xùn)練，促進理論向應(yīng)用的轉(zhuǎn)化、知識向技能的轉(zhuǎn)化、單項技能向綜合素質(zhì)的轉(zhuǎn)化，較好地體現(xiàn)CDIO大綱中對學(xué)生4類能力培養(yǎng)的要求。通過此類項目實施，引導(dǎo)學(xué)生建立線性代數(shù)理論課程與實踐之間的有機聯(lián)系，充分調(diào)動思維、發(fā)掘潛能、獲取知識，培養(yǎng)綜合能力。

2.2 制定多層次遞進式實踐教學(xué)方法

基于CDIO理念的線性代數(shù)實驗化教學(xué)是以基本理論和方法為基礎(chǔ)，以問題為載體，以計算機為手段，以數(shù)學(xué)軟件為工具，以教師為主導(dǎo)，以學(xué)生為主體的探索性活動。在教學(xué)過程中需要將多種教學(xué)方法進行整合，對應(yīng)不同層次、不同類型的實驗，采用不同的教學(xué)方式。

(1) 理論傳授型實驗的教學(xué)方法。理論傳授型實驗采取“教師講解演示為主，學(xué)生自主探究為輔”的方式。教師在試驗過程中創(chuàng)造情景，從知識的產(chǎn)生出發(fā)，模擬問題的演變過程，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)掘蘊含的規(guī)律，并進行抽象延伸，逐步理解實驗中蘊含的數(shù)學(xué)思想和方法。在培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用意識的同時，掌握解決問題的思路和途徑。例如，對于實驗“學(xué)生成績統(tǒng)計表的生成”(見圖1)，在課堂上演示學(xué)生成績統(tǒng)計表生成，使學(xué)生理解矩陣的本質(zhì)就是數(shù)表。借助單科總成績矩陣和綜合測評成績矩陣的生成，反映矩陣數(shù)乘、加法、乘法的本質(zhì)和運算規(guī)律。從而使學(xué)生對“矩陣”這一抽象概念有了具體認識和把握，并且掌握一般問題的矩陣表示方法。通過矩陣的基本運算可進行延伸拓廣，使學(xué)生理解矩陣更多的內(nèi)在特征和性質(zhì)，將運算推廣至求冪、求逆、甚至矩陣方程的求解等更深層次的問題上。

圖1 學(xué)生成績統(tǒng)計矩陣的生成

(2) 操作技能型實驗的教學(xué)方法。操作技能型實驗采取“學(xué)生操作實踐為主，教師講解指導(dǎo)為輔”的方式。在這一階段，學(xué)生已經(jīng)掌握了線性代數(shù)知識點的基本理論和方法，并且能夠通過筆算解決簡單低階的計算問題。但對于后續(xù)課程及工程實際中的計算問題，只有這些是遠遠不夠的，還需要掌握快速精確的計算工具和計算方法。在實驗前，教師采用少量時間講授實驗步驟和Matlab命令的作用和調(diào)用方式等預(yù)備知識，教會學(xué)生如何使用Matlab進行計算。在實驗過程中，學(xué)生在教師的引導(dǎo)下進行操作訓(xùn)練，通過變量定義、函數(shù)調(diào)用、結(jié)果分析和演示等操作掌握各種函數(shù)及其用法。學(xué)生通過操作，不僅加深了對基本理論的理解，而且通過對性質(zhì)、定理的驗證、分析鞏固并熟練掌握各種計算和分析方法，進而將簡單計算推廣到復(fù)雜高階問題，并能夠鍛煉初步的編程能力。

(3) 綜合應(yīng)用型實驗的教學(xué)方法。綜合應(yīng)用型實驗采用“學(xué)生小組討論實踐為主，教師指導(dǎo)為輔”的方式。該層次的教學(xué)主要分為課前準備、基礎(chǔ)知識講授、小組活動和課后反饋四個環(huán)節(jié)[16]。以“矩陣”模塊的綜合應(yīng)用型實驗“平面圖形的幾何變換”來說明具體的教學(xué)過程：①課前準備。主要包括教師課前備課和學(xué)生課前預(yù)習。教師要依據(jù)授課內(nèi)容提前準備學(xué)習任務(wù)單，主要包括實驗主題、實驗分組等。例如，對于“平面圖形的幾何變換”，教師應(yīng)要求學(xué)生在課前查閱平面圖形幾何變換的相關(guān)資料，并復(fù)習矩陣的定義和各種運算法則，及相應(yīng)的Matlab命令。學(xué)生依據(jù)任務(wù)單進行文獻查詢、歸納總結(jié)，并對實驗相關(guān)章節(jié)的理論方法和計算機操作進行復(fù)習，以小組形式完成課前準備。②基礎(chǔ)知識講授。教師對實驗涉及的基礎(chǔ)知識進行簡單的回顧和總結(jié)，并以“平面圖形的放縮變換”為例，說明放縮變換矩陣乘法模型的建立過程。教師應(yīng)精講細講，讓學(xué)生徹底弄懂矩陣乘法模型表示方法的基本原理。進而改變實驗條件，與學(xué)生一起探索旋轉(zhuǎn)變換和平移變換的實現(xiàn)過程。③小組活動。學(xué)生依據(jù)教師的講授，對查閱的資料進行歸納整理，并通過分組討論，分析思考建立模型的步驟、方法和要領(lǐng)，提煉出自己的觀點，設(shè)計完成平面圖形幾何變換的思路和方案，形成實驗報告和匯報PPT。這一過程中學(xué)生為了完成同一目標，相互質(zhì)詢，相互協(xié)調(diào)，共同研究和討論，在分析探索中提高了解決問題的能力，同時又培養(yǎng)了團隊合作精神。④實驗反饋。學(xué)生將實驗的結(jié)果以PPT的形式展現(xiàn)給大家。教師針對匯報結(jié)果予以指導(dǎo)和點評。另外，教師可以通過改變實驗條件給予學(xué)生進一步思考的空間。比如，能否建立統(tǒng)一的矩陣乘法模型同時實現(xiàn)平面圖形的放縮、平移和旋轉(zhuǎn)變換；利用變換前后的坐標矩陣能否反求出變換矩陣；已知變換方式和變換后圖形，如何反求變換前的幾何圖形等。教師鼓勵學(xué)生提出問題并通過討論解決，進而培養(yǎng)學(xué)生對問題的敏銳反應(yīng)和應(yīng)變能力。

2.3 構(gòu)建多元化學(xué)生評價標準

CDIO理念對人才能力培養(yǎng)有多方面的要求，需要有多層次多元化的考核方式與之對應(yīng)。為了科學(xué)合理地評價學(xué)生的綜合素質(zhì)，從基礎(chǔ)理論知識、工程實踐能力、科技創(chuàng)新能力、合作交流能力4個方面進行評價。

(1) 基礎(chǔ)理論知識。評價包含對基礎(chǔ)科學(xué)理論、核心知識掌握程度的考量，通過平時作業(yè)、期末考試來完成。作業(yè)和考試由基本題目、綜合題目、邏輯與推理型題目、擴展思維題目等不同層次不同類型的題目構(gòu)成[17]。

(2) 工程實踐能力。重點考核學(xué)生運用知識解決問題的能力?？己诵问綖樘剿餍浴腴_放性問題構(gòu)成的能力考察題，需要學(xué)生形成理論分析、實驗結(jié)果分析與個人總結(jié)性與拓展性的報告。

(3) 科技創(chuàng)新能力。包含學(xué)生的工程分析、推理和創(chuàng)造性設(shè)計的能力?？捎山處熃Y(jié)合所學(xué)課程內(nèi)容，指定或由學(xué)生自己選擇現(xiàn)實社會熱點問題作為課程大作業(yè)，采取學(xué)生分組討論、研究，最后形成研究報告，并參加答辯的考核方式。

(4) 合作交流能力。實驗項目要求學(xué)生以小組形式完成，在操作過程中要對小組的分工、協(xié)調(diào)、交流等執(zhí)行情況進行詳細記錄。采用教師評價、學(xué)生自評和同學(xué)互評相結(jié)合的方式，形成對學(xué)生協(xié)作能力的綜合評價。

3 需要注意的問題

(1) 注意指導(dǎo)的重點。實驗教學(xué)過程中，教師的角色是實驗課堂的引導(dǎo)者，其作用是通過點撥、啟迪等方式指引學(xué)生進行主動探索，調(diào)動學(xué)生的積極主動性，自己發(fā)現(xiàn)知識，提高技能。教師指導(dǎo)的重點是學(xué)生在實踐過程中遇到的問題。通過教師的啟發(fā)式引導(dǎo)，培養(yǎng)學(xué)生的自主學(xué)習能力，鍛煉學(xué)生思維，提高其實踐創(chuàng)新能力。

(2) 注意項目難易度的把握。線性代數(shù)實驗項目要涵蓋基本理論知識，以理論教學(xué)內(nèi)容和學(xué)生認知規(guī)律為依托，選題難度要適宜。過于簡單則發(fā)揮不了實驗教學(xué)的作用，過難則容易使學(xué)生喪失信心和興趣。教師要找到各種實際問題與理論知識的結(jié)合點，依據(jù)理論知識合理設(shè)置問題難度，這樣才有助于調(diào)動學(xué)生的積極思維，并給予學(xué)生充分的思考空間。

(3) 注意計算機應(yīng)用與理論引導(dǎo)之間的平衡。Matlab具有界面友好、易學(xué)易用、計算功能強大等特點。計算過程不用考慮編程技術(shù)細節(jié)，能夠充分提高解決問題的效率，但也容易導(dǎo)致學(xué)生過分依賴軟件，忽視理論和筆算的重要性。用軟件進行實驗教學(xué)的目的是讓學(xué)生快速準確地解決實驗中的計算問題。而筆算有助于加深學(xué)生對相關(guān)理論的理解和掌握，理論證明能夠鍛煉學(xué)生的邏輯思維能力。只有兩者各取所長，均衡設(shè)置，才能達到良好的教學(xué)效果。

4 結(jié) 語

在線性代數(shù)教學(xué)中融入CDIO教育理念，通過在學(xué)中做，做中學(xué)，做學(xué)合一，調(diào)動學(xué)習的積極性和主動性，幫助學(xué)生系統(tǒng)深刻地理解和掌握基礎(chǔ)理論和應(yīng)用方法，培養(yǎng)學(xué)生的自主學(xué)習能力、創(chuàng)新實踐能力和團隊協(xié)作能力，同時也有助于教師教學(xué)水平和教學(xué)質(zhì)量的提高。

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